【预习】第15讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（教师卷）-【寒假衔接讲义】高一数学寒假讲义练习（新人教A专用）

第第页第15讲空间点、直线、平面之间的位置关系【学习目标】1、掌握平面及其基本性质．2、清晰空间中点、直线和平面存在怎样的位置关系．【考点目录】考点一：平面的概念及其表示考点二：平面的确定考点三：点线共面考点四：三点共线考点五：三线共点问题考点六：截面问题考点七：直线与直线的位置关系考点八：异面直线所成的角考点九：直线与平面的位置关系考点十：平面与平面的位置关系【基础知识】知识点一、平面的基本概念1、平面的概念：“平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象．几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．知识点诠释：（1）“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）；（2）“平面”无厚薄之分；（3）“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据．2、平面的画法：通常画平行四边形表示平面．知识点诠释：（1）表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成，横边长是其邻边的两倍；（2）两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画；3、平面的表示法：（1）用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面、平面等；（2）用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面；（3）用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面或者平面；4、点、直线、平面的位置关系：（1）点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作；（2）点A在平面上，记作；点A在平面外，记作；（3）直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作．知识点二、平面的基本性质平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础．1、公理1：（1）文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；（2）符号语言表述：，，，；（3）图形语言表述：知识点诠释：公理1是判断直线在平面内的依据．证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”．2、公理2：（1）文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；（2）符号语言表述：、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，；（3）图形语言表述：知识点诠释：公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件．“有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义．（4）公理2的推论：①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；②过两条相交直线，有且只有一个平面；③过两条平行直线，有且只有一个平面．（5）作用：确定一个平面的依据．3、公理3：（1）文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；（2）符号语言表述：且；（3）图形语言表述：知识点诠释：公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据．知识点三、点线共面的证明所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题．1、证明点线共面的主要依据：（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）．2、证明点线共面的常用方法：（1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内；（2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内．知识点四、证明三点共线问题所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上．1、证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上．对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．2、证明三点共线的常用方法方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上．方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上．知识点五、证明三线共点问题所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点．1、证明三线共点的依据是公理3．2、证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．知识点六、异面直线1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．2、画法：3、两异面直线所成角的常用方法平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．知识点七、空间两条直线的位置关系位置关系共面情况有无公共点相交在同一平面内有且只有一个公共点平行在同一平面内没有公共点异面不同在任何一个平面内没有公共点知识点八、直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内有无数个公共点直线a与平面α相交有且只有一个公共点直线a与平面α平行无公共点知识点九、平面与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行无公共点两平面相交有无数个公共点，这些点在一条直线上【考点剖析】考点一：平面的概念及其表示例1．如图所示，用符号语言可表示为（）A．，， B．，，C．，，， D．，，，【答案】A【解析】由图可知平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，所以用符号语言可表示为，，，故选：A例2．