辽宁省本溪市2021年中考数学真题（解析版）

2021年辽宁省本溪市中考数学试卷

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.-5的相反数是（）

11

A.—B.—C.5D.-5

55

【答案】C

【解析】

【分析】根据相反数的定义解答即可.

【详解】-5的相反数是5

故选C

【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键.

2.下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这些图案中既是

中心对称图形又是轴对称图形的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据中心对称图形及轴对称图形的概念即可解答.

【详解】选项A,是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意;

选项B,不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；

选项C,不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；

选项D,不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意.

故选A.

【点睛】本题考查了中心对称图形及轴对称图形的概念，熟练运用中心对称图形及轴对称图形的概念是解

决问题的关键.

3.下列运算正确的是（)

A.x1-x=2x2B.(xy3)2=x2y6

C.X6-rX3=X2D.x2+x=x3

【答案】B

【解析】

【分析】根据同底数塞乘法法则、积的乘方的运算法则、同底数塞的除法法则及合并同类项法则逐一计算

即可得答案.

【详解】选项A,根据同底数幕乘法法则可得d.x=d,选项A错误；

选项B,根据积的乘方的运算法则可得（孙3）2=f>6,选项B正确；

选项C,根据同底数慕的的除法法则可得了6+％3=%3,选项C错误；

选项D,/与X不是同类项，不能合并，选项D错误.

故选B.

【点睛】本题考查了同底数基乘法法则、积的乘方的运算法则、同底数基的除法法则及合并同类项法则，

熟练运用法则是解决问题的关键.

4.如图，该几何体的左视图是（）

【答案】D

【解析】

【分析】画出从左面看到的图形即可.

【详解】解：该几何体的左视图是一个长方形，并且有一条隐藏的线用虚线表示，如图所示:

故选：D.

【点睛】本题考查三视图，具备空间想象能力是解题的关键，注意看不见的线要用虚线画出.

5.如表是有关企业和世界卫生组织统计的5种新冠疫苗的有效率，则这5种疫苗有效率的中位数是（）

疫苗名称克尔来福阿斯利康莫德纳辉瑞卫星V

有效率79%76%95%95%92%

A.79%B.92%C.95%D.76%

【答案】B

【解析】

【分析】根据中位数的定义，对5种新冠疫苗的有效率从小到大（或从大到小）进行排序，取中间（第三

个）的有效率即可.

【详解】解：根据中位数的定义，将5种新冠疫苗的有效率从小到大进行排序，如下：

76%,79%,92%,95%,95%

数据个数为5,奇数个，处于中间的数为第三个数，为92%

故答案为B.

【点睛】此题考查了中位数的定义，求中位数之前不要忘记对原数据进行排序是解决本题的关键.

k

6.反比例函数y=—的图象分别位于第二、四象限，则直线y=a+Z不经过的象限是（）

x

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】先根据反比例函数尸人的图象在第二、四象限内判断出％的符号，再由一次函数的性质即可得出

X

结论.

【详解】解：•.•反比例函数尸人的图象在第二、四象限内，

X

：.k<0,

工一次函数产履+上的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限.

故选：A.

【点睛】本题考查的是反比例函数的性质和一次函数的性质，注意：反比例函数产七中，当人＜0,双曲线

x

的两支分别位于第二、第四象限.

7.如图为本溪、辽阳6月1日至5日最低气温的折线统计图，由此可知本溪，辽阳两地这5天最低气温波

动情况是（）

A.本溪波动大B.辽阳波动大

C.本溪、辽阳波动一样D.无法比较

【答案】C

【解析】

【分析】分别计算两组数据的方差，比较，即可判断.

【详解】解：辽阳的平均数为：＞+14+13+13+13

13.8,

5

方差为：S、[(16-13.8)2+(14-13.8)2+3X(13-13.8)2]=1.36,

15+13+12+12+12

本溪的平均数为:=12.8,

5

222

方差为：S2=1[(15-12.8)+(13-12.8)+3X(12-12.8)]=1.36,

S]=S2,

本溪、辽阳波动一样，

故选：C.

