北师大版八年级下册数学同步课时练习题(全册分章节课时-含答案)

第第页北师大版八年级下册数学同步课时练习题三角形的证明1．1等腰三角形第1课时全等三角形和等腰三角形的性质01基础题知识点1全等三角形的性质与判定1．如图，△ABC≌△BAD.若AB＝6，AC＝4，BC＝5，则AD的长为(B)A．4B．5C．6D．以上都不对2．如图，若能用AAS来判定△ACD≌△ABE，则需要添加的条件是(B)A．∠ADC＝∠AEB，∠C＝∠BB．∠ADC＝∠AEB，CD＝BEC．AC＝AB，AD＝AED．AC＝AB，∠C＝∠B3．(2016·成都)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120°．4．(2017·怀化)如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：AB＝DE(答案不唯一)，使得△ABC≌△DEC.5．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝6．6．(2016·宜宾)如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD.证明：∵∠CAB＝∠DBA，∠DAC＝∠CBD，∴∠DAB＝∠CBA.在△ADB和△BCA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DBA＝∠CAB，,AB＝BA，,∠DAB＝∠CBA，))∴△ADB≌△BCA(ASA)．∴AD＝BC.7．(2017·黄冈)已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求证：∠B＝∠ANM.证明：∵∠BAC＝∠DAM，∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAM＝∠DAC＋∠NAM，∴∠BAD＝∠NAM.在△BAD和△NAM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AN，,∠BAD＝∠NAM，,AD＝AM，))∴△BAD≌△NAM(SAS)．∴∠B＝∠ANM.知识点2等腰三角形的性质8．若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角度数为(D)A．40°B．50°C．60°D．65°9．(2017·平顶山市宝丰县期末)等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，则此三角形的周长为(D)A．13B．14C．15D．13或1410．(2017·江西)如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA＝OB.若剪刀张开的角为30°，则∠A＝75度．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是20．02中档题12．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝CD，则下列结论错误的是(C)A．AB＝ACB．AD平分∠BACC．AB＝BCD．∠BAC＝90°13．(2017·朝阳市建平县期末)若等腰三角形的一个内角等于15°，则这个三角形为(D)A．钝角等腰三角形B．直角等腰三角形C．锐角等腰三角形D．钝角等腰三角形或锐角等腰三角形14．(2016·泰安)如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK.若∠MKN＝44°，则∠P的度数为(D)A．44°B．66°C．88°D．92°15．如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明．解：(1)答案不唯一，如：△ABE≌△CDF，△ABC≌△CDA.(2)答案不唯一，如选择证明△ABE≌△CDF，证明如下：∵AF＝CE，∴AE＝CF.∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.又∵∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF(AAS)．16．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2CD.证明：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEF＝∠CEB＝∠ADC＝90°.∴∠AFE＋∠EAF＝∠CFD＋∠ECB＝90°.又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠ECB.在△AEF和△CEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEF＝∠CEB，,AE＝CE，,∠EAF＝∠ECB，))∴△AEF≌△CEB(ASA)．(2)∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC.在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，BC＝2CD.∴AF＝2CD.03综合题17．(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在边AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数；(2)如图2，在△ABC中，∠ACB＝40°，点D，E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，则∠DCE＝110°；(3)在△ABC中，∠ACB＝n°(0＜n＜180)，点D，E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数(直接写出答案，用含n的式子表示)．解：(1)∵AD＝AC，BC＝BE，∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC.∴∠ACD＝(180°－∠A)÷2，∠BCE＝(180°－∠B)÷2.∵∠A＋∠B＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝180°－(∠A＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°.∴∠DCE＝∠ACD＋∠BCE－∠ACB＝135°－90°＝45°.(3)①如图1，∠DCE＝90°－eq\f(1,2)n°；②如图2，∠DCE＝90°＋eq\f(1,2)n°；③如图3，∠DCE＝eq\f(1,2)n°；④如图4，∠DCE＝eq\f(1,2)n°.第2课时等边三角形的性质01基础题知识点1等腰三角形相关线段的性质1．在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为边AC，AB上的中线．若BD＝5，则CE＝5．2．证明：等腰三角形两腰上的高相等．解：已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D.求证：BD＝CE.证明：∵CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.又∵AC＝AB，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD(AAS)．∴CE＝BD.知识点2等边三角形的性质3．如图，△ABC是等边三角形，则∠1＋∠2＝(C)A．60°B．90°C．120°D．180°4．(2017·南充)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(D)A．(1，1)B．(eq\r(3)，1)C．(eq\r(3)，eq\r(3))D．(1，eq\r(3))5．如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD＝120°．6．如图，等边△ABC中，AD为高，若AB＝6，则CD的长度为3．7．等边△ABC的边长如图所示，则y＝3．8．如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，延长AC，交直线m于点D.若∠1＝20°，求∠2的度数．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.∴在△BCD中，∠CDB＝∠ACB－∠1＝60°－20°＝40°.