江苏省无锡市2021年中考数学真题卷（含答案与解析）

无锡市2021年初中毕业生学业考试

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号

条形码贴在答题卡指定位置。

2.答题时，选择题答案，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选

择题答案，用0.5毫米黑色墨水签字笔，直接写在答题卡上对应的答题区域内。

答案答在试题卷上无效。

3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，

只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.）

1.-1的相反数是（)

3

A.-1

B-3C.3D.-3

3

2.函数中自变量x的取值范围是（)

A.x>2B.Q2C.x<2D.xW2

3.已知一组数据:58,53,55,52,54,51,55,这组数据的中位数和众数分别是（)

A.54,55B.54,54C.55,54D.52,55

的解是(

4.方程组xR)

x-y=3

x=4

A.x=2B.C.D.x=l

Iy=3y=2y=ly=4

5.下列运算正确的是()

AA.a2~+a=a3B.(/)3=45C「.a8-•ra2_—a4cD.a2*a3—a5

6.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

c.D.

7.如图，D、E、尸分别是△ABC各边中点;，则以下说法错误的是（）

A.△BCE和△OCF的面积相等

B.四边形AEQF是平行四边形

C.若A8=BC,则四边形尸是菱形

D.若/A=90°,则四边形尸是矩形

8.一次函数y=x+〃的图象与无轴交于点8,与反比例函数丫=皿（〃?>0）的图象交于点4

x

（1,m）,且△AOB的面积为1,则根的值是（）

A.1B.2C.3D.4

9.在RtAAfiC中，ZA=90°,A8=6,AC=8,点P是△ABC所在平面内一点，则

布2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（）

A.点P是△ABC三边垂直平分线的交点

B.点尸是AABC三条内角平分线的交点

C.点尸是AABC三条高的交点

D.点P是△ABC三条中线的交点

10.设P（x,yi）,Q（x,”）分别是函数Ci，C2图象上的点，当人时，总有-1W

yi-”W1恒成立，则称函数Ci，C2在aWxWb上是“逼近函数”，aWxWb为“逼近区

间”.则下列结论：

①函数y=x-5,y=3x+2在1WXW2上是“逼近函数”；

②函数y=x-5,y=7-4x在3WxW4上是“逼近函数”；

③04W1是函数-1,y=2?-x的“逼近区间”；

④2«是函数y=x-5,y=f-4x的“逼近区间”.

其中，正确的有（)

A.②③B.①④C.①③D.②④

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，请把答案直接

填写在答题卡上相应的位置.）

11.（2分）分解因式：24-81=.

12.（2分）2021年5月15日我国天间一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次留

下中国印迹，迈出我国星际探测征程的重要一步.目前探测器距离地球约320000000千

米，320000000这个数据用科学记数法可表示为.

13.（2分）用半径为50,圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的

底面半径为.

14.（2分）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对

称：■

15.（2分）一条上山直道的坡度为1：7,沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为

米.

16.（2分）下列命题中，正确命题的个数为.

①所有的正方形都相似

②所有的菱形都相似

③边长相等的两个菱形都相似

④对角线相等的两个矩形都相似

17.（2分）如图，在RtZXABC中，ZBAC=90°,AB=2&,AC=6,点E在线段AC上,

且AE=1,。是线段8C上的一点，连接OE,将四边形A8OE沿直线OE翻折，得到四

边形FGDE,当点G恰好落在线段AC上时，AF=.

B

18.（2分）如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点,

过点C的直线与二次函数y=/的图象交于A、B两点,且CB=3AC,P为CB的中点，

设点P的坐标为P（x,y）（x>0）,写出y关于x的函数表达式为:.

三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤等.）

19.(8分)计算:

(1)|-1|-(-2)3+sin30°；

2

(2)A-^12.

a2a

20.(8分)(1)解方程：(x+1)2-4=0；

-2x+341

（2）解不等式组:

o

21.（8分）已知：如图，AC,相交于点。，AB=DC,NABO=NDCO.

求证：（1）

(2)ZOBC^ZOCB.

22.（8分）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放

在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡

片.求下列事件发生的概率.（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

（1）取出的2张卡片数字相同；

（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”.