【点睛】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键.方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方

差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

8.一副三角板如图所示摆放，若Nl=80。，则N2的度数是（)

A.80°B.95°C.100°D.110°

【答案】B

【解析】

【分析】由三角形的外角性质得到/3=/4=35。，再根据三角形的外角性质求解即可.

【详解】解：如图，NA=90°-30°=60°,

N3=Nl-45°=80°*45°=35°,

.•./3=N4=35°,

N2=/A+/4=60°+35°=95°,

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键.

9.如图，在AA6c中，AB=BC,由图中的尺规作图痕迹得到的射线80与AC交于点£，点尸为8c的

中点，连接EF，若3E=AC=2,则△团'的周长为（）

A.G+lB.75+3C.V5+11).4

【答案】C

【解析】

【分析】根据作图可知8。平分NA8C,AB=BC,由三线合一，解△8EC,即可求得.

【详解】•.80平分ZABC,AB=3C.8£=AC=2

BEJ.AC,AE-EC--AC=1

2

22

BC=>]BE+EC=VF+F=6

•••点/为3c的中点

•••EF=-BC=FC=~

22

•••△（:£/的周长为：

CE+EF+FC=l+—+—=>/5+\

22

故选C.

【点睛】本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出8C边是解题

的关键.

10.如图，在矩形4BCO中，BC=\,Z4DB=60°,动点P沿折线45f运动到点8,同时动点Q

沿折线f运动到点C,点P,。在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点尸，。在矩形对角

线上的运动速度为每秒2个单位长度.设运动时间为，秒，△PBQ的面积为S,则下列图象能大致反映S

与r之间函数关系的是（）

D.

【答案】D

【解析】

［分析】结合运动状态分段讨论:当点P在A。上，点。在30上时，A?=r,OQ=2t,过点P作尸石，，

通过解直角三角形求出PE,表示出面积的函数表达式；当点P在8。上，点。在8c上时，

BP=2-2（r-l）=4-2r,BQ=t-l,过点尸作PFLBC,通过解直角三角形求出PE,表示出面积的函数

表达式，利用二次函数的性质即可得出结论.

【详解】解：当点「在人。匕点Q在80上时，AP^t,DQ=2t,

则PD=\-t,

过点尸作PELBO，

,?NAO?=60°,

BQ=2-2t,

•••△P8Q的面积S=gBQ.PE=*/2一百r+为开口向上的二次函数;

当f=l时，点尸与点。重合，点Q与点8重合，此时△P8Q的面积S=0；

当点P在上，点Q在8c上H寸，BP=2-2（r-l）=4-2f,BQ=t-\,

过点P作尸尸，8。,

则竺=sin60°=无，郎PF=@BP=2拒-品,

PB22

APBQ的面积S=g8Q+3f-2）,为开口向下的二次函数；

故选：D.

【点睛】本题考查动态问题的函数图象，根据运动状态写出函数解析式，利用二次函数的性质进行判断是

解题的关键.

二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）

11.若万在实数范围内有意义，则x的取值范围为一.

【答案】x<2

【解析】

【分析】二次根式的被开方数大于等于零，据此解答.

【详解】解：依题意得2-x>0

解得x<2.

故答案为：xW2.

【点睛】考查了二次根式的意义和性质.概念：式子&（a>0）叫二次根式.性质：二次根式中的被开方

数必须是非负数，否则二次根式无意义.

12.分解因式：2/_4*+2=.

【答案】2（%-1）2

【解析】

【分析】先提公因式2,再利用完全平方公式分解即可.

【详解】解：2X2-4X+2=2（X2-2X+1）=2（X-1）2,

故答案为：2（x—

【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键.

13.有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着-J7，-1，0,G，2,从中随机抽取一张，则抽出卡片

上写的数是6的概率为.