∵l∥m，∴∠2＝∠CDB＝40°.9．如图，△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE＝BD.证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，AD为BC边上的中线，∴AE＝AD，AD为∠BAC的平分线．∴∠CAD＝∠BAD＝30°.∴∠BAE＝∠BAD＝30°.在△ABE和△ABD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AD，,∠BAE＝∠BAD，,AB＝AB，))∴△ABE≌△ABD(SAS)．∴BE＝BD.02中档题10．下列说法：①等边三角形的每一个内角都等于60°；②等边三角形三条边上的高都相等；③等腰三角形两底角的平分线相等；④等边三角形任意一边上的高与这条边上的中线互相重合；⑤等腰三角形一腰上的高与这条腰上的中线互相重合．其中正确的有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，垂足为D，点E是AC上一点，且AD＝AE，则∠CDE等于(C)A．30°B．20°C．15°D．10°12．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝15度．13．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，CD，BE交于点O，则∠BOC的度数是120°．14．如图，已知等边△ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD＝45°．15．如图，在等边△ABC中，D是BC上的一点，延长AD至E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O.求∠E的度数．解：∵△ABC是等边三角形，BF是△ABC的高，∴∠ABO＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°，AB＝AC.∵AE＝AC，∴AB＝AE.∵AO为∠BAE的平分线，∴∠BAO＝∠EAO.在△ABO和△AEO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AE，,∠BAO＝∠EAO，,AO＝AO，))∴△ABO≌△AEO(SAS)．∴∠E＝∠ABO＝30°.16．如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q.(1)求证：AM＝BN；(2)求∠BQM的度数．解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB和△BNC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABM＝∠C，,BM＝CN，))∴△AMB≌△BNC(SAS)．∴AM＝BN.(2)∵△AMB≌△BNC，∴∠MAB＝∠NBC.∴∠BQM＝∠MAB＋∠ABQ＝∠NBC＋∠ABQ＝∠ABC＝60°.03综合题17．已知，如图所示，P为等边△ABC内的一点，它到三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高AM＝h，则h与h1，h2，h3有何数量关系？写出你的猜想并加以证明．解：猜想：h1＋h2＋h3＝h.证明如下：连接PA，PB，PC.∵S△PAB＝eq\f(1,2)AB·h1，S△PAC＝eq\f(1,2)AC·h2，S△PBC＝eq\f(1,2)BC·h3，S△ABC＝eq\f(1,2)BC·h，S△PAB＋S△PAC＋S△PBC＝S△ABC，∴eq\f(1,2)AB·h1＋eq\f(1,2)AC·h2＋eq\f(1,2)BC·h3＝eq\f(1,2)BC·h.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC.∴h1＋h2＋h3＝h.第3课时等腰三角形的判定与反证法01基础题知识点1等腰三角形的判定1．在△ABC中，已知∠B＝∠C，则(B)A．AB＝BCB．AB＝ACC．BC＝ACD．∠A＝60°2．如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是(C)A．任意三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形3．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是(C)A．OA＝ODB．AB＝CDC．∠ABO＝∠DCOD．∠ABC＝∠DCB4．(易错题)下列能判定△ABC为等腰三角形的是(B)A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A＝50°，∠B＝80°C．AB＝AC＝2，BC＝4D．AB＝3，BC＝7，周长为105．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3cm，则CD＝3cm.6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，若添加下列条件中的一个：①BD＝CD；②AD平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成为等腰三角形的有①②．7．已知：如图，AB＝BC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形．证明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C.∴∠BDE＝∠BED.∴BD＝BE.∴△DBE是等腰三角形．知识点2反证法8．(2017·西安期中)用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中有两个角是直角．9．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．已知：等腰△ABC，AB＝AC.求证：∠B，∠C必定是锐角．证明：①假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是直角，即∠B＋∠C＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾；②假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，即∠B＋∠C＞180°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．故等腰三角形的底角必定为锐角．10．用反证法证明：已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b.证明：假设a与b相交于点M，则过M点有两条直线平行于直线c，这与“过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条”相矛盾，所以假设不成立，即a∥b.02中档题11．(2017·郑州月考)已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若BD＋CE＝5，则线段DE的长为(A)A．5B．6C．7D．812．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.若用反证法证这个结论，应首先假设∠B≥90°．13．如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得到△ABC的形状一定是等腰三角形．14．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东70°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东50°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝7海里．15．(2017·内江)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．证明：∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠EDA.∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠EAD.∴∠EAD＝∠EDA.