23.（8分）某企业为推进全民健身活动，提升员工身体素质，号召员工开展健身锻炼活动,

经过两个月的宣传发动，员工健身锻炼的意识有了显著提高.为了调查本企业员工上月

参加健身锻炼的情况，现从1500名员工中随机抽取200人调查每人上月健身锻炼的次数,

并将调查所得的数据整理如下:

某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表

锻炼次数X0VxW55<x^l010<x^l515VxW2020<rW2525VxW30

（代号）(A)(B)(C)(D)(E)(尸)

频数10a68c246

频率0.05b0.34d0.120.03

某企北员工参加健身锻炼次数的扇形统计图

（2）请把扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）

（3）请估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有多少人?

24.（8分）如图，已知锐角△ABC中，AC=BC.

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作NACB的平分线C。；作△ABC的外接

圆。O;（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若QO的半径为5,则sinB=.（如

5

需画草图，请使用图2）

25.（8分）如图，四边形4BCO内接于00,AC是00的直径，AC与交于点E,PB

切。。于点B.

（1）求证：NPBA=N0BC；

（2）若NP&4=20°,ZACD=40°,求证：/\OAB<^/\CDE.

D,

26.（8分）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会

决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品.现有

经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之

比为4：3.当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件.

（1）求一、二等奖奖品的单价；

（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？

27.（10分）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，直线y=-x+3与x轴交于点B,与y

轴交于点C,二次函数yuM+Zr+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A,点M

为线段上的一个动点，过点例作直线/平行于y轴交8c于点凡交二次函数y=

ax2+2x+c的图象于点E.

（1）求二次函数的表达式；

（2）当以C、E、尸为顶点的三角形与aABC相似时，求线段EF的长度；

（3）已知点N是y轴上的点，若点N、尸关于直线EC对称，求点N的坐标.

28.（10分）己知四边形ABC7）是边长为1的正方形，点E是射线8c上的动点，以AE为

直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AERZA£F=90°,设BE=m.

备用图

（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点、P,A产交CD于点。，连结CR

①当山=」时，求线段CF的长；

3

②在△PQE中，设边QE上的高为〃，请用含机的代数式表示〃，并求〃的最大值；

（2）设过8c的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y,请

直接写出y与加的关系式.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中,

只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.）

1.-1的相反数是()

3

A.-AB.Ac.3D.-3

33

【分析】求一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号.

【解答】解：-上的相反数是」.

33

故选：B.

2.函数y=1中自变量x的取值范围是()

A.x>2B.x22C.x<2D.x#2

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式，解不等式

得到答案.

【解答】解：由题意得：x-2>0,

解得：x>2,

故选：A.

3.已知一组数据：58,53,55,52,54,51,55,这组数据的中位数和众数分别是（）

A.54,55B.54,54C.55,54D.52,55

【分析】根据众数和中位数的定义求解即可.

【解答】解：：55出现的次数最多，

众数为55,

将这组数据按照从小到大的顺序排列：51、52、53、54、55、55、58,

中位数为54,

故选：C.

4.方程组4y"的解是（）

Ix-y=3

x=3

A.h=2B,fC.（x=4D.（x=l

\y=3Iy=2Iy=l\y=4

【分析】将两个方程相加，可消去y,得到x的一元一次方程，从而解得x=4,再将x

=4代入①解出y的值，即得答案.

【解答】解：b4y=52,

lx-y=3②

①+②得：2r=8,

•*»X=4-9

把x=4代入①得：4+y=5,

，y=l,

方程组的解为fx=4.

1y=l

故选：c.

5.下列运算正确的是()

A.c^+a—cPB.(a2)3=a5C.a8-ra2=a4D.a2*a3=«5

【分析】直接利用合并同类项法则以及累的乘方运算法则、同底数暴的乘法、除法运算

法则计算得出答案.

【解答】解：A.J+q,不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；

B.(a2)3=«6,故此选项不合题意；

C.a+/=心，故此选项不合题意；

D.a2,a3=a5,故此选项符合题意.

故选：D.

6.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是()

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选:A.

7.如图，D、E、尸分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（）

A.△8OE和的面积相等

B.四边形/是平行四边形

C.若4B=BC,则四边形尸是菱形

D.若NA=90°,则四边形AED尸是矩形

【分析】根据矩形的判定定理，菱形的判定定理，三角形中位线定理判断即可.

