南昌一中2022-2023学年高二上学期期中数学试题（解析版）

第1页/共17页南昌一中2022-2023学年上学期高二期中考试数学试卷考试时间：120分钟总分：150分一．单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.在正方体中，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正方体的结构特征结合向量相等及向量线性运算即可得解.【详解】如图，在正方体中，，，所以，.故选：B2.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为故选：C3.已知直线：与直线：垂直，则实数的值为（）A. B.C.或 D.不存在【答案】C【解析】【分析】根据直线垂直的关系即得.【详解】由两直线垂直可得，解得或.故选：C.4.已知椭圆的离心率为，焦点是，则椭圆方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出长半轴长，进而求出短半轴长作答.【详解】由椭圆的焦点是，得椭圆的半焦距，由离心率为，得，即，因此椭圆的短半轴，所以椭圆方程为.故选：A5.已知双曲线的一个焦点是，则实数的值是（）A.1 B.-1 C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据焦点坐标判断焦点所在轴,再由计算即可.【详解】由焦点坐标，知焦点在轴上，所以，可得双曲线的标准方程为，由可得，可得.故选:.6.圆在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】容易知道点为切点，圆心，设切线斜率为k，从而，由此即可得解.【详解】将圆的方程化为标准方程得，∵点在圆上，∴点P为切点．从而圆心与点P的连线应与切线垂直．又∵圆心为，设切线斜率为k，∴，解得．∴切线方程为．故选：D.7.已知抛物线的焦点为，圆（）经过点F，且圆心在抛物线上，则实数等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出焦点及圆心的坐标，再根据给定信息列出方程组并求解作答.【详解】抛物线的焦点，圆的圆心，依题意，，解得，而，则，所以实数等于4.故选：B8.已知双曲线的左右焦点分别为，高为的梯形的两顶点A，B分别在双曲线的左、右支上，且，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，，在和中，利用余弦定理得解.【详解】解：由梯形的高为得到，设，，在中，，因此，即，①在中，，因此，即，②①②相减得．故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.设P是椭圆上的动点，则（）A.点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为B.点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为C.点P到左焦点距离的最大值为D.点P到左焦点距离的最大值为【答案】AC【解析】【分析】利用椭圆的定义可判断A，B选项，离左焦点距离最远的点为右顶点，可判断C,D选项【详解】由题意得，，由椭圆的定义可知，P到该椭圆的两个焦点的距离之和为，故A正确，B错误；又，所以，即，到左焦点距离的最大值为，故选：AC10.已知双曲线C：，则（）A.双曲线C与圆有3个公共点B.双曲线C的离心率与椭圆的离心率的乘积为1C.双曲线C与双曲线有相同的渐近线D.双曲线C的一个焦点与抛物线的焦点相同【答案】BCD【解析】【分析】由圆锥曲线的几何性质直接可得.【详解】解：作图可知A不正确；由已知得双曲线C中，，，，所以双曲线C的焦点为，顶点为，渐近线方程为，离心率为，易知选项BCD正确．故选：BCD11.已知是抛物线内一动点，直线过点且与抛物线相交于两点，则下列说法正确的是（）A.时，最小值为B.的取值范围是C.当点是弦的中点时，直线的斜率为D.当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有【答案】ABD【解析】【分析】设出直线AB的方程，与C的方程联立，结合抛物线定义计算判断A；求出直线与C的交点纵坐标判断B；由点A，B的坐标，求出斜率判断C；求出弦AB的中垂线方程判断D作答.【详解】抛物线的焦点，准线方程为，对于A，当时，点与重合，设直线的方程为，，由消去x并整理得，则，，当且仅当时取等号，所以当时，的最小值为，A正确；对于B，显然点在直线上，由选项A知，当时，可得，由点在抛物线内，知，所以的取值范围是，B正确；对于C，当点是弦的中点时，设，，若，直线的斜率不存在，若，则直线的斜率，C错误；对于D，由选项C知，当时，线段的中垂线斜率为，方程为，即，此直线过定点，当时，线段的中垂线为，过点，所以线段的中垂线恒过定点，即当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有，D正确.故选：ABD12.以下四个命题表述正确的（）A.圆上有4个点到直线：的距离都等于1B.已知，，三点，动点不在轴上，且满足，则直线的斜率取值范围是C.圆：与圆：恰有一条公切线，则D.圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，为切点，则直线经过定点【答案】BD【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系转化为代数式求解.【详解】(1)圆心到直线：的距离，而圆的半径等于2，所以圆上只有3个点到直线距离等于1，所以A错误;(2)设点，由得，化简得（），设过点且与（）相切直线方程为即，则有，解得，因点在圆（）上，所以的斜率取值范围是，所以B正确；(3)由题可知解得，所以C错误；(4)因为点为直线上，所以设，圆：的圆心为，所以中点坐标为，，所以以为直径的圆方程为，即，圆与圆的公共弦直线方程为，即令，则，解得，所以直线过定点,所以D正确.故选:BD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应的横线上）13.在空间坐标系中，点关于xOy平面的对称点的坐标为_________.【答案】【解析】【分析】根据点关于坐标平面对称的特征求解作答.【详解】点关于xOy平面的对称点的坐标为.故答案为：14.已知点与点关于直线对称，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】将线段的中点代入直线的方程中可得答案.【详解】因为、，所以的中点为，因为点与点关于直线对称，所以的中点在此直线上，所以，即，故答案为：15.已知平面上两定点A、B，且，动点P满足，若点P总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则负数的最大值为_______．【答案】##-0.75【解析】【分析】利用解析方法，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，得到动点P点的轨迹方程，分和两种情况讨论，当时，利用两圆的位置关系得到关于的不等式，进而求解得到的取值范围.【详解】以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则．设，且动点P满足，即，则，当时，满足题意；当时，点P在以原点为圆心，为半径的圆上，同时点P总不在以点B为圆心，为半径的圆内，