∵AD⊥BD，∴∠EAD＋∠B＝90°，∠EDA＋∠BDE＝90°.∴∠B＝∠BDE.∴△BDE是等腰三角形．16．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC，延长BC到E，使CE＝CD，连接DE.(1)成逸同学说：BD＝DE，她说得对吗？请你说明理由；(2)小敏同学说：把“BD平分∠ABC”改成其他条件，也能得到同样的结论，你认为应该如何改呢？解：(1)BD＝DE是正确的．理由：∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°，∠ACB＝60°.∴∠DCE＝180°－∠ACB＝120°.又∵CE＝CD，∴∠E＝30°.∴∠DBC＝∠E.∴BD＝DE.(2)可改为：BD⊥AC(或点D为AC中点)．理由：∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°.∴∠DBC＝30°.由(1)可知∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E.∴BD＝DE.03综合题17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝25°，∠DEC＝115°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小(填“大”或“小”)；(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，△ADE可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．解：(2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE.理由：∵∠C＝40°，∴∠DEC＋∠EDC＝140°.又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB＋∠EDC＝140°.∴∠ADB＝∠DEC.又∵AB＝DC＝2，∴△ABD≌△DCE(AAS)．(3)可以，∠BDA的度数为110°或80°.理由：当∠BDA＝110°时，∠ADC＝70°.∵∠C＝40°，∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－70°－40°＝70°.∴∠AED＝180°－∠DAC－∠ADE＝180°－70°－40°＝70°.∴∠AED＝∠DAE.∴AD＝ED.∴△ADE是等腰三角形．当∠BDA＝80°时，∠ADC＝100°.∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－100°－40°＝40°.∴∠DAE＝∠ADE.∴AE＝DE.∴△ADE是等腰三角形．第4课时等边三角形的判定01基础题知识点1等边三角形的判定1．△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则△ABC是(B)A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定2．下列说法不正确的是(D)A．有两个角分别为60°的三角形是等边三角形B．顶角为60°的等腰三角形是等边三角形C．底角为60°的等腰三角形是等边三角形D．有一个角为60°的三角形是等边三角形3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，则AC等于(B)A．4B．6C．8D．104．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是等边三角形．5．如图，已知OA＝a，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°，当OP＝a时，△AOP为等边三角形．6．如图，点D，E在线段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求证：△ADE为等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴AD＝AE.又∵∠ADB＝120°，∴∠ADE＝60°.∴△ADE为等边三角形．知识点2含30°角的直角三角形的性质7．(2017·平顶山市宝丰县期中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝9，则AB＝18．8．(2017·郑州月考)如图，∠C＝90°，∠ABC＝75°，∠CDB＝30°.若BC＝3cm，则AD＝6cm.9．如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为26秒．10．如图，铁路AC与铁路AD相交于车站A，B区在∠CAD的平分线上，且距车站A为20千米，∠DAC＝60°，则B区距铁路AC的距离为10千米．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，BC＝8cm，求AD的长．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8cm，∴∠B＝60°，AB＝2BC＝16cm.又∵CD⊥AB于D，∴∠BDC＝90°.∴∠DCB＝30°.∴DB＝eq\f(1,2)BC＝4cm.∴AD＝AB－DB＝12cm.02中档题12．在下列三角形中：①三边都相等的三角形；②有一个角是60°且是轴对称图形的三角形；③三个外角(每个顶点处各取1个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(D)A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④13．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知CD＝1，∠B＝30°，则BD的长是(B)A．1B．2C.eq\r(3)D．2eq\r(3)14．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是(D)A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形15．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝(C)A．3B．4C．5D．616．如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，CA边上一点，且AD＝BE＝CF，则△DEF的形状是等边三角形．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边的中线，点E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF.(1)求证：△AED是等边三角形；(2)若AB＝2，则四边形AEDF的周长是4．证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵AD是BC边的中线，∴AD⊥BC.∴∠BAD＝60°.∴AD＝eq\f(1,2)AB.∵点E为AB的中点，∴AE＝eq\f(1,2)AB.∴AE＝AD.∴△ADE是等边三角形．03综合题18．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC.(1)如图1，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF.求证：①△ABE≌△ACF；②△AEF是等边三角形；(2)若点E在BC的延长线上，则在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论(图2备用)．解：(1)证明：①∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AB＝AC.同理，△ADC也是等边三角形，∴∠B＝∠ACF＝60°.又∵BE＝CF，∴△ABE≌△ACF(SAS)．②∵△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∵∠BAE＋∠CAE＝60°，∴∠CAF＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°.∴△AEF是等边三角形．(2)存在．证明：在CD延长线上取点F，在BC延长线上取点E，使CF＝BE，连接AE，EF，AF.