【解答】解：A.连接EF,

'：D.E、f分别是△ABC各边中点，

J.EF//BC,BD=CD,

设EF和BC间的距离为〃，

S^BDE——BD,h,S^DCE=—CD,h,

22

,,St^BDE-S&DCE.

故本选项不符合题意；

B.,:D、E、F分别是△ABC各边中点，

J.DE//AC,DF//AB,

：.DE//AF,DF//AE,

四边形AEDF是平行四边形，

故本选项不符合题意；

C.-：D,E、尸分别是△48C各边中点，

:.DE=1AC,DF=1AB,

22

若AB=BC,则。E=DF,

•••四边形AEDF是平行四边形，

二四边形AEDF是菱形，

故本选项符合题意；

o.；四边形AEDF是平行四边形，

...若N4=90°,则四边形AE3尸是矩形,

故本选项不符合题意；

故选：C.

8.一次函数y=x+〃的图象与x轴交于点8,与反比例函数>=皿（胆>0）的图象交于点4

X

（1,机），且△AOB的面积为1,则根的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】由已知得3（0）,而4（1,m）在一次函数y=x+〃的图象上，可得〃=加

-1,即0）,根据△AOB的面积为1,可列方程』|1-词・机=1,即可解得加

2

=2.

【解答］解：在中，令y=0,得工=-〃，

：.B（-〃，0）,

VA（1,团）在一次函数y=x+〃的图象上，

Am=1+n,BPn—m-1,

：.B（1-m,0）,

■△A03的面积为1,/H>0,

AoB*|y/i|=1,即工|1-\,

22

解得m=2或加=-l（舍去），

•二加=2,

故选：B.

9.在RtA/lBC中，N4=90°,AB=6,AC=8,点P是AABC所在平面内一点，则

而2+/>B2+pc2取得最小值时，下列结论正确的是（）

A.点P是△4BC三边垂直平分线的交点

B.点P是△ABC三条内角平分线的交点

C.点尸是aABC三条高的交点

D.点P是AABC三条中线的交点

【分析】过P作PO_LAC于。，过P作PEJ_AB于E,延长CP交AB于M,延长BP交

4c于N,设AD=PE=x,AE=DP=y,贝ijAP2+CP2+BP2=3(x-2)2+3(y-&)2+2Q0,

33

当x=2,•时，AP1+CP^BP1的值最大，此时AD=PE=2,AE=PD=^-,由©L=2£,

33PDCD

得AM=4,M是A8的中点，同理可得AN=」MC,N为4c中点，即P是△ABC三条中

2

线的交点.

【解答】解：过P作PO-LAC于。，过尸作PE_LAB于E,延长CP交A8于M,延长

BP交AC于N,如图：

VZA=90°,PD±AC,PE±AB,

四边形AEPD是矩形，

设AO=PE=x,AE=DP=y,

为△AE尸中，AP2=x1+y2,

「△C£>P中，CA=(6-x)2+y2,

为△BEP中，BP2=7+(8-y)2,

尸+。尸+8产=7+『+(6-x)2+y2+x2+(8-y)2

=3?-12x+3y2-16>-+100

=3(x-2)2+3(y-旦)2+222,

33

；.x=2,y=2•时，4尸+(7尸+8产的值最大，

3

此时A£>=PE=2,AE=PD=&,

3

VZA=90°,PDVAC,

：.PD//AB,

，AM=4,

：.AM=^AH,即M是AB的中点,

2

同理可得AN=LC,N为AC中点,

2

是aABC三条中线的交点，

故选：D.

10.设P(x,yi),Q(x,”)分别是函数G，C2图象上的点，当aWxWb时，总有-1W

川-”W1恒成立，则称函数Ci，C2在aWxWb上是“逼近函数”，aWxWb为“逼近区

间则下列结论：

①函数y=x-5,y=3x+2在lWx<2上是"逼近函数"；

②函数y=x-5,y=』-4x在3WxW4上是"逼近函数”；

③OWxWl是函数-1,y=2?-x的“逼近区间”；

④24W3是函数)，=x-5,y=7-4x的“逼近区间”.

