小学奥数 循环小数计算（含答案）

循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律

进行简算的问题.

「；的“秘密”

1・・‘)•・2•・K•・

-=0.142857,-=0.285714,-=0.428571,...,-=0.857142

7777

2.推导以下算式

124123411234

(1)0.1=-;0.12=—=—;0.123=—=——；0.1234=^-

999339993339999

12-111123-12371234-1231111

(2)0.12=-^0.123=0.1234=

909090030090009000

1234-126111234-1137

(3)0.1234=

0.1234=-

9900495099901110

以0.1234为例，推导0.1234=I2"-2=里

99004950

设0.1234=A,将等式两边都乘以100,得：1004=12.34;

再将原等式两边都乘以10000,得：100064=1234.34,

1?34-12611

两式相减得：10000A—100A=1234—12,所以A-----

99004950

3.循环小数化分数结论

纯循环小数混循环小数

循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与

分子循环节中的数字所组成的数

不循环部分数字所组成的数的差

n个9,其中n等于循环节所按循环位数添9,不循环位数添0,组成分

分母

含的数字个数母，其中9在0的左侧

O.abWab1ababc-a

O.Oab=——x—O.ahc=

999910990990

模块一、循环小数的认识

【例11在小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是(注：公元2007年

10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火

箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。)

【考点】循环小数的认识【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，1试

【解析】因为要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0,再看0后面一位上的数字，有05、

02、00、07,00最小，所以得到的最小循环小数为1.805241026。3

【答案】1.80524102007

【巩固】给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.1998>0.1998>0.1998>0.1998

【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算

【解析】根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字1的小数，因

此一定是0：995,次小的小数在小数点后第五位出现次小数字8,因此一定是0.199^.其后添加

的循环点必定使得小数点后第五位出现9,因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循

环节中在9后一定还是9,所以最大的循环小数是0.16战，而次大数为0.19藁，于是得到不等式：

0.1998>0.1998>0.1998>0.1998

【答案】0.1998>0.1998>0,1998>0.1998

［例2］真分数幺化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992,那么“是

7

多少？

【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算

【解析】」=0.142857,-=0.285714,-=0.428571,-=0.571428,-=0.714285,-=0.857142.因

777777

此，真分数g化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27,又

7

因为1992+27=73...21,27-21=6,而6=2+4,所以刊=0.857142,即。=6.

7

【答案】a=6

【巩固】真分数色化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039,贝！I”是多少？

7

【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算

【解析】我们知道形如且的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组

7

成，只是各个数字的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的1+4+2+8+5+7和一个不

完整1+4+2+8+5+7组成。9039+(1+2+4+5+7+8)=33421,而21=27—6,所以最后一

个循环节中所缺的数字之和为6,经检验只有最后两位为4,2时才符合要求，显然，这种情况下

完整的循环节为“857142”,因此这个分数应该为9,所以4=6。

7

【答案】4=6

【巩固】真分数幺化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7,贝!I”是多少？

7

【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算

【解析】我们知道形如3的真分数转化成循环小数后，循环节都是由6位数字组成，2009+6=334-5,

7

因此只需判断当a为几时满足循环节第5位数是7,经逐一检验得a=3。

【答案】4=3

【巩固】（2009年学而思杯4年级第6题）6+7所得的小数，小数点后的第2009位数字是

【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算

【解析】-=0.857142857142……6个数一循环，2009+6=334……5,是4

7

【答案】4

［例3］写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:0.6+0.06+0.006+........=2002-

【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算

【关键词】小希望杯，4年级

【解析】0.6+0.06+0.006+.........=0.6=-=-=2002+3003

93

【答案】3003

［例4］下面有四个算式：

①0.6+0.133=0.733;

（2）0.625=-；

8

a53_3+5_8」.

14214+2162

@3-x4-=14-；

755

其中正确的算式是（）.

（A）①和②（B）②和④（C）②和③（D）①和④

【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】选择

【关键词】华杯赛，初赛

【解析】对题中的四个算式依次进行检验：

①0.6+0.133=0.6+0.133133=0.733133,所以①不正确；

②0.625=*是正确的：

8

③两个分数相加应该先进行通分，而非分子、分母分别相加，本算式通过士4>-1即可判断出其不正确:

22

公.1242172-2公丁工，女

3—x4———x—=—=14一,下斤以（4j不jJ"确°

757555

那么其中正确的算式是②和④，正确答案为B。

【答案】B

【例5】在混合循环小数2.718281的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能

大，请写出新的循环小数。

【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算

【关键词】华杯赛，初赛

【解析】小数点后第7位应尽可能大，因此应将圈点点在8上，新的循环小数是2.718281。

【答案】2.718281

【例6］将！化成小数等于0.5,是个有限小数；将工化成小数等于0.090…，简记为0.09,是纯循环小

211

数；将1化成小数等于0.1666……，简记为0.16,是混循环小数。现在将2004个分数!，!，

623

....」一化成小数，问：其中纯循环小数有多少个？

42005

【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算

【关键词】华杯赛，总决赛，二试

【解析】凡是分母的质因数仅含2和5的，化成小数后为有限小数，凡是分母的质因数不含2和5的，化

成小数后为有限小数后为纯循环小数，所以本题实际上是问从2到2005的2004个数中，不含质

因数2或5的共有多少个.这2004个数中，含质因数2的有2004+2=1002个，含质因数5的有

20054-5=401个，既含2又含5的有2000+10=200个，所以可以化成纯循环小数的有2004—

1002-401+200=801个.