与(1)①同理，可证△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∴∠BAE－∠CAE＝∠CAF－∠CAE.∴∠BAC＝∠EAF＝60°.∴△AEF是等边三角形．(注：若在CD延长线上取点F，使CE＝DF也可)小专题(一)等腰三角形中常见的数学思想类型1方程思想1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA，求∠A的度数．解：设∠A＝x°，∵BC＝BD＝ED＝EA，∴∠ADE＝∠A＝x°.∴∠DEA＝∠DBE＝2x°.∴∠BDC＝∠C＝3x°.∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝3x°.在△ABC中，∠A＋∠C＋∠ABC＝180°，即x＋3x＋3x＝180.∴x＝eq\f(180,7).∴∠A为eq\f(180°,7).类型2分类讨论思想2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件在点P共有(B)A．7个B．6个C．5个D．4个3．若实数x，y满足|x－5|＋eq\r(y－10)＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为25．4．如图，∠BOC＝60°，点A是BO延长线上的一点，OA＝10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t＝eq\f(10,3)或10s时，△POQ是等腰三角形．5．已知O为等边△ABD的边BD的中点，AB＝4，E，F分别为射线AB，DA上一动点，且∠EOF＝120°，若AF＝1，求BE的长．解：当F点在线段DA的延长线上，如图1，作OM∥AB交AD于M，∵O为等边△ABD的边BD的中点，∴OB＝2，∠D＝∠ABD＝60°.∴△ODM为等边三角形．∴OM＝MD＝2，∠OMD＝60°.∴FM＝FA＋AM＝3，∠FMO＝∠BOM＝120°.∵∠EOF＝120°，∴∠BOE＝∠FOM.而∠EBO＝180°－∠ABD＝120°，∴△OMF≌△OBE(ASA)．∴BE＝MF＝3.当F点在线段AD上时，如图2，同理可证明△OMF≌△OBE，则BE＝MF＝AM－AF＝2－1＝1.类型3整体思想6．已知△ABC中，∠A＝α，点D，E，F分别在BC，AB，AC上．(1)如图1，若BE＝BD，CD＝CF，则∠EDF＝90°－eq\f(1,2)α；(2)如图2，若BD＝DE，DC＝DF，则∠EDF＝180°－2α；(3)如图3，若BD＝CF，CD＝BE，AB＝AC，则∠EDF＝eq\f(1,2)(180°－α)；(4)如图4，若DE⊥AB，DF⊥BC，AB＝AC，则∠EDF＝eq\f(1,2)(180°－α)．1．2直角三角形第1课时勾股定理及其逆定理01基础题知识点1直角三角形的性质及其判定1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D)A．120°B．90°C．60°D．30°2．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C)A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶53．(2017·安徽)直角三角板和直尺如图放置．若∠1＝20°，则∠2的度数为(C)A．60°B．50°C．40°D．30°知识点2勾股定理及其逆定理4．(2017·西安期中)下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是(D)A．2，4，5B．6，8，11C．5，12，12D．1，1，eq\r(2)5．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为(D)A．1B．2C．3D．46．(2017·阿坝)直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为6．7．(2017·成都)如图，数轴上点A表示的实数是eq\r(5)－1．8．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，AC⊥CD，求四边形ABCD的面积．解：∵AC⊥CD，CD＝12，AD＝13，∴AC＝eq\r(AD2－CD2)＝eq\r(132－122)＝5.又∵AB＝3，BC＝4，∴AB2＋BC2＝32＋42＝52＝AC2.∴∠B＝90°.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq\f(1,2)AB·BC＋eq\f(1,2)AC·CD＝eq\f(1,2)×3×4＋eq\f(1,2)×5×12＝6＋30＝36.知识点3命题(逆命题)与定理(逆定理)9．下列命题中，其逆命题成立的是①④．(只填写序号)①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a，b，c(c为最长边)满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．10．写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题．(1)两直线平行，同位角相等；(2)如果a是偶数，b是偶数，那么a＋b是偶数．解：(1)同位角相等，两直线平行．真命题．(2)如果a＋b是偶数，那么a是偶数，b是偶数．假命题．02中档题11．已知下列命题：①若a＋b＝0，则|a|＝|b|；②等边三角形的三个内角都相等；③底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(A)A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为(A)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对13．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)A．3eq\r(3)B．6C．3eq\r(2)D.eq\r(21)14．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为(D)A．2B．2eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)＋1D.eq\r(3)＋115．在△ABC中，AB＝10，AC＝2eq\r(10)，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(C)A．10B．8C．6或10D．8或1016．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为20cm.17．(2016·益阳)如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝14－x.由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，故152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(152－92)＝12.∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×14×12＝84.03综合题18．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.你能发现什么规律，根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，则b，c的值是多少？(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．你能证明所发现的规律吗？解：(1)当a＝19时，设b＝k，则c＝k＋1，观察有如下规律：192＋k2＝(k＋1)2.解得k＝180.故b＝180，c＝181.(2)当a＝2n＋1时，设b＝k，则c＝k＋1，根据勾股定理a2＋b2＝c2得(2n＋1)2＋k2＝(k＋1)2，解得k＝2n(n＋1)．∴b＝2n(n＋1)，c＝2n(n＋1)＋1.证明：∵a2＋b2＝(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，[2n(n＋1)＋1]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，∴a2＋b2＝c2.∴(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝[2n(n＋1)＋1]2.