新高考数学二轮复习 专题限时集训6 直线与圆、抛物线 椭圆 双曲线（含解析）-人教版高三数学试题

专题限时集训(六)直线与圆、抛物线椭圆双曲线1．[多选](2020·新高考全国卷Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1()A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为eq\r(n)C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±eq\r(－\f(m,n))xD．若m＝0，n>0，则C是两条直线ACD[对于选项A，∵m>n>0，∴0<eq\f(1,m)<eq\f(1,n)，方程mx2＋ny2＝1可变形为eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵m＝n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝eq\f(1,n)，该方程表示半径为eq\r(\f(1,n))的圆，错误；对于选项C，∵mn<0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝±eq\r(－\f(m,n))x，正确；对于选项D，∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝±eq\r(\f(1,n))，该方程表示两条直线，正确．综上选ACD．]2．(2020·全国卷Ⅱ)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为()A．eq\f(\r(5),5)B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(3\r(5),5)D．eq\f(4\r(5),5)B[因为圆与两坐标轴都相切，点(2，1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为eq\f(|2×1－1－3|,\r(22＋－12))＝eq\f(2\r(5),5)或eq\f(|2×5－5－3|,\r(22＋－12))＝eq\f(2\r(5),5)，故选B．]3．(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝()A．2B．3C．6D．9C[法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以yeq\o\al(2,A)＝18p.又点A到焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离为12，所以eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(p,2)))\s\up10(2)＋y\o\al(2,A))＝12，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(p,2)))eq\s\up10(2)＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6.故选C．法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－eq\f(p,2)的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以eq\f(p,2)＝12－9＝3，解得p＝6.故选C．]4．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8C[设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，抛物线的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，∴不妨设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5))).∵点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))在圆x2＋y2＝r2上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(16,p2)＋8＝r2，,\f(p2,4)＋5＝r2，))∴eq\f(16,p2)＋8＝eq\f(p2,4)＋5，∴p＝4(负值舍去)．∴C的焦点到准线的距离为4.]5．(2020·全国卷Ⅰ)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为()A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0D[法一：由⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0①，得⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1，1)．如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为eq\f(1,2)|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小．因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．又|PA|＝eq\r(|PM|2－|AM|2)＝eq\r(|PM|2－4)，所以只需直线2x＋y＋2＝0上的动点P到M的距离最小，其最小值为eq\f(|2＋1＋2|,\r(5))＝eq\r(5)，此时PM⊥l，易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋2＝0，,x－2y＋1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0，))所以P(－1，0)．易知P，A，M，B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up10(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))eq\s\up10(2)，即x2＋y2－y－1＝0②，由①②得，直线AB的方程为2x＋y＋1＝0，故选D．法二：因为⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1，1)．连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为eq\f(1,2)|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小．因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．又|PA|＝eq\r(|PM|2－|AM|2)＝eq\r(|PM|2－4)，所以只需|PM|最小，此时PM⊥l.因为PM⊥AB，所以l∥AB，所以kAB＝－2，排除A，C．易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋2＝0，,x－2y＋1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0，))所以P(－1，0)．因为点M到直线x＝－1的距离为2，所以直线x＝－1过点P且与⊙M相切，所以A(－1，1)．因为点A(－1，1)在直线AB上，故排除B．故选D．]6．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为eq\f(2,3)的直线与C交于M，N两点，则eq\o(FM,\s\up7(→))·eq\o(FN,\s\up7(→))＝()A．5B．6C．7D．