【答案】|

【解析】

【分析】利用概率公式即可求解.

【详解】解：抽出卡片上写的数是的概率为(，

故答案为：—.

【点睛】本题考查简单事件求概率，掌握概率公式是解题的关键.

14.若关于x的一元二次方程3f-2x-攵=0有两个相等的实数根，则上的值为.

【答案】

【解析】

【分析】根据关于x的一元二次方程3/一2%-％=0有两个相等的实数根，得出关于大的方程，求解即可.

【详解】•••关于x的一元二次方程3f-2x—左=0有两个相等的实数根，

4x3x(-%)=4+12^=0,

解得上-二.

3

故答案为：.

【点睛】本题考查了运用一元二次方程根的判别式，当△>()时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当

△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△<◊时，一元二次方程没有实数根.

15.为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖.在

购买奖品时发现，A种奖品的单价比8种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的数量与用240元购

买B种奖品的数量相同.设B种奖品的单价是x元，则可列分式方程为.

【解析】

【分析】设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为(x+10)元，利用数量=总价+单价，结合用300

元购买A种奖品的件数与用240元购买B种奖品的件数相同，即可得出关于x的分式方程.

【详解】解：设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为(x+10)元,

300240

依题意得：

x+10X

300240

故答案为:

x+10X

【点睛】本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程.

16.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和

点D,则tanZADC=.

3

【答案】一

2

【解析】

【分析】根据同弧所对圆周角相等可得=再利用正切的定义求解即可.

【详解】解：；NABC=Z4OC,

3

/.tanZADC=tanZABC=―,

2

3

故答案为：一.

2

【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等、求角的正切值，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键.

L

17.如图，A8是半圆的直径，C为半圆的中点，A(2,0),8(0,1),反比例函数y=2(x>0)的图象经过点

x

C,则女的值为

【解析】

【分析】连接C£>,并延长交x轴于点P,分别求出PC,PO,C£>和PC的长，过点C作CFLx轴于点凡

求出PF,CF的长，进一步得出点C的坐标，从而可得出结论.

【详解】解：连接CC,并延长交x轴于点P,如图，

：.CP1,AB,即尸=90°

又408=90°

ZAPD=ZABO

■：A(2,0),B(0,1)

：.AO=2,08=1

；•AB=y/AO2+BO2=Vl2+22=旧

/.AD=-AB=—

22

又tanA=^=丝

ADOA2

PD=-AD=-x—=—

2224

―3日+冬竽

•'-AP=y/PD2+AD2=｛（?2+

53

OP=AO-AP=2--=-

44

过点C作CFLc轴于点F,

sinZAPD=sinZABO=—=—=A

PCAB75

:.CF=PCx与二正x与二

754752

PF=JPC。-CF?=J（哈2_.=2

333

OF=OP+PF=-+-=-

442

33

.•.点C坐标为（士，士）

22

k

•.•点C在反比例函数y=£(x>0)的图象上

x

.,33_9

224

9

故答案为：-

4

【点睛】本题考查反比例函数的解析式，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析

式；求出点C坐标是关键.

18.如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边A8上，点。的对称点为点F,EF

交A。于点G,连接CG交尸。于点H,连接CE.下列四个结论中：①/\PBES/\QFG；

②S^EG=SacBE+S四边形CDQ"；③EC平分NBEG；@EG2-CH2=GQGD,正确的是(填序

号即可).

【答案】①③④.

【解析】

【分析】①用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；

②过点C作CMLEG于通过证明△BECgZXMEC进而说明△CMG四△CDG,可得

S&CEG=SABEC^S4CDG〉SABEC+SCDQH；

③由折叠可得:/GEC=/OCE,由AB〃C£＞可得/BEC=/QCE,结论③成立；

④连接。“，MH,HE,由△BEC丝△MEC,△CMG丝△COG可知：ZBCE=ZMCE,ZMCG=ZDCG,贝ij

NECG=NECM+/GCM=L/BCD,由于EC_LHP,贝ljNC7/P=45°,由折叠可得:NE//P=NC”尸=45°,

2

利用勾股定理可得由CM_LfG,EHA.CG,得到NEMC=NE"C=90°,所以E,M,H,C

四点共圆，通过△CMH丝△CD”,易证△G”QS/\G。”，则得GH^GQ-G。，从而说明④成立.