其中，正确的有()

A.②③B.①④C.①③D.②④

【分析】根据当“WxWb时，总有-iWyi-恒成立，则称函数Ci，C2在“WxWb

上是“逼近函数”，〃WxWb为“逼近区间”，逐项进行判断即可.

【解答】解：①yi-yi=-lx-1,在1WxW2上，当x=l时，yi-”最大值为-9,当x

=2时，yi-”最小值为-11,即-11Wyi-”W-9,故函数y=x-5,y=3x+2在IWx

W2上是“逼近函数”不正确；

②yi--f+5x-5,在3WxW4上，当x=3时，川-”最大值为1,当x=4时，yi

最小值为-1,即故函数y=x-5,y=/-4x在3WxW4上是“逼

近函数”正确；

③yi--f+x-1,在OWxWl上，当》=工时，yi-”最大值为-3,当*=0或彳=

24

1时，y\~yi最小值为-1，即-1Wyi-,当然-1Wyi-I也成立，故OWx

W1是函数y=W-1,y=2x2-x的“逼近区间”正确；

④yi--/+5x-5,在2WxW3上，当x=S时，yi-”最大值为当x=2或x=3

时，yi-)2最小值为1.即1Wyi-故2WxW3是函数y—x-5,y=7-4x的“逼

4

近区间”不正确；

...正确的有②③，

故选：A.

二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，请把答案直接

填写在答题卡上相应的位置.)

11.(2分)分解因式：29-8X=2X(X-2)(X+2).

【分析】先提取公因式入，再对余下的项利用平方差公式分解因式.

【解答】解：2?-8%,

=2x(x2-4),

=2x(x+2)(x-2).

12.(2分)2021年5月15日我国天间一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次留

下中国印迹，迈出我国星际探测征程的重要一步.目前探测器距离地球约320000000千

米，320000000这个数据用科学记数法可表示为3.2X108

【分析】科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相

同.

【解答】解：320000000=3.2X1()8,

故选：3.2X108.

13.(2分)用半径为50,圆心角为1200的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的

底面半径为—改

—3—

【分析】圆锥的底面圆半径为r,根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解.

【解答】解：设圆锥的底面圆半径为，，依题意，得

2-12071X50,

180

解得「=弛.

3

故答案为：50.

3

14.(2分)请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：v=-1

X

答案不唯一.

【分析】根据反比例函数的性质得到％vo,然后取左=-1即可得到满足条件的函数解析

式.

【解答】解：若反比例函数y=Ka是常数，且20）的图象在第二、四象限，贝

X

故火可取-1,此时反比例函数解析式为y=--1.

X

故答案为：y=-上答案不唯一.

X

15.（2分）一条上山直道的坡度为1：7,沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为

此历_米・

【分析】设上升的高度为x米，根据坡度的概念得到水平距离为7x米，根据勾股定理列

出方程，解方程得到答案.

【解答】解：设上升的高度为x米，

•.•上山直道的坡度为1：7,

二水平距离为7x米，

由勾股定理得:?+（7x）2=10（）2,

解得：xi=10\/5，X2--10V2（舍去），

故答案为：10料.

16.（2分）下列命题中，正确命题的个数为1.

①所有的正方形都相似

②所有的菱形都相似

③边长相等的两个菱形都相似

④对角线相等的两个矩形都相似

【分析】利用相似形的定义分别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：①所有的正方形都相似，正确，符合题意；

②所有的菱形都相似，错误，不符合题意；

③边长相等的两个菱形都相似，错误，不符合题意；

④对角线相等的两个矩形都相似，错误，不符合题意，

正确的有1个，

故答案为：1.

17.（2分）如图，在Rt/Vl8c中，ZBAC=90°，AB=2®,AC=6,点E在线段AC上,

且4E=1,。是线段BC上的一点，连接DE,将四边形ABOE沿直线OE翻折，得到四

2&

边形尸G£>E,当点G恰好落在线段4c上时，AF=

~3~

B

【分析】由折叠的性质可得AB=FG=2M，AE=EF=\,ZBAC=ZEFG=W,在

RtZsEFG中，由勾股定理可求EG=3,由锐角三角函数可求EH,Z/F的长，在Rt/XAHF

中，由勾股定理可求A尸.