8D[法一：过点(－2，0)且斜率为eq\f(2,3)的直线的方程为y＝eq\f(2,3)(x＋2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)x＋2，,y2＝4x，))得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以eq\o(FM,\s\up7(→))＝(0，2)，eq\o(FN,\s\up7(→))＝(3，4)，所以eq\o(FM,\s\up7(→))·eq\o(FN,\s\up7(→))＝8.故选D．法二：过点(－2，0)且斜率为eq\f(2,3)的直线的方程为y＝eq\f(2,3)(x＋2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)x＋2，,y2＝4x，))得x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＞0，y2＞0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1，0)，所以eq\o(FM,\s\up7(→))＝(x1－1，y1)，eq\o(FN,\s\up7(→))＝(x2－1，y2)，所以eq\o(FM,\s\up7(→))·eq\o(FN,\s\up7(→))＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4eq\r(x1x2)＝4－5＋1＋8＝8.故选D．]7．(2020·全国卷Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为()A．eq\f(7,2)B．3C．eq\f(5,2)D．2B[法一：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16.不妨令点P在双曲线C的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，又|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝6，则Seq\s\do6(△PF1F2)＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×6＝3，故选B．法二：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以Seq\s\do6(△PF1F2)＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))＝eq\f(3,tan45°)＝3(其中θ＝∠F1PF2)，故选B．]8．(2020·全国卷Ⅲ)若直线l与曲线y＝eq\r(x)和圆x2＋y2＝eq\f(1,5)都相切，则l的方程为()A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋eq\f(1,2)C．y＝eq\f(1,2)x＋1 D．y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)D[易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，则eq\f(|b|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(5),5)①，设直线l与曲线y＝eq\r(x)的切点坐标为(x0，eq\r(x0))(x0＞0)，则y′|x＝x0＝eq\f(1,2)x0－eq\f(1,2)＝k②，eq\r(x0)＝kx0＋b③，由②③可得b＝eq\f(1,2)eq\r(x0)，将b＝eq\f(1,2)eq\r(x0)，k＝eq\f(1,2)x0－eq\f(1,2)代入①得x0＝1或x0＝－eq\f(1,5)(舍去)，所以k＝b＝eq\f(1,2)，故直线l的方程为y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2).]9．(2016·全国卷Ⅰ)已知F1，F2是双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，则E的离心率为()A．eq\r(2)B．eq\f(3,2)C．eq\r(3)D．2A[法一：如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝eq\f(b2,a).又sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，所以eq\f(|MF1|,|MF2|)＝eq\f(1,3)，即|MF2|＝3|MF1|.由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝eq\f(2b2,a)，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).法二：如图，因为MF1⊥x轴，所以|MF1|＝eq\f(b2,a).在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)得tan∠MF2F1＝eq\f(\r(2),4).所以eq\f(|MF1|,2c)＝eq\f(\r(2),4)，即eq\f(b2,2ac)＝eq\f(\r(2),4)，即eq\f(c2－a2,2ac)＝eq\f(\r(2),4)，整理得c2－eq\f(\r(2),2)ac－a2＝0，两边同除以a2得e2－eq\f(\r(2),2)e－1＝0.解得e＝eq\r(2)(负值舍去)．]10．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：eq\f(x2,3)－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()A．eq\f(3,2)B．3C．2eq\r(3)D．4B[因为双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝eq\f(\r(3),3)x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－eq\r(3)(x－2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)x－2，,y＝\f(\r(3),3)x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(\r(3),2)，))所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，所以|OM|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up10(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up10(2))＝eq\r(3)，所以|MN|＝eq\r(3)|OM|＝3，故选B．]11．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)A[如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,2)))eq\s\up10(2)＋y2＝eq\f(c2,4)①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝eq\f(a2,c)，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝eq\f(a2,c)，所以|PQ|＝2eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))\s\up10(2)).由|PQ|＝|OF|，得2eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))\s\up10(2))＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝eq\r(2)，故选A．]12．