第三章流体动力学基础(2)课件

§2流体微团运动的分解刚体运动特点：平动与转动的组合刚体任意点的速度等于瞬时中心的平动速度与绕中心的旋转速度之和流体运动特点：流体运动时，其任一微团除了有类似刚体的平动与转动外，一般还具有复杂的变形运动（角变形、线变形）研究对象：连续介质概念下，流体质点是可以忽略线性尺度效应（如变形、转动、膨胀等）的最小单元；流体微团：大量流体质点所组成的具有线性尺度效应的微小流体团§2流体微团运动的分解2024/1/251.一、流体微团运动速度的分解在运动的流体中任取一个流体微团，以微团中任一点作为基点（如A点），分析其他点运动速度各点速度相对A点作Taylor展开，略去二阶小量2024/1/252.设基点A上速度为：vxA,vyA，vzA则在瞬时t，任意点M速度可表达如下(略去二阶以上小量)：2024/1/253.同理可得（亥母霍兹Helmholtz速度分解定律）：微团上任一点的速度可用A点速度及其速度导数（

x,y,z

x,y,z

x,y,z）表示;但如何理解这些导数的物理意义？利用流体微团变形图像的分析，明确上述表达式中导数及其组合的物理意义2024/1/254.其中，可以看到引入三种速度导数组合，分别定义其为：线应变率(线变形率)：剪切变形的平均角速度（剪切应变率）：转动角速度：

2024/1/255.二、流体微团运动分解的物理分析1、线应变率(线变形率)：单位时间内单位长度的变化借助二维变化图，分析其意义在运动的流体中取出一个边长为

x和

y的三角形微团ABC，如图所示。以A为基点，分析它在运动中的位置变化和形状变化。2024/1/256.经过时间

t，原来的微团到达新的位置A'B'C',不仅位置变了，形状也变了。为了比较运动前后的形状变化，在点A'作出与A'B1C1等同的三角形。同时标出B'和C',的投影点B2和C2。其中B1B2,C1C2可表示线性拉长（缩短）：2024/1/257.

x方向的变化x向相对速度

x向的线变形速率，线变形率，线应变速度

x

y

z分别为x,y,z方向的线变形率三个直线变形率之和称为速度的散度，它表明了流体体积的相对变化率。对于不可压缩流动，散度为零。2024/1/258.2、剪切变形率：单位时间内直角变化量的一半再看角度变化角速度为:总体变化角度为：平均角变形速度：微元一个边绕z轴的剪切变形角速度2024/1/259.3、旋转角速度通常情况下，流体微团两边的变形角度并不对称相等，故流体微团在xoy平面上除产生剪切应变外，还有绕z轴的整体旋转。（设逆时针为正）旋转的平均角速度：同理可知：2024/1/2510.就整体考虑，流体微团绕某一个瞬时轴转动的平均角速度：rot称为流体的涡量或旋度。涡量等于流体微团转动角速度的两倍由旋度是否为零，可判断流动为有旋或无旋流动2024/1/2511.总结：通过上述分析，表明流体微团的运动由如下三部分组成：以速度V0

作整体平移运动；以角速度

绕某瞬时轴作整体旋转运动以线应变率（

x

y

z）作线变形运动和以剪切应变率（

x

y

z

）作剪切变形运动注意：柱坐标、球坐标系内表达式不同2024/1/2512.§3流体力学连续方程流体力学研究思路：认识现象

运用基本物理定律和假设，建立方程组

合理简化，适定定解条件

求解

验证流体力学基本方程组：反映流体运动所遵循的物理定律;是第一步，也是核心和关键一、流体运动时所应遵循的物理定律质量守恒律动量（矩）守恒律能量守恒熵增原理前两个是力学的，后两个是热力学2024/1/2513.补充方程状态方程本构方程：物质内部不依赖外部条件的本身属性；应力张量与应变率张量之间的关系对于一个具体的流动，不一定需要应用所有的定律；积分形式的方程适合于求总体参量（如作用在某一面或某一物上的压强合力）；微分形式的方程适合于求物理量的分布。2024/1/2514.二、连续方程（质量守恒方程）任意瞬时充满控制体的流体质量：

