充要条件高中数学人教A版（2019）必修1

充要条件1.通过观察具体实例的共性探究归纳出充要条件的概念，并能够利用概念归纳出充分条件、必要条件的四种关系.2.通过素材反复观察、分析、类比、相互交流归纳出判断命题条件的方法.3.通过学习能正确运用逻辑用语表达自己的思维，使得思路清晰明了，说理有据.学习目标请同学们关注红字部分情境导学老张邀请张三、李四、王五三个人吃饭,时间到了,只有张三、李四准时

赴约,王五因事不能到场,老张说:“该来的没有来.”张三听了脸色一沉,起来

一声不吭地走了.老张愣了片刻,又道了句:“不该走的又走了.”李四听了大

怒,拂袖而去.问题1:张三为什么走了?答案张三走的原因:“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”,张

三觉得自己是不该来的.问题2:李四为什么走了?答案李四走的原因:“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”,

李四觉得自己是应该走的.自主学习p⇒q一．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有

，又有

，就记作

，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为

条件.q⇒pp⇔q充要自主学习.

如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为

条件.充要(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？自主学习自主学习三．“⇔”的传递性

若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有

，即p是s的充要条件．p⇔s小试牛刀√√√√√充要条件的判断p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的充要条件p是q的充分不必要条件充要条件的判断综合应用：充要条件的证明例:已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l

的距离为d．求证：d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.(1)充分性(

)：如图，作OP⊥l

于点P，则OP=d．若d=r，则点P在⊙O上．在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ．在Rt△OPQ中，OQ>OP=r．所以，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P．所以直线l与⊙O相切．OPQl证明：设p：d=r，q：直线l与⊙O相切．综合应用：充要条件的证明充要条件的证明，一般先把命题写成“若p，则q”形式然后分别证明充分性和必要性．证明：设p：d=r，q：直线l与⊙O相切．(2)必要性()：若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l．因此，d=OP=r．由(1)(2)可得，d=r是直线l与⊙O相切的充要条件．充要条件的探求例:求ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件.分析:首先讨论二次项的系数a是否为零,在a≠0时,利用判别式和根与系数的关系求解.解:由于二次项系数是字母,因此,首先要对方程ax2+2x+1=0判定是一元一次方程还是一元二次方程.(1)当a=0时,为一元一次方程,其根为x=-,符合要求;(2)当a≠0时,为一元二次方程,它有实根的充要条件是判别式Δ≥0即4-4a≥0从而a≤1;充要条件的探求反思感悟求充要条件的方法求一个问题的充要条件,就是利用等价转化的思想,使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合,这就要求转化时思维要缜密.提醒p是q的充要条件意味着“p成立则q成立;p不成立则q不成立”.课堂检测1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分又不必要条件解析

∵A={1,a},B={1,2,3},A⊆B,∴a∈B且a≠1,∴a=2或a=3,∴“a=3”

是“A⊆B”的充分不必要条件.A2.设p:x<3,q:-1<x<3,则p是q成立的

()A.充要条件

B.充分不必要条件C.必要不充分条件

D.既不充分又不必要条件解析

因为{x|-1<x<3}

{x|x<3},所以p是q成立的必要不充分条件.C3.(多选)下列论述正确的是

()A.若x∈R,则“x>1”是“x>2”的必要不充分条件B.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件C.“

>

”是“a<b”的充要条件D.若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件AD解析

AD对于A,∵x>2⇒x>1,但x>1⇒/x>2,∴A正确;对于B,“AB2+AC2=BC2”特指A为直角,但“△ABC为直角三角形”

的直角不一定是A,故B错误;对于C,“

>

”“a<b“两者都不能相互推出,故C错误;对于D,由a2+b2≠0⇒a,b不全为0,反之,由a,b不全为0⇒a2+b2≠0,故D

正确.故选AD.4.已知x,y∈R,则“xy=0”是“x2+y2=0”的

条件.必要不充分5.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是

.解析二次函数图象的对称轴为直线x=-

=-

,当m=-2时,y=x2-2x+1,其图象关于直线x=1对称,反之也成立,所以函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称

的充要条件是m=-2.m=-2逻辑推理——充要条件的证明设在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=

0有公共根的充要条件是∠A=90°.素养探究:一般地,证明“p成立的充要条件为q”时,在证充分性时应以q为

“已知条件”,p是该步中要证明的“结论”,即q⇒p;证明必要性时则是以p

为“已知条件”,q为该步中要证明的“结论”,即p⇒q,过程中体现逻辑推理

核心素养.素养演练证明必要性:设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0的公共根为x0,则

+2ax0+b2=0,

+2cx0-b2=0.两式相减,得x0=

,代入

+2ax0+b2=0,可得b2+c2=a2,故∠A=90°.∴必要性成立.充分性:∵∠A=90°,∴b2=a2-c2.①将①代入方程x2+2ax+b2=0,可得x2+2ax+a2-c2=0,即(x+a-c)(x+a+c)=0.将①代入方程x2+2cx-b2=0,可得x2+2cx+c2-a2=0,即(x+c-a)(x+c+a)=0.故两方程有公共根x=-(a+c).∴充分性成立.∴方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.针对训练已知a+b≠0,证明:a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.证明充分性:若a+b=1,则a2+b2-a-b+2ab=(a+b)2-(a+b)=1-1=0,即充分性成立.必要性:若a2+b2-a-b+2ab=0,则(a+b)2-(a+b)=(a+b)·(a+b-1)=0.∵a+b≠0,∴a+b-1=0,即a+b=1,∴必要性成立.综上,a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.

p是q的充分