(2020·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A．4B．8C．16D．32B[由题意知双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，所以S△ODE＝eq\f(1,2)×a×|DE|＝eq\f(1,2)×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝2eq\r(2)时，等号成立，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B．]13．(2016·全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)A[如图所示，由题意得A(－a，0)，B(a，0)，F(－c，0)．由PF⊥x轴得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a))).设E(0，m)，又PF∥OE，得eq\f(|MF|,|OE|)＝eq\f(|AF|,|AO|)，则|MF|＝eq\f(ma－c,a). ①又由OE∥MF，得eq\f(\f(1,2)|OE|,|MF|)＝eq\f(|BO|,|BF|)，则|MF|＝eq\f(ma＋c,2a). ②由①②得a－c＝eq\f(1,2)(a＋c)，即a＝3c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,3).故选A．]14．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq\f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,4)D[由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴点P坐标为(c＋2ccos60°，2csin60°)，即点P(2c，eq\r(3)c)．∵点P在过点A，且斜率为eq\f(\r(3),6)的直线上，∴eq\f(\r(3)c,2c＋a)＝eq\f(\r(3),6)，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,4)，∴e＝eq\f(1,4)，故选D．]15．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为()A．eq\f(3\r(2),4)B．eq\f(3\r(2),2)C．2eq\r(2)D．3eq\r(2)A[不妨设点P在第一象限，根据题意可知c2＝6，所以|OF|＝eq\r(6).又tan∠POF＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以等腰三角形POF的高h＝eq\f(\r(6),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(3),2)，所以S△PFO＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(2),4).]16．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A．eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1B[由题意设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，连接F1A(图略)，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝eq\f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝eq\f(1,a).在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝eq\f(\f(a,2),\f(3a,2))＝eq\f(1,3)，所以eq\f(1,3)＝1－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up10(2)，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故选B．]17．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.2[法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))消去x得y2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)y＋1))，即y2－eq\f(4,k)y－4＝0，则y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1y2＝－4.由∠AMB＝90°，得eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1与y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1y2＝－4代入，得k＝2.法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1，,y\o\al(2,2)＝4x2，))所以yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4(x1－x2)，则k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2).取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1上，所以|MM′|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq\f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2.]18．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若eq\o(F1A,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(F1B,\s\up7(→))·eq\o(F2B,\s\up7(→))＝0，则C的离心率为________．2[法一：因为eq\o(F1B,\s\up7(→))·eq\o(F2B,\s\up7(→))＝0，所以F1B⊥F2B，如图．所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为eq\o(F1A,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BF1O＝eq\f(a,b)，tan∠BOF2＝eq\f(b,a).因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(2×\f(a,b),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))\s\up10(2))，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝2.法二：因为eq\o(F1B,\s\up7(→))·eq\o(F2B,\s\up7(→))＝0，所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，又eq\o(F1A,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，所以A为F1B的中点，所以OA∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B．又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2为等边三角形．