用符号表示下列语句：(1)点A在直线l上，l在平面内；(2)平面和平面的交线是直线l，直线m在平面内；(3)点A在平面内，直线l经过点A，且直线l在平面外；(4)直线l经过平面外一点M．【解析】(1)点A在直线l上，l在平面内，记为：；(2)平面和平面的交线是直线l，直线m在平面内，记为：平面平面=直线l，直线m平面；(3)点A在平面内，直线l经过点A，且直线l在平面内外，记为：点A平面，点A直线l，直线l平面；(4)直线l经过平面外一点M，记为：点M平面，点M直线l.考点二：平面的确定例3．下列命题中正确的是（）A．过三点确定一个圆B．两个相交平面把空间分成四个区域C．三条直线两两相交，则确定一个平面D．四边形一定是平面图形【答案】B【解析】A，过不共线三点确定一个圆，错误；B，两个相交平面把空间分成四个区域，正确；C，三条直线两两相交，若第三条在另两条确定的平面内可以确定一个平面，否则不能确定一个平面，错误；D，四边形可以是平面图形，也可以是空间四边形，错误.故选：B例4．以下说法中，正确的个数是（）①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；③首尾依次相接的四条线段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】①正确，若四点中有三点共线，则可以推出四点共面，这与四点不共面矛盾；②不正确，共面不具有传递性；③不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面内,故选：B考点三：点线共面例5．如图，正方体中，，分别为，的中点．求证：，，，四点共面；【解析】证明：连接，在正方体中，∵，分别为，的中点，∴是的中位线，∴，又因为，∴∴四边形为梯形，即，，，四点共面．例6．如图所示，，，．求证：直线，，在同一平面内．【解析】证明方法一（纳入平面法）∵，∴和确定一个平面．∵，∴．又∵，∴．同理可证．∵，，∴．∴直线，，在同一平面内．方法二（辅助平面法）∵，∴和确定一个平面．∵，∴，确定一个平面．∵，，∴．∵，，∴．同理可证，，，．∴不共线的三个点，，既在平面内，又在平面内，∴平面和重合，即直线，，在同一平面内．考点四：三点共线例7．已知正方体，，分别是棱，的中点．（Ⅰ）画出平面与平面的交线，并说明理由；（Ⅱ）设为直线与平面的交点，求证：，，三点共线．【解析】（Ⅰ）如图所示，直线即为平面与平面的交线，理由如下：在正方体中，∵，分别是棱，的中点，平面，平面，且与不平行，∴在平面内分别延长，，则与必相交于一点，不妨设为点，∴，，∵平面，平面，∴平面，平面，即为平面和平面的公共点，又∵为平面和平面的公共点，连接，∴直线即为平面与平面的交线．（Ⅱ）证明：如图所示，在正方体中，∵，且，∴四边形为平行四边形，∵为直线与平面的交点，∴，又∵平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴，∴，，三点共线．考点五：三线共点问题例8．如图，在三棱锥中，分别是的中点，点在上，点在上，且有.试判定直线的位置关系.【解析】如图，连接因为分别是的中点，所以为的中位线,所以且，又所以,且.由公理4，,且,所以共面且不平行，因此延长交于.则且，又因为面面,所以由公理3故三线共点例9．在三棱锥中，分别是线段的中点，分别是线段上的点，且.求证:（1）四边形是梯形；（2）三条直线相交于同一点.【解析】（1）分别是边的中点，，，由得：，且，且，四边形是梯形.（2）由（1）知：相交，设，，平面，平面，同理可得：平面，又平面平面，，和的交点在直线上，三条直线相交于同一点.考点六：截面问题例10．已知正方体的棱长为2，若，分别是的中点，作出过，，三点的截面.【解析】例11．如图，正方体的棱长为分别是的中点，设过三点的平面与交于点．（1）画出过三点的平面与平面的交线，以及与平面的交线；（2）求的长．【解析】（1）设三点确定的平面为，则与平面的交线为直线，设，则是与平面的交线，，连接，则是所要画的平面与平面的交线．（2）正方体棱长为，又，所以．在中，，所以．考点七：直线与直线的位置关系例12．已知，为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是（）A．若，，则a与b是异面直线 B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面内，则a与b异面 D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面【答案】D【解析】已知，为不同的平面，，，为不同的直线，对于A：若，，则与是异面直线或平行直线或相交直线，故A错误；对于B：若与是异面直线，与是异面直线，则与也可能是异面直线或平行直线，故B错误；对于C：若，不同在平面内，则与是异面直线或平行直线或相交直线，故C错误；对于D：根据异面直线的定义，若，不同在任何一个平面内，则与是异面直线，故D正确．故选：D例13．如图，点，，，分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线与是异面直线的一个图是________．（填序号）①②③④【答案】③【解析】①中可得是平行四边形，从而，②中都与它们所在面的一条对角线平行，因此有，④中和与它们所在平面的交线交于同一点，因此它们相交.只有③可选．故答案为：③．考点八：异面直线所成的角例14．空间四边形的对角线分别为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．1【答案】C【解析】取的中点，分别连接，因为分别为的中点，可得，所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，即为或其补角因为，所以，在中，因为且，满足，可得为直角三角形，所以，即异面直线与所成角的余弦值为.故选：C.例15．在正方体中，则异面直线AC与的所成角为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】正方体中，，异面直线AC与的所成角即为与所成的角，而三角形为等边三角形，故与的夹角为，所以异面直线AC与的所成角为.故选：C考点九：直线与平面的位置关系例16．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中判断下列位置关系：（1）AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是________；（2）平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．【答案】平行相交【解析】解：（1）AD1所在的直线与平面BCC1没有公共点，所以平行；（2）平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．故答案为：平行；相交.考点十：平面与平面的位置关系例17．在四棱台中，平面与平面的位置关系是（）A．相交 B．平行C．不确定 D．异面【答案】A【解析】解：如图所示，由棱台的定义可知，平面与平面一定相交.故选：A.【真题演练】1．在长方体中，，，，则和所成的角是（