【解答】解：如图，过点尸作"/L4C于”，

♦.•将四边形ABOE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE,

:.AB=FG=2AE=EF=1,/BAC=/EFG=90。，

£G~VEF2+FG2~^1+8~3,

VsinZFEG=i^-=I^-,

_EFEG

.HF2加

••=,

13

：.HF=2^,

3

VCOSZFEG=-^H=-5L.

EFEG

••EH二—1,

13

.-.£//=A,

3

：.AH=AE+EH=.^-,

3

,，MF=VAH2+HF2=

故答案为：空a.

3

18.(2分)如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点C为)，轴正半轴上的一个动点,

过点C的直线与二次函数)，=/的图象交于A、B两点,且C8=3AC,P为的中点，

设点P的坐标为P(%y)(x>0),写出y关于x的函数表达式为：尸等.

【分析】过4作轴于。，过8作BE_Ly轴于E,XCB=3AC,得CE=3C£),BE

=34。，设A£>=M,则BEUS"?,A(-m,m2),B(3m,9/n2),可得C(0,3m2),而

P为CB的中点，故P(g〃?，6m2),即可得)，=旦』.

23

【解答】解：过4作AOLy轴于。，过8作轴于E,如图：

•.•AQ_Ly轴，BE_Ly轴，

J.AD//BE,

•AC=CD=ADt

*"BCCEBE'

；CB=3AC,

：.CE=3CD,BE=3AD,

设AO=m,贝ijBE=3/w,

•••A、8两点在二次函数y=7的图象上,

.'.A(-tn,m2),B(3m,9m2).

2

・・・。。=诡OE=9mf

，EQ=8加2,

而CE=3CD,

：.CD=2m^,0C=3机2,

：.C(0,3m2),

••,P为CB的中点，

'.P(Sn,6m2),

2

又已知P(x,y),

(3

.x节m

,y=6m2

.,.〉=冬？；

3

故答案为：y=&2.

3

三、解答题(本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤等.)

19.(8分)计算：

⑴|-(-2)3+sin30°；

2

(2)A-a+8.

a2a

【分析】(1)根据绝对值的意义，乘方的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出

答案.

(2)根据分式的加减运算法则即可求出答案.

【解答】解：(1)原式=』+8+工

22

=1+8

=9.

(2)原式=_L-三出

2a2a

--a

27

20.(8分)(1)解方程：(x+1)2-4=0；

'-2x+341

(2)解不等式组：..

x-K—x+1

o

【分析】(1)利用直接开平方求解即可.

(2)分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.

【解答】解：(1),/(x+1)2-4=0,

(x+1)2=4,

，x+l=±2,

解得：X1=1,X2=-3.

'-2x+34l①

(2)八八，

xT<卷+1②

由①得，x2l,

由②得，x<3,

故不等式组的解集为：lWx<3.

21.(8分)已知：如图，AC,08相交于点O,AB=DC,ZABO=ZDCO.

求证：(1)△ABOQXDCO；

(2)ZOBC=ZOCB.

【分析】(1)由已知条件，结合对顶角相的可以利用AAS判定△AB。四△OCO；

(2)由等边对等角得结论.

【解答】证明：(1),：ZAOB=ZCOD,

NABO=NDCO,

AB=DC,

在△AB。和△CCO中,

，ZAOB=ZCOD

<ZABO=ZDCO>

AB=DC

/./\ABO^/\DCO(AAS)；

（2）由（1）知，

：.OB=OC

：./OBC=NOCB.

22.（8分）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放

在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡

片.求下列事件发生的概率.（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

（1）取出的2张卡片数字相同；

（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”.

【分析】（1）画树状图，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相同的结果有4

种，再由概率公式求解即可；

（2）由（1）可知，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数

字为“3”的结果有7种，再由概率公式求解即可.

【解答】解：（1）画树状图如图：

1234123412341234

共有16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相同的结果有4种，

...取出的2张卡片数字相同的概率为_£=」；

164

（2）由（1）可知，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数

字为“3”的结果有7种，

，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的概率为工.