第2课时直角三角形全等的判定01基础题知识点1用HL判定直角三角形全等1．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则直接得到△PEA≌△PFA的理由是(A)A．HLB．ASAC．AASD．SAS2．如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是(A)A．AB＝ACB．∠BAC＝90°C．BD＝ACD．∠B＝45°3．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝(B)A．40°B．50°C．60°D．75°4．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE.若BD＝3，CE＝5，则DE＝8．5．如图所示，AD⊥BE于点C，C是BE的中点，AB＝DE，求证：AB∥DE.证明：∵AD⊥BE，∴∠ACB＝∠DCE＝90°.∵C是BE的中点，∴BC＝EC.在Rt△ABC和Rt△DEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,BC＝EC，))∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)．∴∠A＝∠D.∴AB∥DE.知识点2用其他方法证明直角三角形全等6．(2017·平顶山市宝丰县期中)下列条件不能判断两个直角三角形全等的是(C)A．两条直角边分别对应相等B．斜边和一个锐角分别对应相等C．两个锐角对应相等D．斜边和一直角边分别对应相等7．如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件：答案不唯一，如：∠BAC＝∠ABD．(只需写出一种情况)8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，使DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.证明：∵EF⊥AC，∴∠F＋∠C＝90°.∵∠A＋∠C＝90°，∴∠A＝∠F.又∵DB＝BC，∠FBD＝∠ABC，∴△FBD≌△ABC(AAS)．∴AB＝BF.知识点3HL在实际问题中的应用9．如图，点C是路段AB的中点，小明和小红两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，并且DA⊥AB于A，EB⊥AB于B.此时小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段AB的距离是多少米？解：∵DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，∴△ADC和△BEC为直角三角形．∵点C是路段AB的中点，∴AC＝BC.∵小明和小红同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，∴CD＝CE.∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL)．∴BE＝AD＝50米．答：小红到路段AB的距离是50米．02中档题10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是(A)11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有(D)A．3对B．4对C．5对D．6对12．如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，C作a的垂线，垂足分别为点E，F.若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为eq\r(10)．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等．14．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝CF，,AB＝CB，))∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°.∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°.∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.03综合题15．如图1，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB＝CD，BF＝DE，BD交AC于点M.(1)求证：AE＝CF，MB＝MD；(2)当E，F两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．解：(1)证明：在Rt△ABF和Rt△CDE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,BF＝DE，))∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴AF＝CE.∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF.∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEM＝∠BFM＝90°.在△DEM和△BFM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DEM＝∠BFM，,∠DME＝∠BMF，,DE＝BF，))∴△DEM≌△BFM(AAS)．∴MD＝MB.(2)AE＝CF，MB＝MD仍然成立．证明：在Rt△ABF和Rt△CDE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,BF＝DE，))∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴AF＝CE.∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF.在△DEM和△BFM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DEM＝∠BFM，,∠DME＝∠BMF，,DE＝BF，))∴△DEM≌△BFM(AAS)．∴MD＝MB.周周练(1.1～1.2)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，则∠A的度数是(C)A．70°B．55°C．50°D．40°2．若△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，则必有(D)A．∠A＝2∠B＝3∠CB．∠A＝∠B＝∠CC．∠A＝∠B＋∠CD．∠A＋∠B＝∠C3．下列命题的逆命题不正确的是(D)A．若a2＝b2，则a＝bB．两直线平行，内错角相等C．等腰三角形的两个底角相等D．对顶角相等4．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是(D)A．∠B＝∠CB．AD⊥BCC．AD平分∠BACD．AB＝2BD5．(2017·平顶山市宝丰县期中)若等边三角形的一条高为eq\r(3)，其边长为(A)A．2B．1C．3D．46．(2017·陕西西北大学附属学校期中)如图，△ABC中，AC＝3，∠C＝90°，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是(D)A．3.5B．4.2C．5.8D．77．(2017·西安期中)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有(D)A．2个B．3个C．4个D．5个8．如图，在Rt△ABE中，∠B＝90°，延长BE到C，使EC＝AB，分别过点C，E作BC，AE的垂线，两线相交于点D，连接AD.若AB＝3，DC＝4，则AD的长是(C)A．5B．7C．5eq\r(2)D．无法确定二、填空题(每小题4分，共24分)9．如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边(HL)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件答案不唯一，如：BC＝FE．10．在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大于60°”成立时，我们利用反证法，先假设三角形的三个内角都大于60°，则可推出三个内角之和大于180°，这与三角形内角和定理相矛盾．