）A．60° B．45° C．30° D．90°【答案】A【解析】如图所示：易知，所以和所成的角，即为和所成的角，在中，，所以.即和所成的角是.故选：A2．若点在直线上，在平面内，则用符号表示､､之间的关系可记作___________.【答案】，，【解析】点在直线上，在平面内，则，，故､､之间的关系可记作，，.故答案为：，，3．三条互相平行的直线最多可确定____个平面．【答案】3【解析】若三条直线在同一个平面内，则此时三条直线只能确定一个平面，若三条直线不在同一个平面内，则此时三条直线能确定三个平面，所以三条互相平行的直线最多可确定3个平面.故答案为：3.4．如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论：①A、M、O三点共线；

②A、M、O、不共面：③A、M、C、O共面；

④B、、O、M共面，其中正确的序号为_________．【答案】①③【解析】连接，因为是的中点，所以，平面与平面有公共点A与，则平面平面，对于①，平面，则平面，因为平面，则，即A，M，O三点共线，所以①正确，对于②③，由①知A，M，O三点共线，所以A，M，O，共面，A，M，C，O共面，所以②错误，③正确；对于④，连接，则都在平面上，若平面，则直线平面，所以平面，显然平面，所以④错误，故答案为：①③5．若面，面，面，则平面与平面的位置关系_________.【答案】相交【解析】因面，面，面，则面与面有公共点A，且不重合，所以面与面的位置关系是相交.故答案为：相交6．在正四面体ABCD中，E为BC的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为___________.【答案】【解析】在正四面体ABCD中，取BD的中点F，连接，如图，设，因E为BC的中点，则，，即有是异面直线AE与CD所成的角或其补角，而，在等腰中，，所以异面直线AE与CD所成角的余弦值为.故答案为：7．下图中的两个相交平面，其中画法正确的是______．【答案】④【解析】对于①，因被挡住的部分应画虚线，需要画出两相交平面的交线，故①错误；对于②，因被挡住的部分应画虚线，故②错误；对于③，因被挡住的部分应画虚线，不被挡住的画出实线，且两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故③错误；对于④，因被挡住的部分应画虚线，不被挡住的画出实线，且两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故④正确.故答案为：④.8．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证：(1)点E，F，G，H四点共面；(2)直线EH，BD，FG相交于一点．【解析】（1）由题意，作图如下：空间四边形中，分别是的中点，.又，，，四点共面.（2）证明：连接、，因为分别是的中点，所以，且，又因为，所以，且，所以，且，故四边形为梯形，且是梯形的两腰，所以相交于一点.设交点为，因为平面，所以平面，同理平面，而平面平面，所以，故点时直线的公共点，即直线相交于一点.【过关检测】一、单选题1．如图，在正方体中，、、、分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（

）A．45° B．60° C．90° D．120°【答案】B【解析】如图，连接，由题意，，所以异面直线与所成的角是或其补角，由正方体性质知是等边三角形，，所以异面直线与所成的角是．故选：B．2．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面【答案】D【解析】如图（1）所示，此时直线与直线为异面直线，其中，此时直线与为相交直线；如图（2）所示，此时直线与直线为异面直线，其中，此时直线与为异面直线，综上，一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线的位置关系是相交或异面.故选:D.3．与空间不共面的四个点距离相等的平面有（

）A．3个 B．4个 C．7个 D．无数个【答案】C【解析】如图（1）所示，一个点在夹面一边，另外三个点在另一边，由这点向其余三点确定的而作重线，则垂线的中垂面满足要求，这样的平面有4个；如图（2）所示，当两个点在平面一边，另外两个点在平面另一边，异面直线的公垂线的中垂面满足要求，而异面直线有3对，所以这祥的平面有3个，综上可得，共有（个）．故选：C.4．如图，正方体中，若，，分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则下列判断错误的是（

）A．，，，四点共面 B．，，，四点共面C．，，，四点共面 D．，，，四点共面【答案】B【解析】因为正方体中，，，分别为棱，，的中点，，分别为四边形，的中心，所以是的中点，所以在平面上，故A正确；因为，，在平面上，不在平面上，所以，，，四点不共面，故B错误；由已知可知，所以，，，四点共面，故C正确；连接并延长，交于点，则为的中点，连接，则，所以，，，四点共面，故D正确．故选：B.5．若，且与的方向相同，则与（

）A．一定平行且方向相同 B．一定平行且方向相反C．一定不平行 D．不一定平行【答案】D【解析】如图，若，且与的方向相同，与不一定平行．故选：D．6．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得的截面图形是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由组合体的结构特征可知球与正方体的各面相切，而与各棱相离，所以截面图形中的圆与上下底面的对角线相切，与两侧棱相离，只有B符合故选：B7．如图，在三棱柱中，是正三角形，E是的中点，则下列叙述中正确的是（

）A．与是异面直线 B．与共面C．与是异面直线 D．与所成的角为【答案】C【解析】对于A，由于与都在平面内，故与是共面的，故错误对于B，由于在平面内，而与平面相交于点，点不在上，故与是异面直线，同理，与是异面直线，所以B错误，C正确.对于D，与所成角就是与所成角，且E是的中点，也为正三角形，所以，即与所成的角为，故错误.故选:C.8．在正方体上有一只蚂蚁，从点出发沿正方体的棱前进，若该蚂蚁走的第条棱与第条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第2022条棱之后的位置是在（