即圆与圆相离或外切内切或内含，所以或，解得或（舍去），所以负数的最大值为．故答案为：.16.已知抛物线上三点满足：的重心是，则直线的斜率之和为______________．【答案】##【解析】【分析】设出点的坐标，利用三角形重心坐标公式及斜率坐标公式求解作答.【详解】设抛物线上三点，由的重心是，得，即有，直线的斜率分别为，，所以直线的斜率之和.故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0交点．若点A(5,0)到l的距离为3，求直线l的方程．【答案】4x－3y－5＝0或x＝2【解析】【分析】通过直线联立得交点坐标，分直线斜率存在和不存在两种情况设直线方程，进而根据点到直线的距离公式列方程求解即可.【详解】方法一联立得交点P(2,1)，当直线斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，∴＝3，解得k＝，∴l的方程为y－1＝(x－2)，即4x－3y－5＝0．当直线斜率不存在时，直线x＝2也符合题意．∴直线l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2．方法二经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或，∴直线l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2．【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，点到直线的距离公式，属于基础题.18.已知两圆.求：（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用圆系方程直接求出相交弦所在直线方程；（2）通过半弦长，半径，弦心距的直角三角形，求出半弦长，即可得到公共弦长．【详解】（1）联立两圆的方程：；两式相减得：，所以两圆的公共弦所在直线的方程为．（2）由题可知，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以公共弦长为：．点睛】本题是中档题，考查两个圆的位置关系，相交弦所在的直线方程，公共弦长的求法，考查计算能力，高考作为小题出现．19.已知抛物线的焦点为，圆的圆心在抛物线上，且过点，若圆被轴截得的弦长为，求圆的方程．【答案】或【解析】【分析】圆的圆心在抛物线上，且过点可知圆半径长即为焦半径的长，结合弦长公式，即可求出圆形半径，则由圆的标准方程即可求解答案.【详解】抛物线的焦点为,焦点为，圆的圆心在抛物线上，且过点,圆的半径,,解得，可得圆的方程为或.20.已知双曲线的左、右焦点分别为，与抛物线：的焦点重合，双曲线与抛物线的交点分别为，．（1）求；（2）求双曲线的实轴长．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出点的横坐标，再利用对称性求解作答.（2）由（1）的信息求出，再利用双曲线定义计算作答.小问1详解】抛物线：的焦点，准线方程为，设，由，得，解得，，由抛物线、双曲线的对称性知，点关于x轴对称，所以.【小问2详解】由（1）知，，，所以双曲线的实轴长.21.如图，已知椭圆E：的离心率为，A，B是椭圆的左右顶点，P是椭圆E上异于A，B的一个动点，直线过点B且垂直于x轴，直线AP与交于点Q，圆C以BQ为直径.当点P在椭圆短轴端点时，圆C的面积为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设圆C与PB的另一交点为点R，记△AQR的面积为，△BQR的面积为，试判断是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）是定值，.【解析】【分析】（1）由离心率为，及当点P在椭圆短轴端点时，圆C的面积为，列方程组解得a，b，即可得出答案；（2）设P（x0，y0），则，写出直线AP的方程，令x＝2时，得Q得坐标，由QR⊥BR，推出kQR，写出直线RQ的方程，进而得A，B两点到直线RQ的距离分别为d1，d2，推出，即可得出答案．【详解】（1）由已知，，当点P在短轴端点时，由△AOP，此时圆C的面积为，得b＝1，a＝2，故椭圆的标准方程为：；（2）设，则①.A，B的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，直线AP；，令，则，又，点R在圆上，所以QR⊥BR，因此，所以直线RQ的方程为：，即，由①式得到，代入直线RQ的方程，化简为：，设A，B两点到直线RQ的距离分别为，则，为定值.【点睛】关键点点睛：点R在圆上，得QR⊥BR，由，得，得出直线RQ的方程.22.已知的两顶点坐标，．（1）求动点的轨迹的方程；（2）不垂直于轴的动直线与轨迹相交于两点，定点，若直线关于轴对称，求面积的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）变形给定等式，利用正弦定理结合椭圆的定义确定轨迹，再求出轨迹方程作答.（2）联立直线与椭圆的方程，由韦达定理，结合斜率公式可得直线经过定点，进而由面积公式，结合对勾函数的性质即可求解.【小问1详解】在中，由，得，由正弦定理得，因此动点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆（点外），显然此椭圆半焦距，短半轴长，所以动点的轨迹的方程为．【小问2详解】依题意，直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，点，由消去x并整理得：，，化为，，由直线关于轴对称，得直线的斜率互为相反数，即，且，则，即，于是