小学五年级奥数第4课《带余数的除法》试题附答案

小学五年级上册数学奥数知识点讲解第4课《带余数的除法》试题附答案

第四讲带余数的除法

前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：16-

3=5-1,即16=5X3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数

的除法。

一般地，如果a是整数，b是整数（b#0）,那么一定有另外两个整数q和

r,04r〈b,使得a=bXq+r。

当r=0时，我们称a能被b整除。

当耳0时，我们称a不能被b整除，r为躲以b的余数，q为躲以b的不完全

商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为a+b=q--r,0<r<b.

例1一个两位数去除251,得到的余数是41.求这个两位数。

例2用一个自然数去除另一个整数，商40,余数是16.被除数、除数、商数与

余数的和是933,求被除数和除数各是多少？

例3某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？

例43月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始住回数（即3月16日（第二

天），15日（第三天），…）的第1993天是星期几？

例5一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求适合此条件的最小数。

例6一个数除以5余3,除以6余4,除以7余1,求适合条件的最小的自然数。

例7一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,求符合条件的最小自然数。

例8一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个

或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？

例969、90和125被某个正整数喉时，余数相同，试求N的最大值。

答案

第四讲带余数的除法

前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：16+

3=5-1,即16=5义3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数

的除法。

一般地，如果a是整数，b是整数（b卢0）,那么一定有另外两个整数q和

r,OCrCb,使得a=bXq+r。

当r=0时，我们称a能被b整除。

当耳0时，我们称a不能被b整除，r为躲以b的余数，q为躲以b的不完全

商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为a+b=q・-r,04r〈b。

例1一个两位数去除251,得到的余数是41.求这个两位数。

分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式

入手分析。

解：二.被除数+除数=商…余数，

即被除数=除数X商+余数，

二.25k除数X商+乳，

251-41=除数X商,

二210=除数X商。

,.,210=2X3X5X7,

二210的两位数的约数有10、14,15、21,30、35、42,70,其中42和70

大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。

例2用一个自然数去除另一个整数，商40,余数是16.被除数、除数、商数与

余数的和是933,求被除数和除数各是多少？

解：:被除数=除数X商+余数，

即被除数=除数X40+16。

由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877,

「.（除数X40+16）+除数=877,

二除数X41=877-16,

除数=861+41,

除数=21,

二被除数=21X40+16=856。

答:被除数是856,除数是21。

例3某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？

解：十月份共有31天，每周共有7天，

,/31=7X4+3,

.•・根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。

这年的10月1日是星期四。

例43月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二

天），15日（第三天），…）的第1993天是星期几？

解：每周有7天，1993+7=284（周）…5（天）,

从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.

例5一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求适合此条件的最小数。

这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三

数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”

关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，

五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余

数乘以70,用除以5的余数乘以21,用除以7的余数乘以15,再把三个乘积相

加.如果这三个数的和大于105,那么就减去105,直至小于105为止.这样就可

以得到满足条件的解.其蹄

方法1：2X70+3X21+2X15=233

233-105X2=23

符合条件的最小自然数是23。

例5的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：

方法2：[3,7]+2=23

23除以5恰好余3。

所以，符合条件的最小自然数是23。

方法2的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。

例6一个数除以5余3,除以6余4,除以7余1,求适合条件的最小的自然数。

分析“除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整

除”。

解：[5,6]-2=28,即28适合前两个条件。

想：28+[5,6]X?之后能满足"除余1”的条件？

28+[5,6]X4=148,148=21X7+1,

又148<210=[5,6,7]

所以，适合条件的最小的自然数是148。

例7一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,求符合条件的最小自然数。

解:想：2+3X?之后能满足"5除余3”的条件？

2+3X2=8。

再想：8+[3,5]X?之后能满足“7除余4”的条件？

8+[3,5]X3=53。

二.符合条件的最小的自然数是53。

归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法.当找到满足某个条件的数

后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中

除数的倍数。

解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。

例8一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个

或7个，最后都乘吃个.布袋中至少有小球多少个？

解：2+[5,7]X1=37（个）

：37除以3余1,除以5余2,除以7余2,

,布袋中至少有小球37个。

例969、90和125被某个正整数喉时，余数相同，试求N的最大值。

分析在解答此题之前，我们先来看下面的例子：

15除以2余1,19除以2余1,

即15和19被2除余数相同（余数都是1）o

但是19-15能被2整除.

由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数麻叱，均被自然数解，余

数相同，那么这两个整数之差（大-小）一定能被m整除。

反之，如果两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被解的余数一定相

同。

例9可做如下解答：

;三个整数被喉余数相同，

/.NI（90-69）,即NI21,NI（125-90）,即NI35,

二.N是21和35的公约数。

二要求N的最大值，

二•N是21和35的最大公约数。

21和35的最大公约数是7,

二.N最大是7。

习题四

L用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8,余数是16.被除数、除

数、商、余数这四个数的和为463,求除数。

2.某数除以3余1,除以4余2,除以5余3,除以6余4,这个数最小是多少？

3.某数除以8余3,除以9余4,除以12余7,在1000以内这样的数有哪几

个？

4.用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋.这

批货至少有多少袋？

5.57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零.求284被这个自然数

除的余数.

五年级奥数上册：第四讲带余数的除法习题解答

习题四解答

1.除数为47。

2.58。

3.共13个.有：67,139,211,283,355,427,499,571,643,715,

787,859,931o

4.163。

5.11.

附：奥数技巧分享

分享四个奥数小技巧。希望孩子早进步哦。

技巧1：培养孩子数字感

要想入门奥数，很大一部分程度上靠的就是孩子的数字感，那么我们应该如何培养孩子的数

字感呢？最简单的方法，就是让孩子去超市购物，自己算账，把自己的日常开销交给孩子进

行计算。

不但可以练就孩子熟能生巧的技巧，还能让孩子早点持家，懂得金钱来之不易，好好学习的

道理，一箭双雕！

小学奥数中，很多题型都是有规律的计算题，希望家长能够注重孩子的计算能力的培养，从

数字感的培养练就孩子基本的奥数素质能力哦。

技巧2：培养孩子敏锐的观察能力

奥数题目中有一类题目就是移动火柴或者根据已有图案进行图案相关的规律的填充，此类型

的题目考核的就是学生的观察能力，所以我们希望家长从小就开始培养孩子的观察能力。

比如，给孩子的额外作业就是观察家里的变化，写日记，或者观察老师讲课的方式等等，这

都是比较不错的培养孩子观察能力的方法。

技巧3：培养孩子的快速记忆能力

快速记忆能力的提升，利于孩子快速构建奥数题型，快速记忆题目中给出的信息，从而快速

解题，孩子快速记忆力的提升，可以从语文古诗下手。

要求孩子在10分钟内熟记并默写一篇古诗，渐渐按照这个标准去要求他干其他的事情，久

而久之孩子就能够养成快速记忆的习惯，对其后续学习奥数会有很大的帮助的！

技巧4：注重孩子发散思维的培养

奥数的学习过程中，很多时候需要孩子的发散思维，但是孩子在学数学时，养成了定向思维，

遇到问题就将格局定性为固定方式，因此遇到稀奇古怪，考点比较灵活的题型，孩子就无从

下手了，所以我们