重庆康德2024年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学参考答案

2024年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学参考答案一、单选题1～8BAADCACD8题解析：易证f(x)是增函数，f(ax24x)f(2x)f[(ax24x)2x]2f(ax22x)21，所以faxxxy0f(0)2x1y1f(0x1y1，(2)12得f(2)2；令x2y1，得f(4；令xy，得(3)13f，所以22232x．原问题即2a24x3在[12]有解．令tx211，则2at2t在t[时有x24解，从而2]a，．a，，[12]323二、多选题9．10BC12ABD12题解析：由ababab，得(ab)2(ab)ab．因为b是正数，所以ab0，从而22(ab)(ab)0，解得ab1．因为ab，所以ab2(ab)2，42(ab)2ab4．因为14从而(ab)(ab)，解得ab，433所以(ab)2(ab)(04)，从而1．故选ABD．92三、填空题13．1214．(1．4．2616题解析：设双曲线的焦距为2c，点M(xy)，11cN(xy)，则||||(xx)2a222212a．由题意，直线的方程为y3(xc)，代入x2y2a2得2(xx)2a122x2627a20，所以1232a，从而|4a．△MNF的周长为1|||NF||4a2|12a，由题意，1

a．所以焦距2c22a．2116第一次联合诊断检测（数学）第5页共9页四、解答题17）设a的公差为d，由题意，得n14d1，2a16d2．113，所以d1，故31(7nan．……5分2n22[a]3，[a][a]2，[a][a]1，……，[a][a]2．

（2）由题意，123451011Tbbbbbbb1112345101122(222)3221．2所以11]．……分18）零假设H：对“腊八节”民俗的了解程度与年龄相互独立．0224424)100由题意，得406032682.706．根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断H不成立，0即认为对“腊八节”民俗的了解程度没有年龄差异．……5分（2）设选择题部分和填空题部分答对题目分别为X和Y．

因为X服从B，所以54．由题意，Y的可能取值为1，2，3．CC312PY，32C1035CC3C1213PY2)，PY．323C5C103355所以323311.8

．10510该受调者答对题目数量的期望为E(XY)4个．……分19）由题意，a2sinBsinC1SabsinC，cosA2因为a0，sinC0，所以1asinBbcosA．21sinAsinBsinBA，由正弦定理，得21因为sinB0，所以AA，故sin21A．……5分2（2）由（）得sin5A，cos52525A，所以cos(BC)cosA，55由cos(BC)BCBC，及BC，得sinsin55cosBC．55第一次联合诊断检测（数学）第6页共9页由正弦定理，得a2，所以bc5．BCA2由余弦定理，得b2c2a2bccosA5．……分20解：取AD中点O，连接，．（1）△PAD中，因为PAPD，所以AD．P△AOB中，因为2，11，BAD45，2ODC由余弦定理，得1，所以OB2AO2AB2，AD．AB因为，是平面BOP上的两条相交直线，所以AD平面BOP．

因为PB平面BOP，所以ADPB．因为ADBC，所以PB．……5分（2）由（）知，PB，所以PB22BC2，则PB3，又22，PO2OB29PB2，所以PO，则POABCD，如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则(10)，B(00)，C(0)，D(0)，P(022)．zP则(，(022)，(200)DC设平面PAB的法向量为m(z)，则OABmPBm，即0.xy，取m(22．y22z0.ABxy设平面PBC的法向量为n(z)，则BCmPBm2x，0，即取n(02．0.y22z0.cosmnmn9317|m||n|17317．所以，二面角APBC的余弦值为3．……分21第一次联合诊断检测（数学）第7页共9页解：因为点(22)在抛物线E：x22py上，所以p1．E的方程为：x22y．xx22（1）设B(x，)，C(x，)，12122212，22且xx．12由题意，xx222212220x2x212，化简得124．所以，直线BC的斜率为xx2212xx22212xx212．……5分（2）由（BC的方程为y2xm，代入x22y，消去y得：x24x2m0．则16m0，124，xxm．122因为直线BC被圆M截得的线段长为25，所以(2)30m2r()，2255化简得：(m2)25r26①．由0r3，则1m5x2直线AB的方程为y1x，即(xx2y2x0．2(2)112|42x|因为直线AB与圆M相切，所以1(x2)421r4r2，化简得(x2)2124r．4r2(x2)2同理，224r．xx是方程124r2x4x4024r2的两根，所以4r2xx41224r，故2m44r24r2②．由①②解得m0（m26r2．……分22）当a1时，f(x)exx，x0．因为1在(0)上单调递增，且(1)0f(x)exf，f0，x2第一次联合诊断检测（数学）第8页共9页所以，存在x01(，使得当2xx时，f(x)0；当(0)0xx时，f(x)0．()0且fx，即ex()0001．x0故f(x)在(0x)上单调递减，在(x)上单调递增，f(x)存在唯一的极小值点00x．01(x2因为0f(x)2exx2x200，所以000xx00f(x)2．……5分0（2）令exa)xax0，得exxaxlnax，设g(x)exx，因为g(x)ex10，所以g(x)在定义域上单调递增，而axlnaxeax，则有g(x)g(ln(ax))，由题意，x为x的两个根中较小的根，即ex，111x．10axss，从而exs)s2，1)2又由题意，有1则有s)s10设(s)s)s1，s1，当s0时，s)0，1s1，所以(s)0符合题意，1当1s0时，(s)sins01s，所以(s)在(1,0]上单调递增，(s)(0)0，不合题意，所以s0．1设m(x)exx)x2，则(x)esinx1xx，因为x>0，令p(x)exx1，q(x)xsinx，则p(x)