【详解】解：①•・,四边形A3CO是正方形，

AZA=ZB=ZBCD=ZD=9O0由折叠可知：

/GEP=NBCD=90°,ZF=ZZ)=90

：・NBEP+NAEG=90°,

・・・ZA=90°

AZAEG+ZAGE=90°,

JNBEP=NAGE,

•：NFGQ=/AGE,

:・/BEP=/FGQ,

・・•ZB=ZF=90,

：・4PBE〜/\QFG,

故①说法正确，符合题意；

②过点C作

D

Dp：

由折叠可得:NGEC=NDCE,

,:AB〃CD,

：.ZBEC=ZDCEf/BEC=/GEC,

在△BE'C和△MFC中，

VZB=ZEMC=90°,/BEC=NGEC,CE=CE

：./\BEC^^MEC(AAS)

・・CB=CM,S△BEC^S&MBC,

VCG=CG,

・・・Rf/\CMG名RtACDG(HL),

:・S&CMG=S»CDG，

S2CEG=SABELSdCDCi>S4BEC+S四边形CDQH

・•・②说法不正确，不符合题意；

③由折叠可得:NGEC=NOCE,

9

：AB//CDf

:./BEC=NDCE,

：.ZBEC=ZGECf即EC平分/BEG

・•・③说法正确，符合题意；

④连接OH,MH,HE,如图：

•：△BEgAMEC,△CMG0△CDG,

；・/BCE=NMCE,/MCG=/DCG,

：./ECG=ZECM+ZGCM=-ZBCD=45°,

2

ECLHP,

：.ZCHP=450,

AGHQ=ZCHP=45°,

由折叠可得:NE”P=NC"P=45°,

J.EHLCG

:.EG-EH^GH2

由折叠可知:E"=CH

：.EG2-C^GH2,

"：CM±EG,EHICG,

:.NEMC=NEHC=90°,

：,E,M,H,C四点共圆，

AZHMC=ZHEC=45°,

在和△€■£«中，

'：CM=CD,ZMCG=ZDCG,CH=CH

：.△CMH空△CDH（SAS）

：.ZCDH=ZCMH=45",

,ZZCDA=90°,

：.ZGDH=45°

ZGHQ=ZCHP=45°,

：.NGHQ=NGDH=45。,

ZHGQ=ZDGH,

：./\GHQ^/\GDH,

.GQGH

"GH~'GD'

G眸GQ•GD

:.GC-CHP=GQ•GD

故④说法正确，符合题意；

综上可得，正确的结论有:①③④

故答案为：①③④.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质、翻折问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、三角形的相似

的判定与性质.翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键.

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

6a（,2a-3、

19.先化简，再求值：-1+--,其中a=2sin3O0+3.

W-9Ia+3）

【答案】上；，2

。一3

【解析】

【分析】先把分式化简后，再求出4的值代入求出分式的值即可.

6a12a-3

【详解】户1+-----

。+3

6a（。+32a-3

Q2—9[Q+3a+3

6a。+3

=-----------x----

(a+3)(。-3)3a

2

ci—3

a=2sin300+3

=2x1+3

2

=4

当a=4时，原式=2=2.

4-3

【点睛】本题考查了分式的化简值，特殊角的三角函数值，熟练分解因式是解题的关键.

20.为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动.竞赛项目有：A.回顾重要事件；B.列

举革命先烈；C.讲述英雄故事；D.歌颂时代精神.学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解

学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中

信息解答下列问题：

71牛事加后宴项U的条格统计图学生:参加比费星H的扇形茂计留

人

(1)本次被调查的学生共有名；

(2)在扇形统计图中“8项目”所对应的扇形圆心角的度数为,并把条形统计图补充完整；

(3)从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表或

画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率.