11．如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝3．12．如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需7米．13．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为4eq\r(3)．14．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(3，0)，B(8，0)，若点P在y轴上，且△PAB是等腰三角形，则点P的坐标为(0，4)或(0，－4)．三、解答题(共44分)15．(8分)(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O.(1)求证：△ABC≌△DCB；(2)△OBC是何种三角形？证明你的结论．解：(1)证明：∵在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，∴△ABC和△DCB都为直角三角形．在Rt△ABC和Rt△DCB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝DB，,BC＝CB，))∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)．(2)△OBC是等腰三角形．证明：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB＝∠DBC.∴OB＝OC.∴△OBC是等腰三角形．16．(10分)(2017·苏州)如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.(1)求证：△AEC≌△BED；(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．解：(1)证明：∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE.∵∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO.∴∠1＋∠AED＝∠BEO＋∠AED，即∠AEC＝∠BED.在△AEC和△BED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠B，,AE＝BE，,∠AEC＝∠BED，))∴△AEC≌△BED(ASA)．(2)∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69°.∴∠BDE＝∠C＝69°.17．(12分)如图，已知A，B，C，D四个城镇(除B，C外)都有笔直的公路相接，公共汽车行驶于城镇之间，公共汽车票价与路程成正比，已知各城镇间公共汽车票价如下：为了B，C间的交通方便，打算在B，C之间建一条笔直公路，请按上述标准预算出B，C之间的公共汽车票价．解：AD为16，AB为20，BD为12，∵122＋162＝202，∴∠ADB＝90°.∵AC＝25，AD＝16，CD＝9，即AC＝AD＋DC，∴A，D，C三个点在一条直线上，可知∠BDC＝90°.又∵BD＝12，DC＝9，∴BC＝eq\r(122＋92)＝15.故B，C之间的公共汽车票价为15元．18．(14分)如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.(1)求证：△ODE是等边三角形；(2)线段BD，DE，EC三者有什么数量关系？写出你的判断过程；(3)数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题．(只要提出问题，不需要解答)解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.∴△ODE是等边三角形．(2)BD＝DE＝EC.理由：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABO＝∠OBD＝30°.∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°.∴∠OBD＝∠BOD.∴DB＝DO.同理，EC＝EO.由(1)知，△ODE是等边三角形，∴DE＝OD＝OE.∴BD＝DE＝EC.(3)答案不唯一，如：①连接AO，并延长交BC于点F，求证：△ABF是直角三角形；②若等边△ABC的边长为1，求BC边上的高．

1.3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质定理及其逆定理01基础题知识点1线段的垂直平分线的性质1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝3cm，则线段PB的长为(D)A．6cmB．5cmC．4cmD．3cm2．如图，AB是CD的垂直平分线，若AC＝2.3cm，BD＝1.6cm，则四边形ACBD的周长是(B)A．3.9cmB．7.8cmC．4cmD．4.6cm3．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(C)A．AB＝ADB．AC平分∠BCDC．AB＝BDD．△BEC≌△DEC4．(2017·西安期中)如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝(B)A．50°B．100°C．120°D．130°5．如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3，则CE的长为6．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：∠CAB＝∠AED.证明：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB.∴∠EAB＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°.又∵∠AED＋∠EAB＝90°，∴∠CAB＝∠AED.知识点2线段的垂直平分线的判定7．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(A)A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB8．如图，D是△ABC的边BC的延长线上一点，且BD＝BC＋AC，则点C在线段AD的垂直平分线上．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：点D在AB的垂直平分线上．证明：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°－30°＝60°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°.∴∠A＝∠ABD.∴DA＝DB.∴点D在AB的垂直平分线上．02中档题10．平面直角坐标系中，已知A(－1，3)，B(－1，－1)．下列四个点中，在线段AB的垂直平分线上的点是(B)A．(0，2)B．(－3，1)C．(1，2)D．(1，0)11．下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA＝EB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE是线段AB的垂直平分线；③若EA＝EB，则直线EP是线段AB的垂直平分线；④若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．其中正确的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A，C为圆心，大于eq\f(1,2)AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，与AC，BC分别交于点D，E，连接AE，则：(1)∠ADE＝90°；(2)AE＝EC；(填“＝”“＞”或“＜”)(3)当AB＝3，AC＝5时，△ABE的周长＝7．13．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC.若∠AOC＝125°，则∠ABC＝70°．14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝30°．15．