汽车随机振动理论与应用(讲义带重点)

汽车随机振动理论与应用

主编：马天飞

目录

第一章随机过程的基础知识.........................................1

1.1随机变量.....................................................................1

1.2随机过程的描述..............................................................10

第二章线性系统在随机激励下的响应.................................25

2.1确定性理论的回顾...........................................................25

2.2线性系统对平稳随机激励的响应...............................................32

2.3单自由度线性系统对平稳随机激励的响应.......................................43

2.4多自由度线性系统平稳随机响应的模态分析法..................................52

2.5无限自由度线性系统对随机激励的响应.........................................56

第三章动力可靠性分析.............................................62

3.1可靠性概念与结构破坏的形式.................................................62

3.2平稳高斯窄带过程的统计特性................................................64

3.3穿越分析...................................................................67

3.4峰值分布...................................................................71

3.5随机振动引起的疲劳破坏.....................................................78

3.6随机振动引起的首次超越破坏................................................80

题型：

一、名词解释（3,X7）

二、计算（5，X4）

三、问答（6题，共29分）

四、综合分析（15,X2）

车辆随机振动理论与应用

第一章随机过程的基础知识

1.1随机变量

假设在随机试验中的基本事件(样本点)为e,样本空间为S={e}。若每一样本点e

有一实数X(e)与之对应，则称X(e)(ees)为实随机变毒。显然，X(e)为一实数的集合,

故又称X(e)为样本空间S的每一样本点e映射到实轴上数的集合，简记X。

样本空间S中的每一样本点e映射到复平面上的数的集合，称为复随机变量，记作

Z(e)=X(e)+/Y(e),(式中X、Y为实随机变量)。今后若不作特殊说明，均假定随机变

量为实数的。

若样本空间S中的一个样本点eGS与n个实数X1(e),X2(e),……X“(e)相对应，则称

(X1,X2,……，X,)为定义在S上的n维随机变量。例如，发动机的工作状态是随机

变化的，其工况可以看成是由功率Pe和转速n决定的二维随机变量，即(Pe,n)。如图

所示，a、b等工况都是由发动机相应的功率和转速表示的二维随机变量。又如，发动机悬

置元件强度I和刚度k是其重要特性，每一个元件的强度和刚度都是随机变化的，因此发动

机悬置元件的特性可以用二维随机变量(I，k)来描述。

n/(r.min'1)

图l-l发动机工作状态(工况)

随机变量仅可能取得有限个数值的，称为离散型随机变量。例如，在掷骰子试验中，得

到的点数即为离散型随机变量X,1~6是随机变量X的值；随机变量可以取得某一区间内的

任何数值，则称为连续型随机变量.例如，某零件的加工尺寸X=30±0.05加加，它可以

得到29.95mm到30.05的〃之间的任何尺寸，它就是连续型随机变量。

二、概率描述

对于离散型随机变量，可用分布列来描述其统计特性。分布列就是随机变量X取得各

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个值的概率列表；而对于连续型随机变量X,取得区域内某一点的值的概率为零，因此要用

X取值小于等于区间内某一实数x的概率来描述其统计特征。

定义随机变量X的分布函数

F（x）=P{X〈x}（1-1）

根据定义可知:尸（X）是非减函数,0<F（x）<l,且尸（一8）=0,F（+8）=l。

设分布函数尸（x）连续且可微，则连续型随机变量X还可以用概率密度函数来描述其统

计特性

/（x）=；F（x）

(1-2)

dr

有

(1-3)

P[x<X<x+公}=f^x^dx(1-4)

可见，概率密度函数〃x）是非负函数，且J二/（X）公=1。

对于多维随机变量（X1,X2,…，Xn）,其联合分布函数：

耳(外再,…,x")=P{X]<^0X2<x2---nxn<%„}(1-5)

联合概率密度函数:

d"

工（卬々，…，Z）耳,（玉多，・一，七,）(1-6)