【答案】(1)60；(2)90°,补全条形统计图见解析；(3)4

【解析】

【分析】(1)根据条形统计图和扇形统计图可知A项目的有9人，占15%,即可求出总人数;

(2)作差求出B项目的人数，按照比例求出其圆心角度数并补全条形统计图；

(3)列出表格，利用概率公式即可求解.

【详解】解：(1)9+15%=60;

(2)B项目的总人数为60-9-24-12=15人，

“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为"x36()°=9()°,

60

补全条形统计图如下：

争住里E克要项U的条方统计图

人欧，

(3)列出表格如下:

小华小光小艳小萍

小华小华，小光小华，小艳小华，小萍

小光小华，小光小光，小艳小光，小萍

小艳小华，小艳小光，小艳小萍，小艳

小萍小华，小萍小光，小萍小萍，小艳

共有12种情况，其中恰好小华和小艳的有2种,

(恰好小华和小艳)=L

6

【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图综合，从统计图中获取相关信息是解题的关键.

四、解答题(第21题12分，第22题12分，共24分)

21.某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共需135元，购买5本手绘

纪念册和2本图片纪念册共需225元.

（1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？

（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共40本，总费用不超过1100元，那么最多能购买手绘纪念册

多少本？

【答案】（1）每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元；（2）最多能购买手绘纪念册10本.

【解析】

【分析】（1）设每本手绘纪念册x元，每本图片纪念册y元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；

（2）设购买手绘纪念册〃本，则购买图片纪念册（40-a）本，根据题意列出不等式，求解不等式即可.

【详解】解：（1）设每本手绘纪念册x元，每本图片纪念册），元,

x+4y=135

根据题意可得:<

5x+2y=225

x=35

解得《

y=25

答：每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元;

（2）设购买手绘纪念册。本，则购买图片纪念册（40-。）本，根据题意可得:

35a+25（40-a）＜1100,

解得aW10,

最多能购买手绘纪念册10本.

【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、不等式的实际应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关

键.

22.如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道A3.无

人机从点力的正上方点C,沿正东方向以8m/s的速度飞行15s到达点测得A的俯角为60°,然后以同

样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E,测得点B的俯角为37°.

（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）;

⑵求AB的长度（结果精确到1，办（参考数据：sin37°®0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75,

6=1.73)

【答案】(1)无人机的高度AC=60月加；(2)A8的长度为382%

【解析】

【分析】U)在放△CD4中，利用正切函数即可求解；

(2)先证明四边形A8FC为矩形，在RfABFE中,求得EB*138〃，，即可求解.

【详解】(1)根据题意得:CD=8xl5=120(a),

在R3CD4中，ZACD=90°,ZADC=60°,

Atan60°=—,

CD

.".AC=120x—=60>/3(M，

2

答：无人机的高度AC=6OG〃Z;

(2)根据题意得:DE=8x50=400(/n),

则CE=D£+C£>=520(m),

过点B作BF_LCE于点F,

CDFE

-P~6OYP37：y

//

I/:/

I/I/

I/I/

IfI/

!/!/

：/1/'

；/!/

~AB

则四边形A8FC为矩形，

/.AB=FC,BF-AC-60\/3m>

在R/ABFE中，ZBFE=90°,NBE尸=37°,

Atan37°=—=0.75,

EF

...EF="叵=138.4a138(加)，

0.75

AB=FC=CE-EF=520-l38=382(〃?)，

答：48的长度为382M

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质.注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形

是解此题的关键，注意数形结合思想的应用.

五、解答题（满分12分）

23.某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为

60元时，每星期卖出100个.如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售,

设销售单价为x元，每星期销售量为），个.

（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？

（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）尸-2X+220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；（3）当

销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元.