单位时间内控制体内流体质量变化率：单位时间内，流入流出控制体的净质量流量：质量守恒在控制体中的表达：控制体中流体质量对时间的变化率等于单位时间内流经全部控制体面的净质量流量；控制体中质量增加量是同一时间内流入与流出控制体的质量差；2024/1/2515.因而有连续方程：雷诺输运定理：任一瞬时系统内随流物理量X随时间的变化率（随流导数）等于该瞬时同形状、同体积控制体内物理量的变化率与穿过控制面的随流物理量的流通率之和流体的质量在运动过程中不生不灭，保持不变2024/1/2516.定常流动：流场中任意点密度不随时间变化，则质量也不随时间变化：定常流动连续方程化简为：不可压缩流动：流场中任意一点密度不随时间、空间变化变化2024/1/2517.三、一维流动的连续方程一维、二维与三维流动模型所有流动参数仅取决于一个位置坐标的流动被称为一维流动；例如：气体在导管或管道中的运动气流参数沿任意横截面的分布是均匀的；流动各项参数（速度、压强等）都只是一个空间坐标的函数（定常条件）流动参数取决于两（三）个位置坐标的流动被称为二（三）维流动一维定常流动连续方程：2024/1/2518.一维不可压缩流动连续方程：四、二维、三维流动的连续方程直角坐标系中连续方程利用奥-高定理，将曲面积分化为体积分变换积分微分顺序则可得：2024/1/2519.控制体CV是任取的一个区域，此积分为零则有：直角坐标系中三维流动连续方程：定常流动连续方程：不可压缩流动连续方程：2024/1/2520.§４流体运动方程一、理想流体的运动方程（欧拉方程）从流体中取出一个平行六面体形状的微元控制体，如图所示不计粘性时，作用在该流体微团上的力应包括正压力和质量力。

x方向：Ｘ方向的压力差为：Ｘ方向的质量力为：2024/1/2521.根据牛顿第二定律：化简得：y,z方向同理得：动量方程写成矢量形式：或：2024/1/2522.利用奥－高斯定理将面积分改写为体积分，同样可以得到微分形式的动量方程。直角坐标系下的公式为：无粘流体的动量方程，称为欧拉（Euler）方程；后泛指无粘流动的流动方程组。2024/1/2523.二、欧拉方程的积分－伯努利方程(Bernoulli)一般情况下，欧拉方程只能用数值方法求解。特定条件下可以积分。所获得的积分关系称为伯努利方程Euler方程积分获得Bernoulli方程条件：理想流体，定常流动作用在流体上的质量力是有势的；流体是正压流体，即流体密度函数仅与压强有关沿流线或涡线积分粘性流体、总流、2024/1/2524.以一维流动为例，欧拉方程为：对于定常不可压流动：由于变量只有一个，所以偏微分号可以改写为微分号：质量力只考虑重力。当x轴沿水平方向时，显然fx=0。如果x轴不沿水平方向，则有：2024/1/2525.z是所研究的流体微团或截面相对于某一基准面的高度。整理上式得：积分： 计及重力作用的一维定常不可压缩流动的伯努利方程。在二维及三维情况下，对定常不可压缩流动同样可得到伯努利方程。伯努利方程意义不可压缩理想流体在定常流动中，单位质量流体的动能、压力势能和重力势能之和保持不变。2024/1/2526.上式各项乘以

，得到：此式可表述如下：不可压缩理想流体在定常流动中，动压、静压和余压之和保持不变。动压:具有压强的量纲，也叫速压。它不是真正的压强，而是可以向静压转化的潜压；余压

gz：也是可以转化的潜压；静压p:真正表现出来的压强。另一种表达形式：Ｚ代表单位重力流体的位能，简称位置水头；ｐ/ρg代表单位重力流体的压能，简称压强水头；Ｖ２/２g代表单位重力流体的动能，简称速度水头；2024/1/2527.对于气体，不计质量力，伯努利方程可表为：即压力势能与动能之和保持不变，表达了气体运动的机械能守恒规律。驻点：速度为零的点；总压：在驻点上，动能为零仅有压力势能，这时的压力势能称为总压。2024/1/2528.下面列举几个应用伯努利方程的例子【例1】求从水箱的小孔中外射水流动的速度如图所示，设小孔到水面的距离为H（保持不变）。水面压强和小孔外环境压强等于大气压强ｐａ。水面面积为σ１；小孔截面积为σ１；流速为ｖ２。

【解】以小孔所在高度为基准面（z=0），根据伯努利方程又根据连续方程2024/1/2529.由以上两式得：如果，上式简化为：小孔出流速度与自由落体速度相同，而且与孔口的方向无关。2024/1/2530.【例2】导出风速管测流速的公式流体的运动速度是流体力学中一个最基本的流动参数，目前已有很多方法测量它，其中结构最简单使用最普遍地就是皮托―静压管，也称为风速管。它由内外两层同心套管组成，头部有一小孔与内管相连，外面的套管外侧也开了几个小孔，所选择的位置应能保证测得静压（距离前缘2～3倍直径为好）。内外管分别连在U形测压管的两端，如图所示。2024/1/2531.【解】根据伯努利方程（不计重力作用）得：式中ρ―被测气流的密度；