切切•••dxn

三、随机变量函数的概率密度

1、一维随机变量的函数

设连续型随机变量X的函数Y=g（X）也为一连续型随机变量，如图1-2所示。Y与X

定义在同一样本空间。令X与Y的概率密度分别为f（x）和f（y）,则

P[y<Y<y+Ay}=P<(x,.<X<为+AxJ>=ZP{±<X<x；+Ax,}(1-7)

当Ac,足够小时，可写成:

2

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P[y<Y<y+/\y}=f(y)/^y=/(%,.)|Ax(.|(1-8)

当△yTO时，有Ar,T0,则

»*）檐卜如噌L(1-9)

［例1-1」求时间历程曲线X。）（如图1-3所示）的X的概率密度函数/（X）。

解：用近似法求解。

根据题意可知：随机变量X是随机变量t的函数。由于时间t在时间轴上取

值是等可能的，即随机变量t服从均匀分布，则

于⑴=:

式中，T为采样时间。

由式（1-4）可得

P{x<X<x+Ar}=/(x)Ax

=Z.f(GIMI

即

工M

/(*)=」—

TAx

对于某次实验记录的样本，X⑺曲线是由等间隔采样的离散点组成的。设采

样间隔时间为At,采样频率为工，时间T内采样点数为N,则:

丁/(N、

/*)=、〒/

iJs\^sJ

=.△〃,./(NAx)

An

NAY

3

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式中：An——在Ax带宽内的米样点数。

此式表明：根据样本函数的总采样点数N、设定带宽Ax和带内数据点数An

可求得随机过程X（t）JKj/（x）。

2、多维随机变量的函数：

设同一样本空间S内的样本点e有n维随机变量（丫,丫2,…，Yn）和内占,…，X”）与

之相对应，二者之间存在函数关系：h=gk（X1,X2L、XJk=1,2,…，n。若其存在反

函数，为X”=4（丫|,丫2,…，YJk=l,2,…，n,且”单调连续，则它们的概率密

度函数之间存在以下变换关系：

…，Yn4（X|,X2,…，X„）|J|（1-10）

式中，川为雅可比（Jacobi）行列式的绝对值，

阳

a加

¥¥

加

如ay

¥¥

川=ax

…aj:

…•

M讥

心

一

双

次

力

式中,x,为（*,丫2,…，工）的函数。

「例1-2]^Z=X+Y,已知随机变量X,Y的联合概率密度%y（x,y）,求/（z）.

解：

构造一个新的二维随机变量（X,Z）：

x=x

z=x+y

其反函数为

X=x

Y^Z-X

则

la-xa-x

10

Jlaxaz力=1

ll=lj>一-11

I3Xaz

4

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于是

fxz（x,z）=fXY（x,y）\j\

=fXY（x,z-x）

则，边际概率密度函数

y（z）=ffxz（x,z）dx

1zJ—oo

=L/xy（X,Z-幻心

如果X与Y相互独立，即

/xy（x,y）=/x（x）K（y）

则

/xz（x，z）=人丫（X,Z-X）=力（X）4（Z-X）

从而

/z（Z）=J8/x（尤）/y（Z-X）公=人（Z）*人（z）

即两个独立随机变量之和的概率密度函数等于这两个随机变量概率密度函数的卷积。

若构造的二维随机变量为（Y,Z）,同样可以得到以上结论。

［例1-3］若随机变量X与Y互相独立，求2=乂丫的概率密度函数/（z）。

解：设二维随机变量（X,Z）,有

x=x

z=xy

其反函数

x=x

'Y=—

IX

雅可比行列式的绝对值为

则

/xz（X，Z）=/xy（X,j）-p|

=册（羽一）厂（

尤kl

5

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由于X与Y互相独立，则

工(z)=「⑴人(三心

同理

工(Z)=「白4⑺人(三)办

四、数字特征——矩_____________

对于随机变量X,称E[X[=J：X"/(x)公为X的n阶原点矩；称

E[(X—4X)[=J[(X-%)"/")公为X的n阶中心矩。

当n=1时，，一阶原点矩E[X]=Jxf(x)dx,就是均值外，一阶中心矩

E[X—4x]=0；当n=2时，二阶原点矩七[乂2]=匚X2/(幻公，就是均方值〃；，二阶

中心矩E[(X-4x)2]=cr；,就是方差。对于任何的随机变量X,总有以下关系成立：

归=尤+其。

概率密度函数/(x)可以全面地描述随机变量X的统计规律，而各阶矩可以描述/(x)