【解析】

【分析】（1）根据题意中销售量y（个）与售价x（元）之间的关系即可得到结论；

（2）根据题意列出方程（-2x+220）（x-40）=2400,解方程即可求解;

（3）设每星期利润为w元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题.

详解】（1）由题意可得,>'=100-2（x-60）=-2x+220；

（2）由题意可得，

（-2x+220）（x-40）=2400,

解得，x=70,尤2=80,

二当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元.

答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元.

（3）设该网店每星期的销售利润为w元，由题意可得

w=（-2x+220）（x-40）=-2丁+300%—8800,

当*=-二=75时，w有最大值，最大值为2450,

当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元.

答：当销售单价是75元时，该网店每星期销售利润最大，最大利润是2450元.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数模型，利用二次函数的性质解决最值问

题.

六、解答题（满分12分）

24.如图，在HAABC中，ZACB=90°,延长C4到点£>,以AO为直径作O。，交的延长线于点E,

延长BC到点用使BF=EF.

（1）求证：族是。。的切线；

（2）若OC=9,AC=4,AE=8,求8尸的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）或

6

【解析】

【分析】（1）连接。E,通过倒角得到N8£F+NOE4=ZB+NR4c=90。，即可得证；

（2）连接。E、OF,通过证明△ADEsaABC求出AB的长度，在Rt^OC产和Rt^OEF中应用勾股定

理，得出方程，即可求解.

【详解】解：（1）连接OE,

OE=OA,

：.Z.OEA=Z.OAE=ABAC,

BF=EF,

•••NBEF=ZB,

：.NBEF+ZOEA=NB+ABAC=90°,

即OELER,

EF是O。的切线；

(2)连接。E、OF,

,/OC=9,AC=4,

OO的半径为5,

；•AZ)=10

：AO为直径，

/.ZDEA=90°,

；•ZDEA=ZACB,

NDAE=NBAC,

：.Z\AZ>E^AABC,

.AEDEAD

,/AC=4,AE=8,

ADc

—=2,

AB

•••AD=10,

；•AB=5,

BC=yjAB2-AC2=3>

设B尸的长为x,则所=3R=x,CF=x-3,

在RtA(9C~中，OF2=OC2+CF2=(X-3)2+81,

在RtAOEF中，OF2=OE2+EF2=x2+25.

/.(X-3)2+81=X2+25,

解得x———.

6

【点睛】本题考查切线的判定、相似三角形的判定与性质，掌握上述基本性质定理、并作出合适的辅助线

是解题的关键.

七、解答题(满分12分)

25.在cABCO中，DBAD=a,OE平分NADC，交对角线AC于点G,交射线A8于点E，将线段EB

绕点E顺时针旋转La得线段EP.

2

(1)如图1,当a=120°时，连接请直接写出线段”和线段AC的数量关系；

(2)如图2,当1=90。时，过点8作郎_LEP于点，连接AE,请写出线段AE,AB，AO之间的数

量关系，并说明理由；

(3)当a=12()。时，连接AP,^BE=-AB,请直接写出VA尸石与ACDG面积的比值.

2

13

【答案】(1)AP=AC-,(2)A产=—(4)2+4夕),理由见解析；(3)-

24

【解析】

【分析】(1)延长PE，交CD于点。，根据已知条件证明八4尸£：且/\47。即可；

(2)连接FC,过尸作J_BC交CB的延长线于点M,由丝△C8F,得4尸=尸。，在

用0c由三边关系利用勾股定理可得；

EG

(3)证明△A£GS^CZ)G，得次值，VA尸石与ACDG的面积分别与△AEG的面积成比例，可得

GD

YAPE与ACDG面积的比值.