ｌ―U形管中工作介质的重度；Ｈｌ―U形管中液面的高度差上式只适用于气体的低速流动2024/1/2532.三、动量方程的应用动量方程积分形式：系统内动量的变化率等于该瞬间作用在系统上的外力之和。是作用在控制体内质点系上所有外力的矢量和；是控制体内流动动量对时间的变化率；是单位时间内控制体流出动量与流入动量之差，应用：求流体对外界环境的作用力2024/1/2533.三、纳维尔－斯托克斯方程（Ｎ－Ｓ方程）无粘流体（理想流体）模型的应用定常不可压理想流体计算；流线型物体表面的压强分布、升力等；达朗贝尔详谬（d’Alembert）问题：考察理想流体中圆柱绕流所受阻力无粘流体圆柱绕流压强合力为零，圆柱表面压力在流动方向上的合力为零；即：圆柱在理想流体的绕流中竟无阻力！实验结果表明圆柱表面上压力的分布不是前后对称的，圆柱实际上受到一定的阻力原因：未考虑粘性2024/1/2534.粘性流体中的应力及广义牛顿内摩擦定律流体受到的力:体积力与表面力表面力包括法向力与切向力静止流体或运动理想流体只有正压力；流体运动时，由于粘性产生切向力；对于牛顿流体，假设应力与变形速率成线性关系（应力张量与应变率张量之间成线性关系）；应力与变形速率之间的线性关系在流体中各向同性，也即：应力与变形速度的关系不会随坐标的变换而异；流体各向同性；当流体静止时，应变率为零，无剪应力存在，只有各方向相同的静压力。粘性流体的本构关系可写为：[p]为应力张量；[E]为应变率张量；[I]为二阶单位张量；a,b为标量，与运动状态无关；2024/1/2535.粘性流动的动量方程也称为Navier-Stokes方程，简称为N-S方程。2024/1/2536.N-S方程较欧拉方程多出两项由粘性引起的摩擦力N-S方程为二阶非线性偏微分方程组，求解困难；物理困难：物理问题复杂；物理边界复杂；数学困难：非线性；方程耦合2024/1/2537.§5流体力学的理论模型及初边值条件流体力学方程组的普适性；方程组非封闭性；流体力学方程的非线性，产生求解困难；合理的简化假设-建立封闭的理论模型。一、流体力学的理论模型1、无粘性流体及粘性流体模型粘性流体是一切真实流体的模型；粘性效应与物性（粘度）、流动（速度梯度）有关粘性效应不十分显著的流动，可忽略其粘性-无粘流动

既不引起流动图象主要特征的太大偏差，又可使得对流体运动的分析带来简便。不考虑粘性的流体常被称为理想流体。无粘模型不能解释物体在流体中运动时产生的阻力以及管道中的压力损失等问题。2024/1/2538.2、可压缩流动与不可压缩流动模型流体具有压缩性；液体的可压缩性较小，气体的可压缩性较大；当流体的运动速度与音速之比低于0.3时，密度的相对变化率低于5％；此时可认为流体是不可压缩的，流动可视为不可压缩的流动;密度为常数，方程组将减少一个未知量3、非定常流动和定常流动模型流场中物理量随时间变化的流动都是非定常流动；流体的运动随时间不变或变化不大时，常常假设流动定常。此时，方程中对时间的偏导数项为0：定常流动的研究比对非定常流动的研究要简单得多，甚至在有些情况下微分形式的控制方程可以直接积分出来。2024/1/2539.4、有旋流动与无旋流动流体微团运动的分析中给出了流体的旋度概念由旋度是否为零，可判断流动为有旋或无旋流动有旋运动的动力学特征-涡量涡的产生、运动和发展以及涡与涡、流之间的相互作用；自然界中流动大多是有旋运动的；无旋运动的动力学特征-速度势无旋运动是一种有广泛应用的简化模型；无旋条件下就有速度位存在，可以用速度位这样一个标量函数来代替速度这个矢量函数，减少两个未知量；控制方程为拉普拉斯方程，具有叠加性。2024/1/2540.5、一维、二维与三维流动模型所有流动参数仅取决于一个位置坐标的流动被称为一维流动；例如：气体在导管或管道中的运动气流参数沿任意横截面的分布是均匀的；流动各项参数（速度、压强等）都只是一个空间坐标的函数（定常条件）流动参数取决于两（三）个位置坐标的流动被称为二（三）维流动6、绝热流动与等熵流动模型许多流动系统中均伴有传热现象；一个流动系统如果没有热量的输入或生成，而且流动系统内部也不存在热传导现象，则这样的流动称为绝热流动。如果流动是绝热和可逆的，则流动是等