16

23.（8分）某企业为推进全民健身活动，提升员工身体素质，号召员工开展健身锻炼活动，

经过两个月的宣传发动，员工健身锻炼的意识有了显著提高.为了调查本企业员工上月

参加健身锻炼的情况，现从1500名员工中随机抽取200人调查每人上月健身锻炼的次数,

并将调查所得的数据整理如下：

某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表

锻炼次数X0V启55<x^l010«5154W2020<rW2525VM30

（代号）(A)(B)(C)(£»(E)(尸)

频数10a68c246

频率0.05b0.34d0.120.03

某企北员工参加健身锻炼次数的扇形统计图

(2)请把扇形统计图补充完整；(只需标注相应的数据)

(3)请估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有多少人？

【分析】(1)根据8组所占的百分比是21%,即可求得”的值；

(2)根据其他各组的频率求出。组的频率得出C组、。组所占的百分比，补全扇形统

计图即可.

(3)利用总人数1500乘以对应的频率即可求得.

【解答】解：(1)a=200X21%=42(人)，

故答案为：42；

(2)/?=21%=0.21,

C组所占的百分比c=0.34=34%,

£)组所占的百分比是:d=\-0.05-0.21-0.34-0.12-0.03=0.25=25%,

扇形统计图补充完整如图：

某企业员工参加健身锻炼次数的扇形统计图

(3)估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有1500X(0.34+0.25+0.12+0.03)

=1110(人).

答：估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有1110人.

24.（8分）如图，已知锐角△ABC中，AC=BC.

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作NACB的平分线CD；作△ABC的外接

圆。O;（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若AB=壁，OO的半径为5,则sinB=A.（如需画草图，

5-5-

请使用图2）

【分析】（1）利用尺规作出/ACB的角平分线8,作线段AC的垂直平分线交C/）于点

O,以。为圆心，OC为半径作OO即可.

（2）连接OA,设射线C。交A8于E.利用勾股定理求出OE,EC,再利用勾股定理求

出5C,可得结论.

【解答】解：（1）如图，射线C。，即为所求.

(2)连接04,设射线CO交A8于E.

"：CA=CB,CD平分NACB,

：.CDVAB,AE=EB=2^,

5_______

'O£=V0A2-AE2=^52-(-^)2=y

：.CE=OC+OE=5+1=^,

55

2=8,

.•.AC=BC=、AE2+EC2=\(•)2+

32

故答案为：1.

5

25.(8分)如图，四边形ABC。内接于。。，AC是。。的直径，AC与8。交于点E,PB

切。。于点8.

(1)求证：NPBA=NOBC；

(2)若NPBA=20°,ZACD=40°,求证：AOAB^/\CDE.

PB

【分析】(1)根据圆周角定理和切线的性质证得/478+/84?=/尸肥+/430=90°,

结合等腰三角形的性质即可证得结论；

(2)由三角形外角的性质求出NAOB=NACB+N。8c=40°,得至I」AOB=NACD,由

圆周角的性质得到NCZ)E=NBA。，根据相似三角形的判定即可证得△OABS/\C£>E.

【解答】证明：(1)：AC是。。的直径，

/.ZABC=90°,

N4C8+NBAC=90°,

:PB切。O于点、B,

.,.ZPBA+ZABO=90Q,

'：OA=OB=OC,

：.NBAO=NABO,ZOBC=NACB,

：.NOBC+NABO=NPBC+NABO=90°,

：.NPBA=NOBC；

(2)由(1)知，ZPBA^ZOBC^ZACB,

：.ZOBC=ZACB=20°,

AZAOB=ZACB+ZOBC=200+20°=40°,

VZACD=40°,

ZAOB^ZACD,

VBC=BC>

二NCDE=NCDB=NBAC=NBAO,

:.l\OABsXCDE.

26.（8分）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会

决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品.现有

经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之

比为4：3.当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件.

（1）求一、二等奖奖品的单价；

（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？

【分析】（1）设一等奖奖品单价为4x元，则二等奖奖品单价为3x元，根据数量=总价

・单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入4x,

3x中即可求出结论；

（2）设购买一等奖奖品件，二等奖奖品〃件，利用总价=单价X数量，即可得出关于

切，〃的二元一次方程，结合，小〃均为正整数且4WmW10,即可得出各购买方案.