由F2(c，0)可得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，因为点B在直线y＝eq\f(b,a)x上，所以eq\f(\r(3),2)c＝eq\f(b,a)·eq\f(c,2)，所以eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2.]19．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为____________．(3，eq\r(15))[不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝eq\r(36－20)＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,|F1M|2＝x＋42＋y2＝64，,x＞0，,y＞0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝\r(15)，))所以M的坐标为(3，eq\r(15))．一题多解：依题意得|F1F2|＝|F1M|＝8，|F2M|＝4，cos∠MF1F2＝eq\f(82＋82－42,2×8×8)＝eq\f(7,8)，则tan∠MF1F2＝eq\f(\r(15),7).所以直线MF1的方程为y－0＝eq\f(\r(15),7)(x＋4)．设M(6cosθ，2eq\r(5)sinθ)，因为M点在直线MF1上，所以2eq\r(5)sinθ＝eq\f(\r(15),7)(6cosθ＋4)，结合sin2θ＋cos2θ＝1且sinθ＞0，cosθ＞0得cosθ＝eq\f(1,2)，sinθ＝eq\f(\r(3),2)，即M点的坐标为(3，eq\r(15))．]1．(2020·武汉部分学校质量检测)已知双曲线E：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,m2)＝1的离心率为eq\f(5,4)，则双曲线E的焦距为()A．4B．5C．8D．10D[因为a＝4，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，所以c＝5，所以双曲线的焦距2c＝10，选D．]2．(2020·中山模拟)如图，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上顶点、左顶点、左焦点分别为B，A，F，中心为O，其离心率为eq\f(1,2)，则S△ABF∶S△BFO＝()A．1∶1 B．1∶2C．(2－eq\r(3))∶2 D．eq\r(3)∶2A[由题意可知，S△ABF＝eq\f(1,2)(a－c)·b，S△BFO＝eq\f(1,2)cb，则eq\f(S△ABF,S△BFO)＝eq\f(\f(1,2)a－cb,\f(1,2)cb)＝eq\f(a－c,c)＝eq\f(a,c)－1＝2－1＝1.故选A．]3．(2020·惠州第一次调研)设双曲线的一条渐近线为直线y＝2x，且一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点相同，则此双曲线的方程为()A．eq\f(5,4)x2－5y2＝1 B．5y2－eq\f(5,4)x2＝1C．5x2－eq\f(5,4)y2＝1 D．eq\f(5,4)y2－5x2＝1C[抛物线y2＝4x的焦点为点(1，0)，则双曲线的一个焦点为点(1，0)，设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝2,12＝a2＋b2))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,5),b2＝\f(4,5)))，所以所求方程为5x2－eq\f(5,4)y2＝1，选C．]4．(2020·长沙模拟)过坐标原点O作圆(x－3)2＋(y－4)2＝1的两条切线，切点为A，B，直线AB被圆截得的弦长为()A．eq\f(2\r(6),5)B．eq\f(4\r(6),5)C．eq\r(6)D．eq\f(3\r(6),5)B[设圆心为P，由切线长定理可知|OA|＝|OB|，且OA⊥PA，OB⊥PB，|OP|＝eq\r(32＋42)＝5，半径r＝1，所以|OA|＝|OB|＝2eq\r(6).因为AB⊥OP，所以S四边形OAPB＝eq\f(1,2)|OP|·|AB|＝2S△OAP，所以|AB|＝eq\f(4S△OAP,|OP|)＝eq\f(4×\f(1,2)×2\r(6)×1,5)＝eq\f(4\r(6),5).选B．]5．(2020·太原模拟)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与椭圆E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为()A．eq\r(2)－1B．eq\f(\r(5)－1,2)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\r(2)＋1A[不妨设椭圆E的焦点在x轴上，如图所示．∵△PF1F2为直角三角形，∴∠PF1F2＝90°，∴|PF1|＝|F1F2|＝2c，|PF2|＝2eq\r(2)c，则|PF1|＋|PF2|＝2c＋2eq\r(2)c＝2a，解得e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)－1.故选A．]6．(2020·平顶山模拟)若倾斜角为60°的直线l与圆C：x2＋y2－6y＋3＝0交于M，N两点，且∠CMN＝30°，则直线l的方程为()A．eq\r(3)x－y＋3＋eq\r(6)＝0或eq\r(3)x－y＋3－eq\r(6)＝0B．eq\r(3)x－y＋2＋eq\r(6)＝0或eq\r(3)x－y＋2－eq\r(6)＝0C．eq\r(3)x－y＋eq\r(6)＝0或eq\r(3)x－y－eq\r(6)＝0D．eq\r(3)x－y＋1＋eq\r(6)＝0或eq\r(3)x－y＋1－eq\r(6)＝0A[依题意，圆C：x2＋(y－3)2＝6.设直线l：eq\r(3)x－y＋m＝0，由∠CMN＝30°，且圆的半径r＝eq\r(6)，得圆心C到直线l的距离d＝eq\f(\r(6),2)＝eq\f(|m－3|,2)，解得m＝3±eq\r(6).故直线l的方程为eq\r(3)x－y＋3＋eq\r(6)＝0或eq\r(3)x－y＋3－eq\r(6)＝0.故选A．]7．(2020·郑州模拟)已知点A(－5，0)，B(－1，－3)，若圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是()A．(1，eq\r(5)) B．(1，5)C．(2，5) D．(2，eq\r(5))B[由题意可得|AB|＝eq\r(－1＋52＋－3－02)＝5，根据△MAB和△NAB的面积均为5，可得两点M，N到直线AB的距离为2.由于直线AB的方程为3x＋4y＋15＝0，若圆上只有一个点到直线AB的距离为2，则有圆心(0，0)到直线AB的距离eq\f(|0＋0＋15|,\r(9＋16))＝r＋2，解得r＝1；若圆上只有三个点到直线AB的距离为2，则有圆心(0，0)到直线AB的距离eq\f(|0＋0＋15|,\r(9＋16))＝r－2，解得r＝5.所以实数r的取值范围是(1，5)．故选B．]8．(2020·厦门模拟)如图，已知圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)与直线x＋y－2＝0相交于A，B两点，C为圆上的一点，OC的中点D在线段AB上，且3eq\o(AD,\s\up7(→))＝5eq\o(DB,\s\up7(→))，则圆O的半径r为()A．eq\r(11)B．eq\f(10,3)C．eq\r(10)D．2eq\r(3)C[如图，过O作OE⊥AB于E，连接OA，OB，则OE＝eq\r(2)，由垂径定理得|AE|＝|EB|.设|DE|＝x，则由3eq\o(AD,\s\up7(→))＝5eq\o(DB,\s\up7(→))可知|AE|＝4x，由勾股定理得(4x)2＋2＝r2，x2＋2＝eq\f(r2,4)，解得r＝eq\r(10).故选C．]9．