小升初奥数思维训练第19讲：方程 （经典透析）（含答案解析）

第19讲方程

1.用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计32块，缝制成一个足球.如

图所示，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间的与3个黑色皮块及3个

白色皮块邻接.问：这个足球上共有多少块白色皮块？（列一元一次方程解答）

【答案】20块

【解析】

【详解】第一步，先找等量关系式：白色皮块的边中与黑色皮块公用的边数=黑色皮块的边

中与白色皮块公用的边数；

第二步，设出未知数：设这个足球上共有x块白色皮块；

第三步，列出方程：3x=5（32-x）；

第四步，解方程：

3x=5（32-x）

3x=160-5x

8x=16O

x=2Q

第五步，检验作答：

检验：当x=2（）时，左边=3x20=60；右边=5x（32—20）=5x12=60,所以左边=右

边，所以x=2（）是原方程的解；

答：这个足球上共有20块白色皮块.

【点睛】列方程解应用问题的一般步骤：①弄清题意，找出等量关系；②设未知数；③根

据等量关系列出方程；④解方程；⑤检验并写出答案.

2.如图，在AA3C中，。是的中点，E为AB上一点，且已知四边形

3

的面积是35,则AABC的面积是多少？（列一元一次方程解答）

【答案】150

【解析】

【详解】解：；BE=；AB,，S*BC=3SABCE

VBD=CD；.,.5Mec=25MfiD

••2S训口=3S1BCE

即等量关系式2S.ABD=3S.BCE；

设SABEM="，则S^BDM=35-x，

^&ABD=S^BAM+S&BDM=3S、BEM+SABDM-3x-(35-x)=2x+35

S&BCE=S&BEM+SMCM=3SSBEM+2S&BDM=3x+2(35-x)=70-X

由此列出方程：2(2x+35)=3(7O-x)

解得，X=20.

••S14ABe=150

检验：当x=2()时，左边=2x(2x20+35)=150；右边=3x(70—20)=150,所以左边=

右边，所以x=20是原方程的解；

答：Z\ABC面积是150.

3.瓶子里装有浓度为15%的酒精1000克。现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒

精，瓶子里的酒精浓度变为14%。已知A种酒精的浓度是B种酒精的2倍，求A种酒精的

浓度。

【答案】20%

【解析】

【分析】根据题意，A种酒精浓度是B种酒精的2倍。设B种酒精浓度为x%,则A种酒精

浓度为2x%。A种酒精溶液100克，因此100X2x%为100克酒精溶液中含纯酒精的克数。

B种酒精溶液400克，因此400Xx%为400克酒精溶液中含纯酒精的克数。

【详解】解：设B种酒精浓度为X%,则A种酒精的浓度为2x%。

1000xl5%+100x2x%+400xx%

------------------------------------------=14%

1000+100+400

150+2x+4x,

----------------=14%

1500

150+6x=14X15

x=10

2x%=2X10%=20%o

答：A种酒精的浓度为20%。

【点睛】本题考查浓度问题，明确溶液、溶质和溶剂三个概念并掌握它们之间的关系是解

题的关键。

溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。

溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。

溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。

基本公式：

浓度=溶质+溶液X100%=溶质+（溶质+溶剂）X100%

溶质=溶液X浓度

溶液=溶质+浓度

溶剂=溶质+浓度-溶质=溶液X（1一浓度百分数）

4.一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次，按每人进球数统计的部分情况如下表:

进球数012•••8910

人数754・・・341

还知道至少投进3个球的人平均投进6个球，投进不到8个球的人平均投进3个球.问：

共有多少人参加测验？

【答案】43人

【解析】

【分析】投中的总球数既等于进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的人的进

球数,也等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数.

【详解】解：设有x人参加测验.由上表看出，至少投进3个球的有(x-7-5-4)人，投进

不到8个球的有(x-3-4-1)人.

0X7+1X5+2X4+6X(x-7-5-4)=5+8+6X(x-16)=6x-83

3X(x-3-4-1)+8X3+9X4+10X1,=3X(x-8)+24+36+10=3x+46

由此可得方程：6x-83=3x+46,

解得，x=43

答：共有43人参加测验.

5.甲、乙两件商品的成本共600元，已知甲商品按45%的利润定价，乙商品按40%的利润

定价，后来甲打8折出售，乙打9折出售，结果共获利110元.两件商品中，成本较高的

那件商品的成本是多少元？(列二元一次方程组解)

【答案】460元

【解析】

【详解】详解过程：设甲商品的成本是X元，乙商品的成本是丁元，列方程组得：

x+y=600

’(l+45%)x80%x+(l+40%)x90%y=600+110

答：成本较高的那件商品的成本是460元.

6.在H岛上居住着100个人，其中一些人总是说假话，其余人则永远说真话，岛上的每一

位居民崇拜三个神之一：太阳神、月亮神和地球神.向岛上的每一位居民提了三个问题：

(1)您崇拜太阳神吗？

(2)您崇拜月亮神吗？

(3)您崇拜地球神吗？

对第一个问题有60人回答：“是”；对第二个问题有40人回答：“是”；对第三个问题

有30人回答：“是”.他们中有多少人说的是假话？(列二元一次方程组解)

【答案】30人

【解析】

【详解】解：我们将永远说真话的人称为老实人，把总说假话的人称为骗子.每个老实人都

只会对一个问题答“是”.而每个骗子则都对两个问题答“是”.

设老实人的人数为x人，骗子的人数为＞人，列方程组有：\c..cc

x+2y=130

解得y=3O.所以岛上有30个人说的是假话.

7.列不定方程(组)解应用题.

百鸡问题译成现代汉语是：公鸡五元一只，母鸡三元一只，小鸡一元三只，用一百元钱正

好买了一百只鸡，问：公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？

【答案】买了4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或者买了8只公鸡，11只母鸡，81只小

鸡；或者买了12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡.

【解析】

【详解】详解过程：设公鸡买了了只，母鸡买了)'只，小鸡买了z只，列方程组如下：

5x+3y+；z=100(D

x+y+z=WO②

化简整理：将①X3得：15x+9y+z=300③

将③-②得：7x+4y=100

考虑到x、＞是鸡的只数，所以为正整数，解得:

x=4x=8X-=12

'y=18"

y=11y二4

x=4X=8x=\2

再代入②得:-y=18Vy=111y=4

z=78z=81z=84

答：买了4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或者买了8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡;

或者买了12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡.

8.己知x、y代表两位整数，求方程100x+y=2xy的解.

【答案】x=13,y=52

【解析】

V

【详解】详解过程：本题如果变形为X=则不易找到y可能的取值，所以我们将

原方程变形为100x=2xy-y.可以考虑分离系数法.分离系数法的原则是分离系数较小的未

知数.

将原方程变形为100x=2xy-y,解得＞=”=50+5-,要使y是整数，必须华一

2x-l2x-l2x-l

是整数，而x为两位整数，即x210,故2xT219,即x=13,y=52.

9.甲说：“我和乙、丙共有100元钱.”乙说：“如果甲的钱是现有的6倍，我的钱是现

有的;，丙的钱不变，则我们仍共有100元.”丙说：“我的钱连30元都不到.”问