的图形特征，也是X的统计特征。那么矩与概率密度函数之间的关系如何，还要先介绍特

征函数。

五、特征函数________

对于连续型随机变量X,称复随机变量的数学期望为X的特征函数，记

作也⑻：

Mx(9)=E[/x]=「e〃"(x)公(1-12)

与付氏变换

F3)=F[/■")]=匚/(De"力

<e](1-13)

/(/)=F'[F(o)]=「F(oj)e刖d3

相对比，显然Mx(6)可看作/(幻的付氏变换，其区别仅在于"x(e)=尸[/(X)]。由于

/(%)在(-8,+8)区间内的积分等于1,符合经典付氏变换绝对可积的条件，故以上变换对

于每■个随机变量总是存在的。那么按付氏变换理论，通过对Mx(⑶进行逆变换，就可以

6

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求出概率密度函数/（幻：

iex

=Mx（0）e-d0（1-14）

当X为离散型随机变量时，/（x）可表示为f（x）=£pE（x—x）,其中b（x）为单位脉

冲函数，定义为

3（x）=<'"°且J3{x）dx=\（1-15）

0,xw0~0°

单位脉冲函数具有筛选性质

L/⑺3（'一幻必=/&）（26）

这时，离散型随机变量X的特征函数为

Mx⑹=匚e网（ZP"（x-为））公=ZpJ-eb（x-x：）dx=Ep/孙（1-17）

iii

其逆变换亦存在。

由此可见，/（X）与Mx（6）构成一个付式变换对，二者一一对应，故Mx（。）可完全描

述X的统计特性。在实际问题中，Mx0比/（%）的求解更方便，因此可以先求出Mx（6），

然后经付式逆变换求/（幻。

下面求解特征函数与矩的关系.把Mx（6）在6=0处展成泰勒级数

“小〃、、ndMAO)62d2M(0)6"4"Mx(0)/°、

%(6)=%(0)+。----+------------■+…+------------2cLz+…(1-18)

xxde2!de2n\dff'

d"M(0)_d"M(0)

xx(〃=1,2,…)

d&'-d&'-

根据定义可以得到：

jSx(

Mx(0)=fef(x)dx-fe'f(x)dx=1

J-CO8=0J~°0

dMx（0）_fA-eJ0xf(x)dx=，L尤-fMdx=jE[X]

dO—6=()

j2\y2-f(x)dx=j2E[X2]

6=0

7

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所以，特征函数

(1-19)

n=1〃•

,16/M(0)

式中：EXY(1-20)

[]=—n

J“d0

由于〃x（e）与/（X）一—对应，故可用各阶矩来完整描述x的统计特性。一般来说,

各阶矩都需要知道。实际上，高阶矩难于得到，因此在工程实际中，往往只用少数几个低阶

矩（一般用到二阶，有时在解决非线性问题时用到四阶）来描述它，显然会存在一定的近似

性，除非随机变量X为高斯的。

-e~mx>0

［例1-4J已知某随机变量X的分布函数尸（x）=〈，常数a>0,即X服从指

0x<0

数分布,求Mx（。）,E［X］和E［X2］。

dF(x)ae~axx>0

解：fM=

dx0x<0

一

-e^

a0a

[X2]=匚/加=J：2,-^=(_2.e”

Exaedxx『+

2•+oo2

ax,€ltxdx——r-

a°a1

Mx(6)=]=JeJ0xf(x)dx=£"xae2dx='一

a-jO

也可以利用特征函数计算均值和均方值:

1aj

2

jde6=0j(a-j0)®=oa

124

E[X2]=1d2Mx⑹2

22

jde-e=oj(a-jof8=0a

r例i-5j［求标准化的高斯随机变量x的特征函数Mx（e）与各阶矩。

解：对于标准化的高斯随机变量X,即X~N（0.1）,有

(—8<X<4-00)

8

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且〃x=O，bx=l，那么X的特征函数

*2

M*⑹=「M-~^=e~dx

J<2兀

尤/2j0x

e2e2e2e2dx

生

~2e2*e2e2dx

的+oo”彻2

2「e2dx

因为dx=1,所以

一丝

Mx(e)=，E

根据式(1-20),可以得到

=0

de

jdee=o

e~

1d2Mx(°)_1诡Mx(8)1.-4=1

E[X2]==—(^--1)~2

j2de2i2dO22

8=0J0=0J

11必(0)i更

小二--3(02-3Ye2=0

j3次

8=0

中4]==方防式_1)_3的2_1)卜温

¥甯。)=3

®=0

不难验证，所有奇数阶矩都等于0,偶数阶矩则为(n-1),即

E「x"]=J°〃为奇数

L」一[nT〃为偶数

[例1-6」当高斯随机变量X的均值为4x，标准差为＜Tx时，求各阶原点矩E[X"]。

解：根据题意，有：

_(A〃X.

f(x)=^^-e2武

兀Ox

令y=X*,则得到标准化的高斯随机变量Y,其概率密度函数

°x

9

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1上

△y)F2

由上例可知

jffY

MY(0)=E[e]=e~

而X=axY+]Ux,则

MxS)=E[ej0X]=E[ej3(axY+Px)]=ejePx-E[ej0t7xY]

一幽."返)

eJ卯x.ez=e2

根据式（1-20）,可以得到各阶原点矩

幽

E吐“

e2（外一町）二4x

0=0J

8=0

E[X[=11Mx3)

22=云+/

idd8=0

1d3Mx⑻

=3犬%+/4=4X9；+4；)+2b；4x

3次

je=o

2

=/lxE[X]+2a^jux

中[=”⑹=3,+6小必十解

dae=o

=/X(3/〃x+m)+3氏⑹+Ax)

32

=//x£[X]+3<r^£[X]

2

E[X"]=jUxE[X'-']+(n-\)a^E[X"-]

可见，高斯随机变量的任意高阶矩都可以用一、二阶矩表示,最终都是取决于〃X和。

1.2随机过程的描述

一、随机过程

定义1：定义在样本空间5=伙｝上的时间函数（样本函数）/。），feT的集合（如

图1-4所示），称为随机过程，简记为X«）。

10

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时，x（fj为一连续型随机变量，xg）又称为x«）在《时刻的截口或状态；当k一定且1=乙

时，XQ）为样本函数/。）在乙时刻的值。

定义2：随机过程X。）是一族随机变量X（G（4eT）的集合。即可以看作是无限多

个随机变量组成的随机变量系，或者说X（f）是随时间t而变的一族随机变量。

X。）又称随机函数。

二、概率描述

1、一维概率分布

随机过程X”）在内时刻的截口X6）为一个连续型的随机变量。它的分布函数

6（"）=P{X（G〈xj（1-21）

式中，4为截口时间，是确定值。

相应的概率密度函数

11

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（1-22）

dX]

2、n维概率分布

随机过程X。）在n个时刻LM，…，％的截口X&）、X«2）、……、X&J为一个n维随

机变量。它的分布函数和概率密度函数为

工（X|,X2,…，Xn；t|,t2,…，％）（1-23）

工,（X|,X2,…，xn;t1,t2,--,tn）（1-24）

若已知n维随机变量的概率密度函数力区送2,…，Xn；t1,t2,…，4）,则可以求出较低维

随机变量的概率密度函数，如同根据联合概率密度函数求边际概率密度函数一样。

£,-A（X|，X2,…，Xn.k；t|，t2,…，%*）

=J-8…LZ,（xpx2»"">…，y）公"近…公，T+I

'iS'

