1-6-极限运算法则、1-7两个重要极限课件

二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第六节极限运算法则1精选2021版课件时,有一、无穷小运算法则定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.证:考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.机动目录上页下页返回结束2精选2021版课件说明:

无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，机动目录上页下页返回结束类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.3精选2021版课件定理2.

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

证:设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论1

.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2

.有限个无穷小的乘积是无穷小.机动目录上页下页返回结束4精选2021版课件例1.求解:

由定理2可知说明:

y=0是的渐近线.机动目录上页下页返回结束5精选2021版课件二、极限的四则运算法则则有证:因则有(其中为无穷小)于是由定理1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.可推广到有限个.定理3.

若机动目录上页下页返回结束6精选2021版课件定理4

.若则有提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明.说明:定理4可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C为常数)推论2.(n为正整数)例2.设

n次多项式试证证:机动目录上页下页返回结束7精选2021版课件为无穷小(详见P44)定理5.

若且B≠0,则有证:因有其中设因此由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,机动目录上页下页返回结束8精选2021版课件定理6

.

若则有提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由定理3,4,5直接得出结论.机动目录上页下页返回结束9精选2021版课件例3.

设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:若不能直接用商的运算法则.例4.若机动目录上页下页返回结束10精选2021版课件例5.

求解:

x=1时分母=0,分子≠0,但因机动目录上页下页返回结束11精选2021版课件例6

.

求解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头”原式机动目录上页下页返回结束12精选2021版课件一般有如下结果：为非负常数)机动目录上页下页返回结束13精选2021版课件三、复合函数的极限运算法则定理7.设且x满足时,又则有证:

当时,有当时,有对上述取则当时故①因此①式成立.机动目录上页下页返回结束14精选2021版课件定理7.设且x满足时,又则有

说明:若定理中则类似可得机动目录上页下页返回结束15精选2021版课件例7.求解:令已知∴原式=机动目录上页下页返回结束16精选2021版课件例8.求解:机动目录上页下页返回结束17精选2021版课件内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件！2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂(2)复合函数极限求法设中间变量机动目录上页下页返回结束18精选2021版课件思考题19精选2021版课件思考题解答不能保证.例有20精选2021版课件作业P20.A:1,3，5,7,9B:221精选2021版课件二、两个重要极限一、极限存在准则第七节机动目录上页下页返回结束极限存在准则及两个重要极限22精选2021版课件一、极限存在准则1.夹逼准则证23精选2021版课件上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限24精选2021版课件注意:准则Ⅰ和准则Ⅰ'称为夹逼准则.25精选2021版课件例1解由夹逼定理得26精选2021版课件2.单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:27精选2021版课件例2证(舍去)28精选2021版课件二、两个重要极限(1)29精选2021版课件30精选2021版课件例3解31精选2021版课件(2)定义32精选2021版课件类似地,33精选2021版课件34精选2021版课件35精选2021版课件例4解例5解36精选2021版课件例6.

求解:原式=机动目录上页下页返回结束37精选2021版课件三、小结1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则;单调有界准则.38精选2021版课件思考题求极限39精选2021版课件思考题