）A．点处 B．点处 C．点处 D．点处【答案】B【解析】不妨设蚂蚁从点先沿走，如图，结合正方体的性质知与直线异面的直线有，，，，共4条，由题意可知蚂蚁走过3条棱的路线是或，即蚂蚁走过第3条棱后的位置在点处，同理，蚂蚁从点先沿或走，走过第3条棱后的位置一定是在点处，以此类推，蚂蚁走过第6条棱后的位置一定在点处，如此走下去，每走过6条棱后都会回到起点，因为，所以这只蚂蚁走过第2022条棱之后的位置是在点处.故选：B.二、多选题9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则以下正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由展开图可得几何体的直观图如下：所以与为异面直线，与为异面直线，故A、D错误；由正方体的性质可得（），，所以四边形为平行四边形，所以，故B、C正确；故选：BC10．如图，在正方体中，P，Q分别是棱的中点，平面平面，则下列结论中不正确的有（

）A．l过点B．l不一定过点C．的延长线与的延长线的交点不在l上D．的延长线与的延长线的交点在l上【答案】BC【解析】连接，在正方体中，取的中点，连接，则，所以四边形是平行四边形，平面，平面，所以，故A正确，B错误；如图的延长线与的延长线的交点，的延长线与的延长线交点，因为平面，所以平面，因为平面，所以平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以平面，所以，故C错误，D正确.故选：BC.11．下列图形中一定是平面图形的有（

）A．三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．四条边相等的四边形【答案】ABC【解析】由平面及基本性质知：对于A，三角形的三个顶点不共线，故三角形一定是平面图形，故A正确；对于B，平行四边形的两组对边分别平行，故平行四边形一定是平面图形，故B正确；对于C，梯形有一组对边平行，故梯形一定是平面图形，故C正确；对于D，四边相等的四边形可能是空间四边形，故D不正确.故选：ABC12．如图，在长方体中，E、F、G、H分别是、、AB、AD的中点，则下列说法正确的是（

）A．点A在平面内 B．C．平面平面 D．直线EH与直线FG相交【答案】AD【解析】连接、、、，若是的中点，连接、，由题设，且，则为平行四边形，所以且，又E是中点，故且，则为平行四边形，所以且，综上，且，故共面，A正确；由过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行，且，不可能有，B错误；由面，面，故面面，又面，而，故平面平面，C错误；连接，又G、H分别是AB、AD的中点，则且，E、F分别是、的中点，则且，所以，即共面，且，故直线EH与直线FG相交，D正确.故选：AD三、填空题13．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，与所成角的大小为___________.【答案】【解析】如图,把正方体的平面展开图还原成正方体，，，,在这个正方体中,与所成角的大小为.故答案为：.14．已知，，，是相应长方体或空间四边形的边或对角线的中点，则这四点必定共面的是______．（写序号）【答案】①③④【解析】①中，，，，，四点共面；②中，和是异面直线，故四点不共面；③中，，，，，四点共面；④中，，，，，四点共面；故答案为：①③④15．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为______．【答案】4【解析】正方体共有8个顶点，若选出的条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，又可以选出4条两两异面的线（如图），故所求的最大值是4．故答案为：4．16．如图，长方体中，，点和分别为线段和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__．【答案】【解析】取AB的中点Q，连接，因为点为的中点，所以，又，故四边形为平行四边形，所以，连接BE，取BE的中点P，连接PQ，因为Q为AB的中点，所以PQAE，所以或其补角为异面直线与所成角，过点P作PG⊥于点G，PM⊥BC于点M，连接，因为，所以，，因为点为线段中点，则，，，，由勾股定理得：，，，，在中，由余弦定理得：，异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：四、解答题17．如图，为空间四边形，点，分别是，的中点，点，分别在，上，且，．(1)求证：，，，四点共面；(2)求证：，必相交且交点在直线上．【解析】（1）证明：连接，因为，分别是，的中点，，；所以，，所以，所以，，，四点共面．（2）证明：易知，又，所以，结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线，不平行．设它们交点为，平面，同理，所以平面，又平面平面，因此，即，必相交且交点在直线上．18．利用正方体的顶点，根据等角定理，画出一个与大小相等的角，要求角的顶点与平面不共面．【解析】连接，由正方体的性质知，，所以四边形是平行四边形，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以与的两边分别平行，且方向都相反，所以，所以即为所求角．19．已知四面体S-A