八年级平面直角坐标系讲义

/平面直角坐标系讲义人生应该如蜡烛一样，从顶燃到底，一直都是光明的。——萧楚女教师寄语：人生应该如蜡烛一样，从顶燃到底，一直都是光明的。——萧楚女教师寄语：【知识点精讲】:1、有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（x，y）.点在y轴右边，则x＞0；在y轴上，则x=0；在y轴左边，则x＜0。点在x轴上方，则y＞0；在x轴上，则y=0；在y轴下边，则 y＜0。坐标原点坐标为（0，0）；P（a，b）到x轴的距离为纵坐标的绝对值,到y轴的距离为横坐标的绝对值。2、平面直角坐标系及其有关的概念（1）平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系，如图1.（2）坐标轴：在平面直角坐标系中，水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.（3）象限：如图1，坐标平面被两条坐标轴分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.值得的注意是：坐标轴上的点不属于任何象限.O1O1a1bP（a，b）图2图1-123-1yO-2-31231-2-3x第一象限第二象限第三象限第四象限（+，+）（-，+）（-，-）（+，-）ⅠⅡⅢⅣ3.点的坐标①已知点的位置确定点的坐标：对于平面内任意一点P如图2，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点P的坐标.②已知点的坐标确定点的位置已知平面直角坐标系内一点的坐标，如P（-3，1），只需在x轴上找出表示-3的点，再在y轴上找出表示1的点，过这两点分别作x轴和y轴的垂线，两垂线的交点就是点P.4、点的坐标的特征：（1）各个象限内的点的坐标特征：第一、二、三、四象限内的点的坐标符号分别是（+，+）、（－，+）、（－，－）、（+，－）。反之也成立。（2）坐标轴上的点的坐标特征：x轴上的点表示为(x,0),当在x轴正半轴上x为正，当在x轴负半轴上x为负；y轴上的点表示为(0,y),当在y轴正半轴上y为正，当在x轴负半轴上y为负；坐标原点的坐标表示为（0,0）.反之，如果某点的坐标为(x,0)，则它必在x轴上,如果某点的坐标为(0,y)，则它必在y轴上,如果某点的坐标为(0,0)，则它必是坐标原点。坐标轴上的点不属于任何象限。（3）两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征：如果点p(a,b)在第一、三象限的夹角平分线上，则a=b.反之也成立。如果点p(a,b)在第二、四象限的夹角平分线上，则a+b=0.反之也成立。（4）和x轴、y轴平行的直线上点的坐标特征：一般地，平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等；平行于y轴的直线上各点的横坐标相等。反之，如果两点的纵坐标相等，则过这两点的直线平行于x轴；如果两点的横坐标相等，则过这两点的直线平行于y轴.5.图形平移后的坐标变化规律：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a（a＞O）个单位长度，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；将点（x，y）向上（或下）平移b（b＞O）个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）.6.由坐标变化导致图形的平移：在平面直角坐标系内，如果一个图形各个点的横坐标都加（或减）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或左）平移a个单位长度；如果把各个点的纵坐标都加（或减）一个正数b，相应的新图形就是把原图形向上（或下）平移b个单位长度.注意：平移不改变图形的形状和大小。【例题精讲】:如果点c(x,y)在第三象限,︱x+1︳=2,︱y－2︳=3.则点c的坐标为——例２、已知点p(m,2m－1)在x轴上，则p点的坐标为——例3、点A(－,)在第二象限的角平分线上，则a=——例4、已知点A(m,－2)和点B(3,m－1),且直线AB∥x轴.则m的值为——例5、已知线段AB∥y轴,如果点A的坐标为（－２，３）且AB=4,则点B的坐标为——yx(-1,3)(-2,-1)(1,1)o图(2)例6、、如图yx(-1,3)(-2,-1)(1,1)o图(2)A.