可见，对于随机过程XQ）,知道概率密度函数的维数越高，对它的统计特性了解得越彻底。

三、数字特征：

1、单个随机过程的主要数字特征

n维概率密度函数<（X],X2,…，x/LQ,…，4）可近似的描述随机过程X0）的统计特

性。n越高，概率密度函数描述得越完善。但求解£（X1,X2,…，X/t1,t2,…，4）一般十分困

难，有时甚至不可能。因此，在实际问题中，往往只要知道某些主要数字特征，即可对X（r）

有足够的也手。常用的有

均值：E[X（f）]=Jxf（x,t）dx=jUx（t）（1-26）

方差：

qX⑺]=讥（X⑺一〃x⑺力=匚（九一％0））2/（X，1）公=另⑺

均方值：E[X2(/)]=J：x旺(x,t)dx=叭(r)=(/)+(f)

自相关函数：

E[X（QX«2）]=Rx（M2）=匚匚¥2八和入2；44）血血

2、n维随机过程的数字特征

设n维随机过程X1⑺,X?⑺，…，X,⑺，其数字特征包括

12

车辆随机振动理论与应用

均值：E[X,.（O]i=l，2,…，n

均方值：E[X,2(r)]i=12…，n

相关函数矩阵：

Rx、Xi（，1"2）&也(％，’2)…RX|X〃(4，12)

Rx?Xi（4"2）^X2X2(4，’2)…^X2X„(4，’2)

RxtXj（彳,，2）=（1-30）

Rx“X|联冬由国)…Rx.x”（4”2）

矩阵中的对角元素为自相关函数，非对角元素为互相关函数。由于互相关函数

这里只讨论具有简单初等函数关系的随机过程之间数字特征的运算关系。

①Y(t)=9Q)X(E)(其中(p(t)为确定性函数)

对于任一时刻八,有

Y&)=9(GX(G

式中，是确定值，X&)、Y«)是随机变量。所以，有

E»(t])]=3(GE[X(G]

由于时刻4是任意的，所以

E[YM]=(p(t)E[X(t)]（1-31）

13

车辆随机振动理论与应用

同理可得

E[Y2M]=（p\t）E[X2（t）]（1-32）

）X-）夕一）X。）]

=8（G*2）E[X（GX«2）]（1-33）

=夕（———，幻

②z⑺=x«）+y«）

E[Z（t）]=E[X（t）]+E[Y（t）]（1-34）

Rz（Ad）=E[Z（GZa2）]

=E[（x（G+y（G）（x«2）+y"2））]（1-35）

=RX（%，，2）+RY（%，，2）+—#2）+/

当x（r）与y«）不相关，且均值为。时，因为

RXY.,，2）=CXY储，12）+〃X（%M&）=°

同理：7?氏（44）=0

•••Hz储，/2）=RX（32）+R）&，，2）（1-36）

其中，协方差

Cxy&冉）=切（X⑷一小&））（丫«2）一闷&））]

=E[X（fjy（f2）一〃y（f2）E[X（G]—〃x0）E[y（f2）]+〃x（fMyG）]

=E[X-）]-"xQMyG）

=/?xyaiJ2）-〃x（A）〃y“2）（1-37）

而相关系数（标准化协方差）PXY=C"）（1-38）

当%=J=f时，自相关函数变成均方值，有

必⑺=⑺（1-39）

又因为它们的均值等于0,所以方差存在以下关系

#（f）=<7；（/）+CT；（/）（1-40）

・般地，对于Z（f）=£x«）,如果有X,⑺与X,Q）（iw/）不相关且均值为0,则

14

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有:

。汕=2&。(1-41)

/=1

③z(f)=x(/)y⑺

当X。)与丫⑺相互独立时，则

£[Z(r)]=E[X(r)y(r)]

,+8p+CO

=Jxy-/(x,Z；y,t)dxdy

:+oop+co

=LL盯温y(1-42)

