人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第01课 集合、一元二次不等式、函数及其表示（原卷版）

第第页第01课集合、一元二次不等式、函数及其表示集合知识梳理1.集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR[注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2.集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中元素相同A＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈}B∁UA＝{x|x∈U且x∉A}【例1】(1)设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有()A.5个B.4个C.3个D.无数个(2)已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为________.【例2】(1)已知集合A＝{x|x2﹣3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A.1B.2C.3D.4(2)已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|﹣m＜x＜m}，若B⊆A，则m的取值范围为______.【例3】(1)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁UA＝()A.{1，6}B.{1，7}C.{6，7}D.{1，6，7}(2)设全集U＝R，集合A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|x＋1≥0}，则∁U(A∪B)＝()A.{x|x≤﹣3或x≥1}B.{x|x＜﹣1或x≥3}C.{x|x≤3}D.{x|x≤﹣3}充分条件与必要条件、全称量词与存在量词知识梳理1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qeq\o(⇒,\s\up0(/))pp是q的必要不充分条件peq\o(⇒,\s\up0(/))q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件peq\o(⇒,\s\up0(/))q且qeq\o(⇒,\s\up0(/))p[注意]不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题.2.全称命题和特称命题(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃(2)全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题结构对M中任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，﹁p(x0)∀x∈M，﹁p(x)常用结论1.从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A⫋B，则p是q的必要不充分条件；(6)若Aeq\o(⊆,\s\up0(/))B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件.2.全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写.(2)否定结论：对原命题的结论进行否定.【例4】(1)已知a，b都是实数，那么“b＞a＞0”是“eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知p：x＝2，q：x﹣2＝eq\r(2－x)，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【例5】已知条件p：集合P＝{x|x2﹣8x﹣20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1＋m}.若p是q的必要条件，求m的取值范围.一元二次不等式及其解法一、知识梳理1.一元一次不等式ax＞b(a≠0)的解集(1)当a＞0时，解集为{x|x＞eq\f(b,a)}.(2)当a＜0时，解集为{x|x＜eq\f(b,a)}.2.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2﹣4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个相异实根x1，x2(x1＜x2)有两个相等实根x1＝x2＝﹣eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}{x|x≠﹣eq\f(b,2a)}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅常用结论1.分式不等式的解法(1)eq\f(f（x）,g（x）)＞0(＜0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0).(2)eq\f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）g（x）≥0（≤0），,g（x）≠0.))2.记住两个恒成立的充要条件(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,b2－4ac<0.))(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,b2－4ac<0.))【例6】(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≥0，,－x2＋2x，x<0，))则不等式f(x)＞3的解集为________.(2)已知不等式ax2﹣bx﹣1＞0的解集是{x|﹣eq\f(1,2)＜x＜﹣eq\f(1,3)}，则不等式x2﹣bx﹣a≥0的解集是________.【例7】若不等式(a﹣2)x2＋2(a﹣2)x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________.基本不等式知识梳理1.基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中eq\f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)称为正数a，b的几何平均数.2.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p).(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(s2,4).(简记：和定积最大)常用结论几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(3)eq\f(a2＋b2,2)≥(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.【例8】(1)已知0＜x＜1，则x(4﹣3x)取得最大值时x的值为________.(2)已知x＜eq\f(5,4)，则f(x)＝4x﹣2＋eq\f(1,4x－5)的最大值为________.函数及其表示知识梳理1.函数的概念函数两集合A，BA，B是两个非空数集对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法y＝f(x)，x∈A2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.