详解】(1)如图，延长PE，交CO于点。，

D

由题意，将线段绕点E顺时针旋转La,

2

:./BEP=60。

•••a=120°

.-.ZB=60°

/.EQUBC

•.•四边形ABC。是平行四边形

AD//BC

EQ//AD

.1.四边形AEQ。是平行四边形

•••DE平分NADC

ZADE=ZCDE

QAB//CD

ZAED=/EDC

：.ZADE=ZAED

■■AE=AD

四边形AEQ。是菱形

/.AE=EQ

■：ZAED=ABEP=6Q°

■■/XAEQ是等边三角形

.♦.A£=AQ,NAQ£=60。

••AB//CD

.•.NCQ£=NA£Q=60°

ZAQC=ZAQE+ZEQC=120。,ZAEP=120°

vEQIIAD,ADIIBC,BE//CQ

四边形6CQE是平行四边形

:.CQ=BE

,;PE=BE

:.PE=CQ

在VAPE和AACQ中

AE=AQ

<ZAEP=ZAQC

PE=CQ

：.AAPE^AACQ

:.AP=AC.

(2)连接FC,过尸作fMLBC交CB的延长线于点M

•/«=90°

二四边形ABC。是矩形，/FEB=45。

BFLEP

ZFBE=45°,FB=FE，

NFBC=ZFBE+ZABC=135。，

ZFEA=180°-ZBEF=135°

DE平分/ADC

:.ZADE=-^ADC=45°

2

•.•ZAED=NPEB=45。

AE=AD

•四边形A8CQ是矩形

AD=BC

AE=BC

在AV话和ACFB中

AE=BC

<NAEF=NCBF

EF=BF

：.^AFE^/\CBF

AF=FC

设AD=a,AB=b,AF=c

则BE=AB—AE=AB—AD=b—a

•/FM±BC

二ZFBM=45°

：.MF=MB=sin/FBMxFB=—FB

2

BF=sin/FEBxEB------BE

2

：.MF=MB=；BE=g(b-a)

在RsFMC中

FC2=FM2+MC2

rtn2,b—a、2.h—a、2

即c=(------)+(------+a)

22

整理得：c2=-(a2+b2)

2

/.AF2AD2+AB2）.

(3)如图

由（1）可知aAPE会/XACQ

•••BE=-AB

2

PE=BE=AE

•••DE平分NADC

：.ZADE^ZCDE

QAB//CD

ZAED=/EDC

:.ZADE=ZAED

•••AE=AD

:.PE=AD

四边形APED是平行四边形

S.PE=S&ADE

•：AE//CD

:.^AEG^/\CDG

EGAE

'^GD~CD

AE=BE=-AB=-CD

22

,AE=一1

"CD2

EG_]

"~GD~2

..=3s△AEG

…S&CGD=4s“GE

••SAAPK•S&CDG=3.4•

【点睛】本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，三角形全等的性质与判定，三角形相似，勾股定理，锐

角三角函数，相似比的概念，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，知识点

比较多，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

八、解答题(满分14分)

3

26.如图，抛物线y=--V+瓜+。与x轴交于点A和点C(—1,0),与y轴交于点以0,3),连接AB，BC,

4

点尸是抛物线第一象限上的一动点，过点P作。轴于点。，交AB于点E.

图1图2图3

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,作于点、P,使PF=LQA,以PE，PF为邻边作矩形PEGF.当矩形PEGF的

2

面积是ABOC面积的3倍时，求点P的坐标；

(3)如图2,当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PO匕若以点。、4、B为顶点的三角形是锐角

三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围.

【答案】(1)y=--x2+-X+3(2)(1,-)或(3,3)；(3)-3<"<3-2.或3+2%<“<5.

■442322

【解析】

【分析】(1)用待定系数法即可求解；

(2)先求出直线A8的解析式，表示出P,E的坐标，故可表示出尸E的长，再根据矩形PEGE是ABO。面

积的3倍，得到方程，故可求解；

(3)当NA8。为直角时，求出直线8Q的解析式，得到〃的值，当N8QA为直角时，利用解直角三角形的

方法求出此时〃的值，同理求出当/8AQ为直角时〃的值，故可求解.

3

----/?+c=0

【详