=JIX,/(x,f)办j：>1'f(y,t)dy

=E[X(t)]E[Y(t)]

Rz/w)=矶x&)y(Gx&)y(/

=E[x(rl)x(/2)y(/,)y(r2)]

=&(4,，2)曷(;"2)

[例1-7J质量弹簧系统如图1-6所示，对初始激励的响应为

x(f)=x(0)cosgt+必^sincoJ

七

1PI-1

g,⑴

图1-6弹簧质量系统示意图

当初始条件x(0)与乳0)为随机变量时，响应x(f)为一随机过程

X(z)=X(0)cos3JH———■sincont

七

设X(0)与X(0)相互独立，且均值为0,求£[X(1)],RXQ"2)。

1

解：E[X(t)]=cosa)nt•E[X(0)]+—sincont•E[X(0)]=0

15

车辆随机振动理论与应用

0(44)=aX&)X«2)]

=E[(X(0)coscox+.⑼sina)nt})(X(0)cosa)nt2+“(°)sin)】

3〃〜@

E[X(0)X(0)]

=E[X(0)]•cos电力cos+-----------cosa)nt}sincont2

七

E[X(0)X(0)].E[X2(t)]

H-------------sm①滴coscont2H---------smcont}sin60nt?

-Oy人0corisicot.conszcot.+~—•sincot.sinCOL

4、导数过程的数字特彷(问答)

随机过程X(/)的导数过程欠(f)定义为X。)的每个样本函数xQ)在t时刻的导数的集

合，即X(/)=些D=limX(r+£)~X(r),这要求每个样本函数对时间t的导数都存在。

dt—0£

①元⑺的均值

E[X(t)]=E[(IX^]=d仇X(f)]=d底⑴(1-44)

dtdtdt

上式表示，导数过程的均值等于原过程均值的导数。

②X。)与X(r)的互相关函数

R取(/“)=以文(4)X缶)1

=E[(limX储+£)Wx«2)]

£T°E

讥X(4+£)X«2)]-E[X(GX(，2)]n4S)

一uni11TD)

£T。£

_HmRx(4+&K(%，，2)

一。£

a八/、

=dt&—)

a

同理：/?.(rp^)=—/?x(?,,/,)d-46)

③X(r)的自相关函数

16

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^(r1,f2)=E[X(rl)X(f2)]

=后加1)limXG+£)-X«2)]

£T°£

=limR欢(1.47)

£T0£

a

=6t_R法"2)

=*»&&也)

atldt2

『例1-8J设A、B为两个相互独立的随机变量。A~N(1.2),B在(0,1)上服从均匀分布,

随机过程XQ)=A+及,?e(-eo,-^)o求①〃x«)，②RX(W2)，③R戏&冉)，④

勺x&W)，⑤勺(也)

解：根据已知条件，可得：4A=1,。：=2

­,•何=4+成=3

另外，f(B)=-'-=l

1-0

2

fiB,1

2o2

•1

-

3-

o

%(。=E[X(t)]=E[A]+E[B]t=1+5

RXQ"2)=夙X(GX«2)]

22

=£[A]+E[AB]t2+E[BA]t]+E[B]t]t2

=3+(4+Z,)£[A]£[i?]+—/|

c1/、1

=3+](f]+q)+/2

八/、a八/、ii

R双Ql，12)=RxQl，，2)=%+W%

dt223

n/\an/

RxX(ti,t2)=—Rx(ti,t2)=-+-t2

oA23

17

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a2\

勺"/）=3^7%（小切=1

otxot25

四、平稳鸟号号数过程

1、平稳过程X。）的概念：

数学上,如果随机过程X。）的概率密度函数存在以F关系

/（X，G=/（%，4+“）

/（%/;工24）=/（%，%+a-,x2,t2+a）

/（%，4；尤2,小…；X",，"）=/（%,6+a-,x2,t2+a-,----,xn,t„+。）

（1-48）

其中a为任意