(3)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.[注意]函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象.3.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.【例9】(1)函数y＝eq\f(\r(－x2＋2x＋3),lg（x＋1）)的定义域为()A.(﹣1，3]B.(﹣1，0)∪(0，3]C.[﹣1，3]D.[﹣1，0)∪(0，3](2)已知函数f(x)的定义域是[﹣1，1]，则函数g(x)＝eq\f(f（2x－1）,ln（1－x）)的定义域是()A.[0，1]B.(0，1)C.[0，1)D.(0，1]【例10】(1)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)﹣f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________.(2)已知函数f(x)满足f(﹣x)＋2f(x)＝2x，则f(x)的解析式为________.【例11】(1)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2﹣6x＋5，则f(x)＝________.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x).若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1﹣x)，则当﹣1≤x≤0时，f(x)＝________.【例12】(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x－2)，x>2，,x2＋2，x≤2，))则f(f(1))＝()A.﹣eq\f(1,2)B.2C.4D.11(2)设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－1（x≥2），,log2x（0<x<2），))若f(m)＝3，则f(eq\f(5,2)﹣m)＝________.集合、一元二次不等式、函数及其表示课时跟踪练习1.已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为()A.7B.8C.15D.162.设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是()A.{a|a≤2}B.{a|a≤1}C.{a|a≥1}D.{a|a≥2}3.已知集合A＝{x|x2﹣4x＋3＞0}，B＝{x|x﹣a＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为()A.(3，＋∞)B.[3，＋∞)C.(﹣∞，1)D.(﹣∞，1]4.(多选)若集合A＝{x|x(x﹣2)≤0}，且A∪B＝A，则集合B可能是()A.{﹣1}B.{0}C.{1}D.{2}5.已知全集U＝R，函数y＝ln(1﹣x)的定义域为M，集合N＝{x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是()A.M∩N＝NB.M∩(∁UN)＝∅C.M∪N＝UD.M⊆(∁UN)6.已知命题“∃x0∈R，使2xeq\o\al(2,0)＋(a﹣1)x0＋eq\f(1,2)≤0”是假命题，则实数a的取值范围是()A.(﹣∞，﹣1)B.(﹣1，3)C.(﹣3，＋∞)D.(﹣3，1)7.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A.[0，2]B.[﹣2，0]C.[﹣2，＋∞)D.(﹣∞，﹣2]8.若实数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，则ab的最小值为()A.eq\r(2)B.2C.2eq\r(2)D.49.函数f(x)＝eq\f(3x,\r(x－1))＋ln(2x﹣x2)的定义域为()A.(2，＋∞)B.(1，2)C.(0，2)D.[1，2]10已知f(eq\f(1,2)x﹣1)＝2x﹣5，且f(a)＝6，则a等于()A.﹣eq\f(7,4)B.eq\f(7,4)C.eq\f(4,3)D.﹣eq\f(4,3)11.若不等式ax2＋bx＋2＜0的解集为{x|x＜﹣eq\f(1,2)，或x＞eq\f(1,3)}，则eq\f(a－b,a)的值为()A.eq\f(5,6)B.eq\f(1,6)C.﹣eq\f(1,6)D.﹣eq\f(5,6)12.知x＞0，y＞0，且eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,2)，则x＋y的最小值为()A.3B.5C.7D.913.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________.14.已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝________.15.已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜1﹣m}，若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是________.16.不等式|x(x﹣2)|＞x(x﹣2)的解集是________.17.函数y＝eq\f(x2,x＋1)(x＞﹣1)的最小值为________.18.若a＞0，b＞0，且a＋2b﹣4＝0，则ab的最大值为________，eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为________.19.已知正实数x，y满足x＋y＝1，①则x2＋y2的最小值为________；②若eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)≥a恒成立，则实数a的取值范围是________.20.设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，x≥1，,1－x，x<1，))则f(f(0))＝________，若f(m)＞1，则实数m的取值范围是________.21.若不等式ax2＋5x﹣2＞0的解集是{x|eq\f(1,2)＜x＜2}.(1)求实数a的值；(2)求不等式ax2﹣5x＋a2﹣1＞0的解集.22.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(﹣1)＝0，且c＝1，F(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x），x＞0，,－f（x），x＜0，))求F(2)＋F(﹣2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围.集合、一元二次不等式、函数及其表示随堂检测1.设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则(A∩C)∪B＝()A.{2}B.{2，3}C.{﹣1，2，3}D.{1，2，3，4}2.已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是()A.(﹣2，1)B.[﹣1，0]∪[1，2)C.(﹣2，﹣1)∪[0，1]D.[0，1]3.已知f(x)＝sinx﹣x，命题p：∃x∈(0，eq\f(π,2))，f(x)＜0，则()A.p是假命题，﹁p：∀x∈(0，eq\f(π,2))，f(x)≥0B.p是假命题，﹁p：∃x∈(0，eq\f(π,2))，f(x)≥0C.p是真命题，﹁p：∀x∈(0，eq\f(π,2))，f(x)≥0