(2,0)(3,4)(1,6)B.(－2,0)(4,3)(1,6)C.(0,2)(3,4)(1,6)D.(0,－2)(3,3)(1,6)【知识点归纳】:1、不同位置点的坐标的特征：（1）、各象限内点的坐标有如下特征：点P（x,y）在第一象限x＞0，y＞0；点P（x,y）在第二象限x＜0，y＞0；点P（x,y）在第三象限x＜0，y＜0；点P（x,y）在第四象限x＞0，y＜0.（2）、坐标轴上的点有如下特征：点P（x,y）在x轴上y为0，x为任意实数.点P（x，y）在y轴上x为0，y为任意实数.2、点P（x,y）坐标的几何意义：（1）点P（x,y）到x轴的距离是|y|；（2）点P（x,y）到y袖的距离是|x|；（3）点P（x,y）到原点的距离是3、关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征：（1）点P（a,b）关于x轴的对称点是；（2）点P（a,b）关于x轴的对称点是；（3）点P（a,b）关于原点的对称点是；【题型分类精析】:题型一：坐标轴上点的特征（x轴上点，纵坐标为0；y轴上点，横坐标为0。）1、已知点A（x，y），且xy=0，则点A在（）。A.原点B.x轴上C.y轴上D.x轴或y轴上。2、已知点P（x，y），且，则点B在（）。A.原点B.x轴的正半轴或负半轴C.y轴的正半轴或负半轴上D.在坐标轴上，但不在原点。3、已知点A（－3，2m+3）在x轴上，点B（n-4A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、如果点B（x－1，x＋3）在y轴上，则x=（）A.1B.－1C5、点P（m＋3,m＋1）在直角坐标系的x轴上，则点P坐标为（）A．（0，－2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，－4）题型二：各个象限内点的特征各象限中的点的坐标特征:①平面内一点P（x，y），如位于第一象限，则x>0，y>0；②如位于第二象限，则x<0，y>0；如位于第三象限，则x<0，y<0；③如位于第四象限，则x>0，y<0。1、已知点P（a,b）,ab＞0,a＋b＜0,则点P在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2、若点P（a，b）在第四象限，则点M（b－a，a－b）在_______。3、已知点A（－3，2m－1）在x轴上，点B（n＋1，4）在y轴上，则点C（m，n）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、已知，则的坐标为（）A、B、C、D、5、若点在第三象限，则点在（）Ａ、第一象限Ｂ、第二象限Ｃ、第三象限Ｄ、第四象限6、已知平面直角坐标系内点的纵、横坐标满足，则点位于（）A、轴上方（含轴）B、轴下方（含轴）C、轴的右方（含轴）D、轴的左方（含轴）7、已知点P（a,b）,ab＞0,a＋b＞0,则点P在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8、已知点P（x,），则点P一定（）A．在第一象限B．在第一或第四象限C．在x轴上方D．不在x轴下方题型三平行于坐标轴的直线的点的坐标特点①平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；②平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。【典型例题】1、平行于x轴的直线上的任意两点的坐标之间的关系是()A、横坐标相等B、纵坐标相等C、横坐标的绝对值相等D、纵坐标的绝对值相等2、已知点M（3，－2）与点M′（x，y）在同一条平行于y轴的直线上，且M′到x轴的距离等于4，则点M′的坐标是（）3、已知点A（a，b），则过A且与y轴平行的直线上的点（）A.横坐标是aB.纵坐标是aC.横坐标是bD.纵坐标是b4、已知点M（3，－2）与点（，）在同一条平行于轴的直线上，且到轴的距离等于4，则点的坐标是（）A、（4，2）或（4，－2）B、（4，－2）或（－4，－2）C、（4，－2）或（－5，－2）D、（4，－2）或（－1，－2）题型四各象限的角平分线上的点的坐标特点①第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；②第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。