新高考数学一轮复习 第九章 统计、统计案例 课时作业59 变量间的相关关系、统计案例（含解析）-人教版高三数学试题

课时作业59变量间的相关关系、统计案例一、选择题1．某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：月份123456人均销售额658347利润率(%)12.610.418.53.08.116.3根据表中数据，下列说法正确的是(A)A．利润率与人均销售额成正相关关系B．利润率与人均销售额成负相关关系C．利润率与人均销售额成正比例函数关系D．利润率与人均销售额成反比例函数关系解析：画出利润率与人均销售额的散点图，如图．由图可知利润率与人均销售额成正相关关系．故选A.2．下列说法错误的是(B)A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好解析：根据相关关系的概念知A正确；当r>0时，r越大，相关性越强，当r<0时，r越大，相当性越弱，故B不正确；对于一组数据的拟合程度的好坏的评价，一是残差点分布的带状区域越窄，拟合效果越好，二是R2越大，拟合效果越好，所以R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好，C、D正确，故选B.3．下图是某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图(例如：第3季度内，洗衣机销量约占20%，电视机销量约占50%，电冰箱销量约占30%)．根据该图，以下结论中一定正确的是(C)A．电视机销量最大的是第4季度B．电冰箱销量最小的是第4季度C．电视机的全年销量最大D．电冰箱的全年销量最大解析：对于A，对比四个季度中，第4季度所销售的电视机所占百分比最大，但由于销售总量未知，所以销量不一定最大．对于B，理由同A.在四个季度中，电视机在每个季度销量所占百分比都最大，即在每个季度销量都是最多的，所以全年销量最大的是电视机，C正确，D错误．4．为了解某商品销售量y(件)与其单价x(元)的关系，统计了(x，y)的10组值，并画成散点图如图，则其回归方程可能是(B)A.eq\o(y,\s\up6(^))＝－10x－198 B.eq\o(y,\s\up6(^))＝－10x＋198C.eq\o(y,\s\up6(^))＝10x＋198 D.eq\o(y,\s\up6(^))＝10x－198解析：由图象可知回归直线方程的斜率小于零，截距大于零，故选B.5．广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表(单位：万元)广告费23456销售额2941505971由表可得回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝10.2x＋eq\o(a,\s\up6(^))，据此模拟，预测广告费为10万元时的销售额约为(C)A．101.2B．108.8C．111.2D．118.2解析：由题意得：eq\x\to(x)＝4，eq\x\to(y)＝50，∴50＝4×10.2＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝9.2，∴回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝10.2x＋9.2，∴当x＝10时，eq\o(y,\s\up6(^))＝10.2×10＋9.2＝111.2，故选C.6．某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.6x＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为(D)A．66%B．67%C．79%D．84%解析：因为y与x具有线性相关关系，满足回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.6x＋1.2，该城市职工人均工资为x＝5，所以可以估计该城市的职工人均消费水平y＝0.6×5＋1.2＝4.2，所以可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为eq\f(4.2,5)＝84%.7．千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，某校积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：年份/届2014201520162017学科竞赛获省级一等奖及以上的学生人数x51495557被清华、北大等世界名校录取的学生人数y10396108107根据上表可得回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))为1.35，该校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上的学生人数为63，据此模型预测该校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为(B)A．111B．117C．118D．123解析：因为eq\x\to(x)＝53，eq\x\to(y)＝103.5，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝103.5－1.35×53＝31.95，所以回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.35x＋31.95，当x＝63时，代入解得eq\o(y,\s\up6(^))＝117，故选B.8．(多选题)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.非一线一线总计愿生452065不愿生132235总计5842100由K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，得K2＝eq\f(100×45×22－20×132,65×35×58×42)≈9.616.参照下表，P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828下列说法中，正确的结论是(AC)A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”解析：∵K2≈9.616>6.635，∴A、C都正确．二、填空题9．经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.245x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．解析：x变为x＋1，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.245(x＋1)＋0.321＝0.245x＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．10．(多填题)在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)学生的编号i12345数学成绩x8075706560物理成绩y7066686462则样本点中心为(70,66)，现已知其线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.36x＋eq\o(a,\s\up6(^))，根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为73.(四舍五入到整数)解析：eq\x\to(x)＝eq\f(60＋65＋70＋75＋80,5)＝70，eq\x\to(y)＝eq\f(62＋64＋66＋68＋70,5)＝66，所以样本点中心为(70,66)，且66＝0.36×70＋eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))＝40.8，即线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.36x＋40.8.