(2020·洛阳尖子生第一次联考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，若sin∠F1PF2＝eq\f(\r(15),4)，则该双曲线的离心率等于()A．eq\r(6)B．2C．eq\r(6)或2D．eq\r(3)＋1或eq\r(6)C[∵P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，∴由双曲线的定义|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△PF1F2中，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c.∵sin∠F1PF2＝eq\f(\r(15),4)，∴cos∠F1PF2＝±eq\f(1,4).当cos∠F1PF2＝eq\f(1,4)时，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，即4c2＝16a2，∴e＝2；当cos∠F1PF2＝－eq\f(1,4)时，得4c2＝24a2，∴e＝eq\r(6).综上可知e＝2或e＝eq\r(6)，故选C．]10．(2020·合肥调研)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，斜率为k的直线过焦点F交C于点A，B，eq\o(AF,\s\up7(→))＝2eq\o(FB,\s\up7(→))，则直线AB的斜率为()A．2eq\r(2)B．2eq\r(3)C．±2eq\r(2)D．±2eq\r(3)C[法一：由题意知k≠0，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，则直线AB的方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，代入抛物线方程消去x，得y2－eq\f(2p,k)y－p2＝0.不妨设A(x1，y1)(x1＞0，y1＞0)，B(x2，y2)，因为eq\o(AF,\s\up7(→))＝2eq\o(FB,\s\up7(→))，所以y1＝－2y2.又y1y2＝－p2，所以y2＝－eq\f(\r(2),2)p，x2＝eq\f(p,4)，所以kAB＝eq\f(－\f(\r(2),2)p－0,\f(p,4)－\f(p,2))＝2eq\r(2).根据对称性可得直线AB的斜率为±2eq\r(2)，故选C．法二：如图，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为D，E，设直线AB交准线于M，由抛物线的定义知|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，结合eq\o(AF,\s\up7(→))＝2eq\o(FB,\s\up7(→))，知|BE|＝eq\f(1,2)|AD|＝eq\f(1,3)|AB|，则BE为△AMD的中位线，所以|AB|＝|BM|，所以|BE|＝eq\f(1,3)|BM|，所以|ME|＝eq\r(|BM|2－|BE|2)＝2eq\r(2)|BE|，所以tan∠MBE＝eq\f(|ME|,|BE|)＝2eq\r(2)，即此时直线AB的斜率为2eq\r(2).根据对称性可得直线AB的斜率为±2eq\r(2).]11．(2020·临沂模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过点F2的直线l交双曲线C的左、右支分别于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝()A．4B．8C．16D．32C[如图，由双曲线可得a＝4，设|AF1|＝|BF1|＝m，由双曲线的定义可得|AF2|＝|AF1|＋2a＝2a＋m，|BF2|＝|BF1|－2a＝m－2a，可得|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2a＋m－(m－2a)＝4a＝16.故选C．]12．(2020·贵阳模拟)已知点F1是抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F2作抛物线C的切线，设其中一个切点为A，若点A恰好在以F1，F2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为()A．eq\r(2)－1 B．2eq\r(2)－1C．eq\r(2)＋1 D．eq\f(\r(6)＋\r(2),2)C[由题意知F1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，F2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))，设直线F2A的方程为y＝kx－eq\f(p,2)，代入抛物线C：x2＝2py，整理得x2－2pkx＋p2＝0，∴Δ＝4k2p2－4p2＝0，解得k＝±1，不妨取Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p，\f(p,2)))，则|AF1|＝p，|AF2|＝eq\r(p2＋p2)＝eq\r(2)p.设双曲线的方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则2a＝|AF2|－|AF1|＝(eq\r(2)－1)p，2c＝p，∴双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(2)－1)＝eq\r(2)＋1.]13．(2020·德州模拟)过抛物线y2＝4x的焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，则四边形ABCD面积的最小值为()A．8B．16C．32D．64C[焦点F的坐标为(1，0)，所以可设直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x并整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝2＋eq\f(4,k2)，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋eq\f(4,k2).同理可得|CD|＝4＋4k2.所以四边形ACBD的面积S＝eq\f(1,2)|AB||CD|＝eq\f(1,2)·eq\f(4k2＋1,k2)·4(k2＋1)＝8·eq\f(k2＋12,k2)＝8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2＋\f(1,k2)＋2))≥32，当且仅当k＝±1时取等号．故选C．]14．[多选](2020·淄博模拟)已知一族双曲线En：x2－y2＝eq\f(n,2019)(n∈N*，且n≤2019)，设直线x＝2与En在第一象限内的交点为An，点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn，Cn.记△AnBnCn的面积为an，则下列说法正确的是()A．双曲线的渐近线方程为y＝±xB．an＝eq\f(n,2019)C．数列{an}为等差数列D．a1＋a2＋…＋a2019＝eq\f(505,2)ACD[因为双曲线的方程为x2－y2＝eq\f(n,2019)(n∈N*，且n≤2019)，所以其渐近线方程为y＝±x，设点An(2，yn)，则4－yeq\o\al(2,n)＝eq\f(n,2019)(n∈N*，且n≤2019)．记An(2，yn)到两条渐近线的距离分别为d1，d2，则S△AnBnCn＝eq\f(1,2)d1d2＝eq\f(1,2)×eq\f(|2＋yn|,\r(2))×eq\f(|2－yn|,\r(2))＝eq\f(|4－y\o\al(2,n)|,4)＝eq\f(\f(n,2019),4)＝eq\f(n,4×2019)，故an＝eq\f(n,4×2019)，因此{an}为等差数列，故a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝eq\f(1,4×2019)×2019＋eq\f(1,4×2019)×eq\f(2019×2018,2)＝eq\f(505,2).