【答案】801

模块二、循环小数计算

［例7］计算：0.3-0.03-0.003=（结果写成分数形式）

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算

【关键词】希望杯，五年级，一试

r“〃必、后》11189

【解析】原式------------=----O

330300300

89

【答案】—

300

【巩固】计算：0.3+0.3=（结果写成分数）。

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算

【关键词】希望杯，五年级，一试

【解析】原式1=2

10330

19

【答案】—

30

【巩固】请将算式0.1+0.01+0.001的结果写成最简分数.

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算

【关键词】华杯赛，初赛

一11I100+10+111137

【解析】用、式=—I---1----=

990900900900300

37

【答案】

300

[例8]计算：2.004x2.008（结果用最简分数表示）

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算

【关键词】华杯赛，总决赛，一试

….8180420063618824904706,5606

【解析】原式=2——x2——=----x----=--------------=4------

900999900999899100224775224775

)5606

【答案】4------

224775

425

[例9]将5.425x0.63=5x0.63的积写成小数形式是.

999

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算

【关键词】华杯赛，初赛

(5x999+425)x0.63_34146

【解析】5.425x0.63=[5—|x0.63==3.4180

(999J999—9990

【答案】3.4180

【例10］计算:0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算

【解析】方法一：0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89

112-123-234-378-789-8

---++■+++■

909090909090

11121317181216

——+--H----H---H-----1--------：=2.4

90909090909090

方法二:0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89

=0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+0.01+0.02+0.03+0.04+0.08+0.09

=2.1+001x(1+2+3+4+8+9)

=2.14---x27=2.1+0.3=2.4

90

【答案】2.4

【巩固】计算(1)0.291-0.192+0.375+0.526(2)0.330x0.186

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算

，府必』八、后戈291192-1375526-5291+375521-191666330,

【解析】(1)原式=——+------11—+---=1

999990999990999990999990

小、…330186-1330x1855

(2)—x——

999990999x99081

【答案】(1)1(2)A

81

【例11](1)0.54+0.36=__________

•••1Q

(2)1.2x1.24+—=__________

27

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算

，的济、八、上后*、54-536494899

【解■析】(1)法一：原式=-----+—=—+—=——・

90999011990

法二：将算式变为竖式：

0.544444

+0.363636

0.908080

ong_o

可判断出结果应该是0.908,化为分数即是马巴士899

990990

小一22419111231920

(2)原式=l-xl—+—=—x——+一=一

99927999279

【答案】嘴⑵改

9

【巩固】⑴计算：0.16+0.142857+0.1254-0.1

19

(2)1.2x1.24+—=.

27

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算

【关键词】香港圣公会，希望杯，六年级，1试

16-1142857111111275

【解析】⑴原式=-------1-+--一-+--―-=-+-+—+—=---

100-10999999896789504

⑵原式=14伫+或+”20

9992799927~9

275

【答案】⑴三

504呜

⑴()；⑵()(结果表示成循环小数)

【巩固】0.15+0.218X0.3xW2.234-0.98-11

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算

31137111112345679八……

【解析】⑴原式=三2X—x—=—X—x----=—=---------------=0.012345679

I90990911199311181999999999

234-2_232…98〜…二329824222

⑵2.234=24二=2——，0.98=一,所以2.234—0.98=2-----------=1——=1一,

990990999909999090

2212

(2.234-0.98)+11=1—4-11=—+—=0.09+0.02=0.113

901190

【答案】(1)0.012345679(2)0.113

［例12］0.3+0.03+0.003+=2009+（

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算

【关键词】中环杯，五年级，决赛

【解析】0.3+0.03+0.003+=0.3=—,所以括号中填2009x3=6027

3

【答案】6027

【例⑶计算〔藕一蕊卜蒜（结果表示为循环小数）

【考点】循环小数计算【难度】4星【题型】计算

【解析】由于」一=0.000011

=0.00001

9990099990

所以^.......-=0.00001-0.00001=0.00000000900991,

9990099990

而900991=7x13x9901=91x9901,

2009200911

所以,X=0.00000000900991x2009x——

9990099990J99019901

=0.00000000000091xllx2009=0.00000000001001x2009=0.00000002011009

【答案】0.00000002011009

【例14］某学生将1.23乘以一个数。时，把1.23误看成L23,使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是

多少？

【考点】循环小数计算【难度】3星【题型】计算

•・33

【解析】由题意得：1.23a—1.23a=0.3,即：0.003a=0.3,所以有：—«.解得a=90,

90010

••111

所以1.23。=1.23x90=—x90=111

90

【答案】111

【例15】计算：0.1+0.125+0.3+0.16,结果保留三位小数.

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算

【解析】方法一：0.1+0.125M.340.16。0.1111也.1250+0.3333旬.1666=0.7359=0.736

方法二：0.1+0.125+0.3+0.16=-+-+-+—=-+-=—=0.7361

9899018872

【答案】0.736

【例16】将循环小数0.027与0.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位

小数是多少？

【考点】循环小数计算【难度】3星【题型】计算

2717967211796724856

【解析】0.027x0.179672=-----x----------=——x---------=0.004856

99999999937999999999999