当x＝90时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.36×90＋40.8＝73.2≈73.11．已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：学生编号12345678数学成绩6065707580859095物理成绩7277808488909395给出散点图如下：根据以上信息，判断下列结论：①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高．其中正确的个数为1.解析：由散点图知，各点都分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误；若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高，故③错误．综上，正确的个数为1.12．为了研究工人的日平均工作量是否与年龄有关，从某工厂抽取了100名工人，且规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，列出的2×2列联表如下：生产能手非生产能手总计25周岁以上25356025周岁以下103040总计3565100有90%以上的把握认为“工人是否为‘生产能手’与工人的年龄有关”.P(K2≥k)0.100.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828解析：由2×2列联表可知，K2＝eq\f(100×25×30－10×352,40×60×35×65)≈2.93，因为2.93>2.706，所以有90%以上的把握认为“工人是否为‘生产能手’与工人的年龄有关”．三、解答题13．(2019·全国卷Ⅰ)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：(1)由调查数据知，男顾客中对该商场服务满意的比率为eq\f(40,50)＝0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为eq\f(30,50)＝0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.(2)K2＝eq\f(100×40×20－30×102,50×50×70×30)≈4.762.由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．14．某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表：月份123456广告投入量/万元24681012收益/万元14.2120.3131.831.1837.8344.67他们用两种模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\i\su(i＝1,6,x)iyieq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)7301464.24364(1)根据残差图，比较模型①，②的似合效果，应选择哪个模型？并说明理由．(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：(ⅰ)剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的回归方程；(ⅱ)广告投入量x＝18时，(1)中所选模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计分别为：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解：(1)应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高．(2)(ⅰ)剔除异常数据，即3月份的数据后，得eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(7×6－6)＝7.2，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(30×6－31.8)＝29.64.eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1464.24－6×31.8＝1273.44，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝364－62＝328.eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(1273.44－5×7.2×29.64,328－5×7.2×7.2)＝eq\f(206.4,68.8)＝3，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝29.64－3×7.2＝8.04.所以y关于x的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝3x＋8.04.(ⅱ)所x＝18代入(ⅰ)中所求回归方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝3×18＋8.04＝62.04，故预报值为62.04万元．15．“工资条里显红利，个税新政入民心”．随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段．某IT从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在26岁～35岁(2009年～2018年)之间各年的月平均收入y(单位：千元)的散点图：(1)由散点图知，可用回归模型y＝blnx＋a拟合y与x的关系，试根据有关数据建立y关于x的回归方程；(2)如果该IT从业者在个税新政下的专项附加扣除为3000元/月，试利用(1)的结果，将月平均收入视为月收入，根据新旧个税政策，估计他36岁时每个月少缴纳的个人所得税．附注：1.参考数据：eq\i\su(i＝1,10,x)i＝55，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝155.5，eq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\x\to(x))2＝82.5，eq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝94.9，eq\i\su(i＝1,10,t)i＝15.1，eq\i\su(i＝1,10,)(ti－eq\x\to(t))2＝4.84，eq\i\su(i＝1,10,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝24.2，其中ti＝lnxi；取ln11＝2.4，ln36＝3.6.2．参考公式：回归方程v＝bu＋a中斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(u).3．新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及税率表如下：旧个税税率表(个税起征点3500元)新个税税率表(个税起征点5000元)缴税级数每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点税率(%)每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点－专项附加扣除税率(%)1不超过1500元的部分3不超过3000元的部分32超过1500元至4500元的部分10超过3000元至12000元的部分103超过45