故选ACD．]15．[多选](2020·聊城模拟)已知O为坐标原点，过点P(a，－1)作两条直线与抛物线C：x2＝4y分别相切于点A，B，AB的中点为M，则下列结论中正确的是()A．直线AB过定点(0，2)B．直线PM的斜率不存在C．y轴上存在一点N，使得直线NA与NB始终关于y轴对称D．A，B两点到抛物线准线的距离的倒数之和为定值BCD[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为y＝eq\f(1,4)x2，所以y′＝eq\f(1,2)x，所以以A为切点的切线方程为y－y1＝eq\f(1,2)x1(x－x1)，即y－eq\f(1,4)xeq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)x1x－eq\f(1,2)xeq\o\al(2,1)，得y＝eq\f(1,2)x1x－eq\f(1,4)xeq\o\al(2,1) ①.同理可得以B为切点的切线方程为y＝eq\f(1,2)x2x－eq\f(1,4)xeq\o\al(2,2) ②，将(a，－1)分别代入①②，可得－1＝eq\f(a,2)x1－y1，－1＝eq\f(a,2)x2－y2，所以直线AB的方程为eq\f(a,2)x－y＋1＝0，所以直线AB过定点(0，1)，故A错误．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,\f(a,2)x－y＋1＝0，))可得x2－2ax－4＝0，Δ＝4a2＋16＞0，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－4，所以点M的横坐标为eq\f(x1＋x2,2)＝a，所以PM⊥x轴，故B正确．设N(0，b)，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2.由题意得x1≠0，x2≠0，所以k1＋k2＝eq\f(y1－b,x1)＋eq\f(y2－b,x2)＝eq\f(ax1x2＋1－bx1＋x2,x1x2)＝eq\f(2a－b－1,－4).当b＝－1时，有k1＋k2＝0，则直线NA与直线NB关于y轴对称，故C正确．因为点A到准线的距离为y1＋1，点B到准线的距离为y2＋1，所以eq\f(1,y1＋1)＋eq\f(1,y2＋1)＝eq\f(y1＋y2＋2,y1＋1y2＋1)＝eq\f(y1＋y2＋2,y1y2＋y1＋y2＋1)＝eq\f(y1＋y2＋2,\f(x1x22,16)＋y1＋y2＋1)＝1，故D正确．]16．[多选](2020·菏泽模拟)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线上一点，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1＝2，则下列结论正确的是()A．点P在双曲线的右支上B．点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))在双曲线的渐近线上C．双曲线的离心率为eq\r(5)D．双曲线上任一点到两渐近线距离之和的最小值等于4ABC[连接PF1(图略)，由题意知|F1F2|＝2|OP|＝2c，则PF1⊥PF2，因为tan∠PF2F1＝2，所以eq\f(|PF1|,|PF2|)＝2，因此|PF1|＞|PF2|，故点P在双曲线的右支上，A项正确；由于|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，所以(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，整理得c2＝5a2，则e＝eq\r(5)，C正确；又e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5)，所以eq\f(b,a)＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))在双曲线的渐近线上，故B项正确；由于b2＝5，所以a2＝eq\f(5,4)，所以双曲线的方程为eq\f(4x2,5)－eq\f(y2,5)＝1，设M(x0，y0)为双曲线上任意一点，则点M到渐近线y＝2x的距离d1＝eq\f(|2x0－y0|,\r(5))，点M到渐近线y＝－2x的距离d2＝eq\f(|2x0＋y0|,\r(5))，因此d1d2＝eq\f(|4x\o\al(2,0)－y\o\al(2,0)|,5)，又eq\f(4x\o\al(2,0),5)－eq\f(y\o\al(2,0),5)＝1，于是d1d2＝1，因此由基本不等式得d1＋d2≥2eq\r(d1d2)＝2，当且仅当d1＝d2时取等号，故双曲线上任一点到两渐近线距离之和的最小值等于2.故D项错误．故选ABC．]17．[多选](2020·青岛模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴相交于点M，经过M且斜率为k的直线l与抛物线相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＞x2，则下列结论正确的是()A．－1＜k＜1B．y1y2＝8x1x2C．∠AFB可能为直角D．当k2＝eq\f(1,2)时，△AFB的面积为16CD[依题意知F(2，0)，M(－2，0)，直线l的方程为y＝k(x＋2)，联立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝kx＋2，))消去y得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.因为直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2≠0，,4k2－82－16k4＞0，))解得－1＜k＜1且k≠0，故A选项错误；因为x1x2＝eq\f(4k2,k2)＝4，所以yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＝8x1×8x2＝64×4＝256，由于y1，y2同号，所以y1y2＝16，于是y1y2＝4x1x2，故B选项错误；由于eq\o(FA,\s\up7(→))＝(x1－2，y1)，eq\o(FB,\s\up7(→))＝(x2－2，y2)，所以eq\o(FA,\s\up7(→))·eq\o(FB,\s\up7(→))＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝4－2·eq\f(8－4k2,k2)＋4＋16＝32－eq\f(16,k2)，当k2＝eq\f(1,2)时，eq\o(FA,\s\up7(→))·eq\o(FB,\s\up7(→))＝0，∠AFB为直角，故C选项正确；△AFB的面积S＝S△MFA－S△MFB＝eq\f(1,2)|MF|·|y1－y2|＝2eq\r(y1＋y22－4y1y2)，当k2＝eq\f(1,2)时，y1＋y2＝k(x1＋2)＋k(x2＋2)＝k(x1＋x2＋4)＝16k，因此S＝2eq\r(16k2－4×16)＝16，故选项D正确．]18．(2020·安徽示范高中名校联考)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为________．eq\r(3)－1[由题意可知PF1⊥PF2，且|PF2|＝c，所以|PF1|＝eq\r(3)c，根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，即(eq\r(3)＋1)c＝2a，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.]19．[一题两空](2020·临沂模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，两条渐近线的夹角为60°，则渐近线方程为________，过点F1作x轴的垂线，交双曲线的左支于M，N两点，若△MNF2的面积为4eq\r(3)，则该双曲线的方程为________．