(2017·朝阳市建平县期中)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为eq\f(7,6)．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上．证明：∵E是BD的垂直平分线上的一点，∴EB＝ED.∴∠B＝∠D.又∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D.∵∠B＝∠D，∴∠CFD＝∠A.又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠AFE＝∠A.∴EF＝EA.∴点E在AF的垂直平分线上．03综合题17．(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交直线BC于点M，∠A＝40°，求∠NMB的大小；(2)如果将(1)中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小；(3)你发现了什么样的规律？试证明；(4)将(1)中的∠A改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改．解：(1)∵∠B＝eq\f(1,2)(180°－∠A)＝70°，∴∠NMB＝90°－∠B＝20°.(2)同理得∠NMB＝35°.(3)发现的规律是∠NMB＝eq\f(1,2)∠A.证明：设∠A＝α，则有∠B＝eq\f(1,2)(180°－α)．∴∠NMB＝90°－∠B＝90°－eq\f(1,2)(180°－α)＝eq\f(1,2)α＝eq\f(1,2)∠A.(4)∠A改为钝角后，∠NMB＝eq\f(1,2)∠A这个规律仍成立．上述规律为：等腰三角形一腰上的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半．第2课时三角形三边的垂直平分线01基础题知识点1三角形三边的垂直平分线的性质1．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3cm，PB＝3cm，则点P一定(D)A．是边AB的中点B．在边AB的中线上C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上2．(2017·郑州期末)在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形(C)A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条高的交点3．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是(B)A．20°B．40°C．50°D．60°4．△ABC中，AB，AC的垂直平分线相交于点P，那么P点必定在BC的垂直平分线上，且PA＝PB＝PC．5．如图，O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为5cm，则AO＋BO＋CO＝15_cm．6．如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，BC＝6cm，请计算出∠DAE的度数和△ADE的周长．解：∵AB和AC的垂直平分线交BC于点D，E，∴BD＝AD，CE＝AE.∴∠DAB＝∠B＝32°，∠EAC＝∠C＝48°.∴∠ADE＝∠B＋∠DAB＝64°，∠AED＝∠C＋∠EAC＝96°.∴∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝20°，△ADE的周长为AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6cm.知识点2作图7．在同一平面内，过直线上一点作已知直线的垂线，能作(A)A．1条B．2条C．3条D．无数条8．下列作图语句正确的是(D)A．过点P作线段AB的中垂线B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝ACC．过直线a和直线b外一点P作直线MN，使MN∥a∥bD．过点P作直线AB的垂线9．如图，已知线段a，h，作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.张红的作法是：①作线段BC＝a；②作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；③在直线MN上截取线段h；④连接AB，AC，则△ABC为所求的等腰三角形．上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是(C)A．①B．②C．③D．④10．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇A村，B村，C村所属的村委会所在地的距离都相等(A，B，C不在同一直线上，地理位置如图)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．解：已知：A，B，C三点不在同一直线上．求作：作一点P，使PA＝PB＝PC.如图所示，点P即为所求的点．02中档题11．在平面内，到三点A，B，C距离相等的点(D)A．只有一个B．有两个C．有三个或三个以上D．有一个或没有12．等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则(B)A．点P在三角形内B．点P在三角形外C．点P在三角形底边上D．点P的位置与三角形的边长有关13．(2017·西安期中)如图，已知点O为△ABC三边垂直平分线的交点，∠BAC＝80°，则∠BOC＝160°.14．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝76°，EF，MN分别是AB，AC的垂直平分线，点E，M在BC上，则∠EAM＝28°．15．如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案③．16．如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a＜b，尺规作图，保留作图痕迹)．解：作法：(1)作线段AD＝a；(2)过点D作直线MN⊥AD于点D；(3)以点A为圆心，b为半径画弧，交MN于B，C两点，连接AB，AC，△ABC即为所求，如图所示．17．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.(1)若△CMN的周长为15cm，求AB的长；(2)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．解：(1)∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN.∴△CMN的周长＝CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB.∵△CMN的周长为15cm，∴AB＝15cm.(2)∵∠MFN＝70°，∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°.∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD＋∠BNE＝∠MNF＋∠NMF＝110°.∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝180°－110°＝70°.∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN.∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)＝180°－2×70°＝40°.03综合题18．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为(B)A．130°B．120°C．110°D．100°提示：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于点M，交CD于点N，则A′A″的长度即为△AMN周长的最小值．1．4角平分线第1课时角平分线的性质定理及其逆定理01基础题知识点1角平分线的性质1．(2017·台州)如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OA的距离是(A)A．2B．3C.eq\r(3)D．42．