【典型例题】若点P（2-m，2m+1）在第四象限的角平分线上，则点M（，）关于轴的对称点坐标是。题型五与坐标轴、原点对称的点的坐标特点与坐标轴、原点对称的点的坐标特点：①关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数③关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数1、已知点A，如果点A关于轴的对称点是B，点B关于原点的对称点是C，则C点的坐标是（）A、B、C、D、2、已知点M与点N关于轴对称，则x+y=。3、若点A（，）与点B（4，－2）关于原点对称，则点C（，）到轴的距离为。4、如果，则点N（a，b）关于原点对称的点N′的坐标为（）A.（3，5）B.（－3，－5）C.（－3，5）D.（5，－3）题型六点到轴的距离点P（a，b）①到y轴的距离是横坐标a的绝对值，即|a|；②到x轴的距离是纵坐标b的绝对值，即|b|。【典型例题】1、点C在x轴上方，y轴左侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点C的坐标为（）A、（）B、（）C、（）D、（）2、点P（a＋5，a－2），到x轴的距离为3，则a_______。3、若，且点M（a，b）在第三象限，则点M的坐标是（）A、（5，4）B、（－5，4）C、（－5，－4）D、（5，－4）4、已知x轴上点P到y轴的距离是3，则点P坐标是_________。题型七两点之间的距离【典型例题】1、已知AB在x轴上，A点的坐标为（3，0），并且AB＝5，则B的坐标为2、已知线段MN=4，MN∥y轴，若点M坐标为(-1,2)，则N点坐标为.3、已知点（，），（，），则A，B两点相距（）．A、3个单位长度 B、4个单位长度C、5个单位长度 D、6个单位长度4、已知点A(4，y)，B(x,-3),若AB∥x轴，且线段AB的长为5，x=_______，y=_______题型八点的移动规律图形的移动引起坐标变化的规律：（1）、将点（x，y）向右平移a个单位长度，得到的对应点的坐标是：（x+a，y）（2）、将点（x，y）向左平移a个单位长度，得到的对应点的坐标是：（x-a，y）（3）、将点（x，y）向上平移b个单位长度，得到的对应点的坐标是：（x，y+b）（4）、将点（x，y）向下平移b个单位长度，得到的对应点的坐标是：（x，y-b）1、在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，可以得到对应点坐标（，）；将点向左平移3个单位长度可得到对应点（，）；将点向上平移3单位长度可得对应点（，）；将点向下平移3单位长度可得对应点（，）。.2、在平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比是（）A、向右平移了3个单位B、向左平移了3个单位C、向上平移了3个单位D、向下平移了3个单位3、将点P(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x，-1)，则xy=___________.4、线段CD是由线段AB平移得到的，点A（-1，3）的对应点C（2，5），则B（-3，-2）的对应点D的坐标为。【数学故事】:麦比乌斯带每一张纸均有两个面和封闭曲线状的棱(edge)，如果有一张纸它有一条棱而且只有一个面，使得一只蚂蚁能够不越过棱就可从纸上的任何一点到达其他任何一点，这有可能吗事实上是可能的只要把一条纸带半扭转，再把两头贴上就行了。这是德国数学家麦比乌斯(Mbius.A.F1790-1868)在1858年发现的，自此以後那种带就以他的名字命名，称为麦比乌斯带。有了这种玩具使得一支数学的分支拓朴学得以蓬勃发展。【课堂小测验】:一、填空题1，点M(a,0)在＿＿＿轴上；点N(0,b)在＿＿＿轴上.2，点P(a，b)与点Q(a，－b)关于＿＿＿轴对称；点M(a，b)和点N(－a，b)关于＿＿＿轴对称.3，△ABC中，A(－4,－2),B(－1,－3),C(－2,－1),将△ABC先向右平移4个单位长度,再向上平移3个单位长度,则对应点A′、B′、C′的坐标分别为＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿.4，已知点M(－4，2),将坐标系先向下平移3个单位长度,再向左平移3个单位长度,则点M在新坐标系内的坐标为＿＿＿.二、选择题5，点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，则P点