y＝±eq\f(\r(3),3)xeq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1[因为双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，a＞b＞0，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)①，则渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x.易知F1(－c，0)，所以直线MN的方程为x＝－c，代入双曲线的方程得y＝±eq\f(b2,a)，所以△MNF2的面积S＝eq\f(1,2)|F1F2|·|MN|＝eq\f(1,2)×2c×eq\f(2b2,a)＝eq\f(2b2c,a)＝4eq\r(3)②.又a2＋b2＝c2③，所以由①②③得a＝3，b＝eq\r(3)，c＝2eq\r(3)，故该双曲线的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1.]20．[一题两空](2020·滨州模拟)已知M(a，4)是抛物线C：x2＝2py(p＞0)上一点，且位于第一象限，点M到抛物线C的焦点F的距离为6，则a＝________；若过点P(3eq\r(5)，4)向抛物线C作两条切线，切点分别为A，B，则|AF|·|BF|＝________.4eq\r(2)49[由抛物线的定义得4＋eq\f(p,2)＝6，解得p＝4，所以抛物线C的方程为x2＝8y，将(a，4)代入，可得a＝4eq\r(2).易知点P不在抛物线上，设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．又y′＝eq\f(1,4)x，所以抛物线C在点A处的切线方程为y－y1＝eq\f(x1,4)(x－x1)，将(3eq\r(5)，4)代入并结合xeq\o\al(2,1)＝8y1，得3eq\r(5)x1－4y1－16＝0，同理得抛物线C在点B处的切线方程为3eq\r(5)x2－4y2－16＝0，于是直线AB的方程为3eq\r(5)x－4y－16＝0.将3eq\r(5)x－4y－16＝0代入x2＝8y，整理得2y2－29y＋32＝0，所以y1＋y2＝eq\f(29,2)，y1y2＝16，故|AF|·|BF|＝(y1＋2)·(y2＋2)＝y1y2＋2(y1＋y2)＋4＝49.]21．(2020·石家庄模拟)已知点E在y轴上，点F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，直线EF与抛物线交于M，N两点，若点M为线段EF的中点，且|NF|＝12，则p＝________.8[如图，由题意知Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)).∵M为EF的中点，∴点M的横坐标为eq\f(p,4).设直线EF的方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，k≠0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))),y2＝2px))，得k2x2－(k2p＋2p)x＋eq\f(k2p2,4)＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(k2p＋2p,k2)，,x1x2＝\f(p2,4)))∵x1＝eq\f(p,4)，∴x2＝p.当x＝p时，y2＝2p2，∴N(p，±eq\r(2)p)．∵|NF|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(p,2)))eq\s\up10(2)＋(±eq\r(2)p)2，∴144＝eq\f(p2,4)＋2p2，∴p2＝64，∵p＞0，∴p＝8.]22．(2020·济南模拟)已知点A(0，1)，抛物线C：y2＝ax(a＞0)的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|∶|MN|＝1∶2，则实数a的值为________．eq\f(4\r(3),3)[法一：依题意得抛物线的焦点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，过M作抛物线的准线的垂线，垂足为K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|.因为|FM|∶|MN|＝1∶2，所以|KN|∶|KM|＝eq\r(3)∶1，又kFN＝eq\f(0－1,\f(a,4)－0)＝－eq\f(4,a)，kFN＝－eq\f(|KN|,|KM|)＝－eq\r(3)，所以－eq\f(4,a)＝－eq\r(3)，解得a＝eq\f(4\r(3),3).法二：因为A(0，1)，抛物线C：y2＝ax(a＞0)的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，准线方程为x＝－eq\f(a,4)，所以AF的方程为4x＋ay－a＝0，所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)，2)).因为|FM|∶|MN|＝1∶2，所以|FM|＝eq\f(1,3)|FN|，所以xM＝eq\f(a,12)，yM＝eq\f(2,3).因为(xM，yM)在抛物线上，所以eq\f(4,9)＝eq\f(a2,12)，得a＝eq\f(4\r(3),3).]1．设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两条渐近线的夹角为α，且cosα＝eq\f(1,3)，则C的离心率为()A．eq\f(\r(5),2)B．eq\f(\r(6),2)C．eq\f(\r(7),2)D．2B[∵a＞b＞0，∴渐近线y＝eq\f(b,a)x的斜率小于1，∵两条渐近线的夹角为α，且cosα＝eq\f(1,3)，∴cos2eq\f(α,2)＝eq\f(2,3)，sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1,3)，tan2eq\f(α,2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(c2－a2,a2)＝eq\f(1,2)，∴e2＝eq\f(3,2)，e＝eq\f(\r(6),2).故选B．]2．若双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆x2＋(y－2)2＝2截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为()A．eq\r(3)B．2C．eq\r(5)D．2eq\r(5)B[设圆心到双曲线的渐近线的距离为d，由弦长公式可得，2eq\r(2－d2)＝2，解得d＝1，又双曲线C的渐近线方程为bx±ay＝0，圆心坐标为(0，2)，故eq\f(|0±2a|,\r(a2＋b2))＝1，即eq\f(2a,c)＝1，所以双曲线C的离心率e＝eq\f(c,a)＝2.故选B．]3．[多选]已知双曲线C过点(3，eq\r(2))且渐近线为y＝±eq\f(\r(3),3)x，则下列结论正确的是()A．C的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1B．C的离心率为eq\r(3)C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点D．直线x－eq\r(2)y－1＝0与C有两个公共点AC[因为渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，所以可设双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝λ，代入点(3，eq\r(2))，得λ＝eq\f(1,3)，所以双曲线方程为eq\f(x2,3)－y2＝1，选项A正确；该双曲线的离心率为eq\f(2,\r(3))≠eq\r(3)，选项B不正确；双曲线的焦点为(±2，0)，曲线y＝ex－2－1经过双曲线的焦点(2，0)，选项C正确；把x＝eq\r(2)y＋1代入双曲线方程，得y2－2eq\r(2)y＋2＝0，解得y＝eq\r(2)，故直线x－eq\r(2)y－1＝0与曲线C只有一个公共点，选项D不正确．]