下列各图中，OP是∠MON的平分线，点E，F，G分别在射线OM，ON，OP上，则可以解释定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是(D)3．(2016·怀化)如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(B)A．PC＝PDB．∠CPO＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPOD．OC＝OD4．如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.若OD＝8，OP＝10，则PE的长为(B)A．5B．6C．7D．85．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为(B)A．1B．2C．3D．46．(2017·西安期中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AD＝5，AC＝4，则D点到AB的距离是3．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积．解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC⊥CD.又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE＝CD.又∵CD＝3，∴DE＝3.(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10.∴S△ADB＝eq\f(1,2)AB·DE＝eq\f(1,2)×10×3＝15.(或S△ADB＝eq\f(1,2)BD·AC＝eq\f(1,2)×(8－3)×6＝15.)知识点2角平分线的判定8．如图，DA⊥AC，DE⊥BC，若AD＝5cm，DE＝5cm，∠ACD＝30°，则∠DCE为(A)A．30°B．40°C．50°D．60°9．如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE＝AF.求证：(1)PE＝PF；(2)点P在∠BAC的平分线上．证明：(1)连接AP.∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°.又∵AE＝AF，AP＝AP，∴Rt△AEP≌Rt△AFP(HL)．∴PE＝PF.(2)∵PE＝PF，且PE⊥AB，PF⊥AC，∴点P在∠BAC的平分线上．02中档题10．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A)A．M点B．N点C．P点D．Q点11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D.如果∠A＝30°，AE＝6cm，那么CE等于(C)A.eq\r(3)cmB．2cmC．3cmD．4cm12．(2017·朝阳市建平县期末)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，对于结论：①DE＝DF；②BD＝CD；③AD上任一点到AB，AC的距离相等；④AD上任一点到B，C的距离相等．其中正确的是(D)A．仅①②B．仅③④C．仅①②③D．①②③④13．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，P是∠AOB的平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，PC∥OB交OA于点C.若∠AOB＝30°，PD＝2cm，则PC＝4cm.14．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.(1)求证：AM⊥DM；(2)若BC＝8，求点M到AD的距离．解：(1)证明：∵AM平分∠BAD，OM平分∠ADC，∴∠MAD＝eq\f(1,2)∠BAD，∠ADM＝eq\f(1,2)∠ADC.∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°.∴∠MAD＋∠ADM＝eq\f(1,2)(∠BAD＋∠ADC)＝90°.又∵∠AMD＋∠MAD＋∠ADM＝180°，∴∠AMD＝90°.∴AM⊥DM.(2)过M作MN⊥AD于点N.∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠C＝90°.即BM⊥AB，MC⊥DC.又∵AM，DM分别平分∠BAD，∠ADC，∴BM＝MN，MN＝MC.∴MN＝eq\f(1,2)BC＝4.∴M到AD的距离为4.15．已知：如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．解：(1)证明：∵BD，CE是△ABC的高，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.又∵∠EOB＝∠DOC，∴∠ABD＝∠ACE.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．(2)点O在∠BAC的平分线上．理由：∵∠BOE＝∠COD，∠BOE＋∠EBO＝90°，∠COD＋∠DCO＝90°，∴∠EBO＝∠DCO.又∵∠BEO＝∠CDO＝90°，OB＝OC，∴△BOE≌△COD(AAS)．∴OE＝OD.又∵OD⊥AC，OE⊥AB，∴点O在∠BAC的平分线上．03综合题16．(2017·西安交大二附中期中)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝eq\r(6)，若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN＋PC的最小值是eq\f(3\r(2),2)．第2课时三角形三个内角的平分线01基础题知识点三角形的角平分线的性质1．(2017·西安交大二附中期中)与三角形三边距离相等的点，是这个三角形的(B)A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．三边的垂直平分线的交点2．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(C)A．1∶1∶1B．1∶2∶3C．2∶3∶4D．3∶4∶53．(2017·郑州月考)如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(C)A．△ABC三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点4．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC＝120°，则∠A为60°.02中档题5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且相交于点F，则下列说法错误的是(D)A．BF＝CFB．点F到∠BAC两边的距离相等C．CE＝BDD．点F到点A，B，C三点的距离相等6．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，直线l，l′，l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(D)A．一处B．二处C．三处D．四处7．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF，求证：∠BPC＝90°＋eq\f(1,2)∠BAC.证明：∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF，∴点P是△ABC三个内角平分线的交点．∴CP平分∠ACB，BP平分∠ABC.∴∠PCB＝eq\f(1,2)∠ACB，∠PBC＝eq\f(1,2)∠ABC.∴∠BPC＝180°－∠PCB－∠PBC＝180°－eq\f(1,2)∠ACB－eq\f(1,2)∠ABC＝180°－eq\f(1,2)(∠ACB＋∠ABC)＝180°－eq\f(1,2)(180°－∠BAC)＝90°＋eq\f(1,2)∠BAC.03综合题8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．解：(1)证明：过点O作OM⊥AB于点M.∵四边形OECF为正方形，∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F.∵BD是∠ABC的平分线，∴OE＝OM.∴OM＝OF.∴AO平分∠BAC，即点O在∠BAC