【解答】解：（1）设一等奖奖品单价为4x元，则二等奖奖品单价为3x元，

依题意得：600+1275-600=25）

4x3x

解得：x=15,

经检验，x=15是原方程的解，且符合题意，

.*.4x=60,3x=45.

答:一等奖奖品单价为60元，二等奖奖品单价为45元.

（2）设购买一等奖奖品加件，二等奖奖品〃件，

依题意得：60m+45〃=1275,

・M—85-4m

3

•；机，〃均为正整数，且4忘机＜10,

.Jm=4或［m=7或(m=10,

|n=23ln=19ln=15

•••共有3种购买方案，

方案1：购买4件一等奖奖品，23件二等奖奖品；

方案2：购买7件一等奖奖品，19件二等奖奖品；

方案3：购买10件一等奖奖品，15件二等奖奖品.

27.(10分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=-x+3与x轴交于点8,与y

轴交于点C,二次函数的图象过8、C两点，且与x轴交于另一点A,点M

为线段。8上的一个动点，过点M作直线/平行于y轴交8c于点尸，交二次函数y=

ax2+2x+c的图象于点E.

(1)求二次函数的表达式；

(2)当以C、E、尸为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段E尸的长度；

(3)已知点N是y轴上的点，若点N、尸关于直线EC对称，求点N的坐标.

【分析】(1)由y=-x+3得B(3,0),C(0,3),代入丫=取2+2"。即得二次函数的

表达式为y—~f+2%+3；

(2)由y=-f+2x+3得4(-1,0),OB=OC,AB=4,BC=3®,故

=/CEE=45°,以C、E、尸为顶点的三角形与△ABC相似，8和尸为对应点，设E(如

-/+2〃?+3),则尸(处-加+3),EF=-m2+3m,①△ABCs△CEE时，地_

CF

=坦，可得②△ABCS^EFC时，姻_=区，可得即=22；

EF4EFCF9

(3)连接NE,由点N、F关于直线EC对称，可得CF=EF=CN,故-〃,+3机=扬n

解得杨=0（舍去）或〃?=3-&,即得CN=CF=&，"=3M-2,N（0,35/2+1

【解答】解：（1）在y=-x+3中，令x=0得y=3,令y=0得x=3,

：.B(3,0),C(0,3),

把8(3,0),C(0,3)代入丫=/+2¥+(?得:

(O=9a+6+c,解得卜=-1,

I3=cIc=3

二次函数的表达式为y=-/+2x+3;

(2)如图：

在y=-7+2计3中，令y=0得x=3或x=-1,

・・・A(-1,0),

YB(3,0),C(0,3),

：.OB=OC,AB=4,BC=3&,

；・NABC=NMFB=NCFE=45°,

・••以C、E、尸为顶点的三角形与△ABC相似，8和尸为对应点,

设E(加，-加2+2m+3),则尸(m,-m+3),

：.EF=(-机2+2m+3)(-〃?+3)=-.3卬6=正+产年，

①△ABCs/XCFE时，酗=弛,

CFEF

.4-372

••__—----------,

2

v2m-m+3m

解得机=2■或机=0(舍去)，

2

：.EF=9,

4

②△ABCsaEFC时，

EFCF

・4_372

••~._-9

-m2+3mv2m

解得机=0(舍去)或加=至_,

3

:.EF=21,

9

综上所述，Er=9或空.

49

：./NCE=4FCE,CF=CN,

尸〃y轴，

：.ZNCE=ZCEF,

：.NFCE=NCEF,

：.CF=EF=CN,

由(2)知：

设E(m,-m2+2m+3),则FGn,-m+3),EF~(-〃,+2，*+3)-(-/n+3)=-W2+3/M,

cF=v^m,

-m2+3in=y/2m,解得机=0(舍去)或加=3-血，

:.CN=CF=&m=3近-2,

：.N(0,3V2^1).

28.(10分)已知四边形ABC。是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为

直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AE尸，NAE尸=90°,设BE=m.

（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点、P,A产交C。于点0,连结C凡

①当山=」时，求线段CF的长；

3

②在△PQE中，设