4．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作圆x2＋y2＝a2的切线，交双曲线右支于点M.若∠F1MF2＝45°，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±x D．y＝±2xA[如图，作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B．因为F1M与圆x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，所以|OA|＝a，|F2B|＝|BM|＝2a，|F2M|＝2eq\r(2)a，|F1B|＝2b.又点M在双曲线上．所以|F1M|－|F2M|＝2a＋2b－2eq\r(2)a＝2a，整理得b＝eq\r(2)a.所以eq\f(b,a)＝eq\r(2).所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(2)x.故选A．]5．如果圆C1：(x＋m)2＋(y＋m)2＝8上总存在到点(0，0)的距离为eq\r(2)的点，则实数m的取值范围是()A．[－3，3] B．(－3，3)C．(－3，－1]∪[1，3) D．[－3，－1]∪[1，3]D[由题意知，圆C1：(x＋m)2＋(y＋m)2＝8与圆C2：x2＋y2＝2存在公共点，所以2eq\r(2)－eq\r(2)≤eq\r(－m－02＋－m－02)≤2eq\r(2)＋eq\r(2)，解得－3≤m≤－1或1≤m≤3.故选D．]6．已知F2为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，直线y＝kx交双曲线C于A，B两点．若∠AF2B＝eq\f(2π,3)，S△AF2B＝2eq\r(3)，则双曲线C的虚轴长为()A．1B．2C．2eq\r(2)D．2eq\r(3)C[设双曲线C的左焦点为F1，连接AF1，BF1(图略)，由对称性可知四边形AF1BF2是平行四边形，所以Seq\s\do6(△AF1F2)＝2eq\r(3)，∠F1AF2＝eq\f(π,3).设|AF1|＝r1，|AF2|＝r2，则4c2＝req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)－2r1r2coseq\f(π,3).又|r1－r2|＝2a，故r1r2＝4b2.又Seq\s\do6(△AF1F2)＝eq\f(1,2)r1r2sineq\f(π,3)＝2eq\r(3)，所以b2＝2，则该双曲线的虚轴长为2eq\r(2).故选C．]7．已知抛物线y2＝4x的焦点F，点A(4，3)，P为抛物线上一点，且点P不在直线AF上，则当△PAF周长取最小值时，线段PF的长为()A．1B．eq\f(13,4)C．5D．eq\f(21,4)B[如图，求△PAF周长的最小值，即求|PA|＋|PF|的最小值．设点P在准线上的投影为D，根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|，因此|PA|＋|PF|的最小值，即|PA|＋|PD|的最小值，可得当D，P，A三点共线时，|PA|＋|PD|最小，此时Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，3))，F(1，0)，线段PF的长为eq\f(9,4)＋1＝eq\f(13,4).故选B．]8．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆C于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq\f(4,5)，则椭圆C的离心率的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))A[如图所示，设F′为椭圆C的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，∴4＝|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a，∴a＝2.不妨取M(0，b)，∵点M到直线l的距离不小于eq\f(4,5)，∴eq\f(|－4b|,\r(32＋－42))≥eq\f(4,5)，解得b≥1，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))≤eq\r(1－\f(1,22))＝eq\f(\r(3),2)，即椭圆C的离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))).故选A．]9．双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作一条直线与双曲线E的两条渐近线分别相交于A，B两点．若eq\o(F1B,\s\up7(→))＝2eq\o(F1A,\s\up7(→))，|F1F2|＝2|OB|，则双曲线的离心率为()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．3C[如图所示，连接F2B．|F1F2|＝2|OB|，且O为F1F2的中点，所以∠F1BF2＝90°.因为eq\o(F1B,\s\up7(→))＝2eq\o(F1A,\s\up7(→))，即|eq\o(F1B,\s\up7(→))|＝2|eq\o(F1A,\s\up7(→))|，所以A为线段F1B的中点．又由于O为F1F2的中点，所以OA∥F2B，所以OA⊥F1B，所以∠AOF1＝∠AOB．又由直线OA与OB是双曲线的两条渐近线，则∠AOF1＝∠BOF2，所以∠BOF2＝60°，则eq\f(b,a)＝tan∠BOF2＝eq\r(3)，所以双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up10(2))＝2.故选C．]10．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±eq\f(1,3)x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2＋(y＋eq\r(6))2＝1上一点，则|MN|＋|MF2|的最小值为()A．8B．9C．10D．11B[由题意可得2a＝6，即a＝3，渐近线方程为y＝±eq\f(1,3)x，即有eq\f(b,a)＝eq\f(1,3)，即b＝1，可得双曲线方程为eq\f(x2,9)－y2＝1，焦点为F1(－eq\r(10)，0)，F2，(eq\r(10)，0)．由双曲线的定义可得|MF2|＝2a＋|MF1|＝6＋|MF1|.由圆E：x2＋(y＋eq\r(6))2＝1可得圆心E(0，－eq\r(6))，半径r＝1，|MN|＋|MF2|＝6＋|MN|＋|MF1|.如图，连接EF1，交双曲线于M，交圆于N，可得|MN|＋|MF1|取得最小值，且|EF1|＝eq\r(6＋10)＝4，则|MN|＋|MF2|的最小值为6＋4－1＝9.故选B．]11．已知抛物线x2＝eq\f(1,2)y的焦点为F，M，N是抛物线上两点，若|MF|＋|NF|＝eq\f(3,2)，则线段MN的中点P到x轴的距离为()A．eq\f(3,2)B．eq\f(3,4)C．eq\f(5,8)D．eq\f(5,4)C[抛物线x2＝eq\f(1,2)y的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，准线为y＝－eq\f(1,8).如图，过点M，N，P分别作准线的垂线，则|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|，所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝eq\f(3,2)，所以中位线|PP′|＝eq\f(|MM′|＋|NN′