数据分布特征的描述课件

数据分布特征的描述1第一节统计变量集中趋势的测定第二节统计变量离散趋势的测定第三节变量分布的偏度与峰度目录2分类分组整理图示统计数据寻找反映数据分布特征的代表值：集中趋势；离散程度；形状。

对统计数据进行排序、分组、整理、图示，是对数据的分布特征进行描述的一个基本方面，为进一步掌握数据的分布特征及其变化规律，以进行深入的分析，还需找出反映数据分布特征的各个代表值。统计学中主要从以下三方面刻划数据分布特征：数据分布的集中趋势；数据分布的离散程度；数据分布的形状。3数据分布的特征集中趋势:反映数据向其中心靠拢或聚集的程度(位置)偏态和峰态:偏态:数据分布对称性的度量;峰态:数据分布的平峰或尖峰程度（形状）离中趋势:数据远离中心的趋势

(分散程度)4数据分布特征和适用的描述统计量数据分布特征集中趋势众数中位数平均数离散程度异众比率四分位差极差平均差方差或标准差离散系数分布形状偏态系数峰态系数5一、测定集中趋势的指标及其作用二、数值平均数三、众数与中位数第一节统计变量集中趋势的测定6一、测定集中趋势的指标及其作用集中趋势：（centraltendency）

较大和较小的观测值出现的频率比较低，大多数观测值密集分布在中心附近，使得全部数据呈现出向中心聚集或靠拢的态势。

7测度数据集中趋势的指标分类测度集中趋势的指标有两大类：数值平均数——是根据全部数据计算得到的代表值，主要有算术平均数、调和平均数及几何平均数；位置代表值——根据数据所处位置直接观察、或根据与特定位置有关的部分数据来确定的代表值，主要有众数和中位数。8测定集中趋势指标的作用1．反映变量分布的集中趋势和一般水平。如用平均工资了解职工工资分布的中心，反映职工工资的一般水平。2．可用来比较同一现象在不同空间或不同阶段的发展水平。不受总体规模大小的影响，在一定程度上使偶然因素的影响相互抵消。3．可用来分析现象之间的依存关系。如研究劳动者的文化程度与收入的关系4．平均指标也是统计推断中的一个重要统计量，是进行统计推断的基础。9二、数值平均数数值平均数算术平均数调和平均数几何平均数10（一）算术平均数算术平均数是计算平均指标最常用的方法，其基本公式是：分子、分母的口径及包含的内容应严格一致，即各标志值与各单位之间必须一一对应。例：计算某企业职工平均工资，是该企业所有职工工资总额除以职工总人数所得。如工资总额150000元，总人数300人，平均工资500元。111、简单算术平均数计算公式：其中：代表算术平均数，xi代表各单位标志值（变量值），n代表总体单位数（项数）。适用条件：

原始资料（或资料未分组）；

各变量出现次数相等的情况下应用；12表3-1解：采用简单算术平均法计算，即全体队员的平均年龄为（单位：周岁）分组数据不能简单平均！因为各组变量值的次数不等！若采用简单平均：表3-2132、加权算术平均数计算公式：加权——为了体现各变量值轻重不同的影响作用，对各个变量值赋予不尽相同的权数（fi

）其中：代表算术平均数，x代表各单位标志值（变量值），f代表各组单位数（项数）。14权数的含义和表现形式权数（fi）也称权重，计算总体平均数或综合水平的过程中对各个数据起着权衡轻重作用的变量。

权数的表现形式：可以是绝对数形式，也可以是比重形式（如频率）来表示：

事实上比重权数更能够直接表明权数的权衡轻重作用的实质。15加权算术平均数就成了简单算术平均数，也就是说简单算术平均数是加权算术平均数的一种特殊形式。当权数完全相等时16例3-1正确的计算是：由单项数列计算算术平均数可直接用加权算术平均法进行计算。17【例3.６】根据表3-６中的数据，计算50名工人日加工零件数的均值18权数对算术平均数的影响加权算术平均数其数值的大小，不仅受各组变量值大小的影响，而且受各组变量值出现的频数即权数大小的影响。如果某一组的权数大，说明该组的数据较多，那么该组数据的大小对算术平均数的影响就越大，反之，则越小。19甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下：甲组：考试成绩（X）: 020100

人数分布（F）：118乙组：考试成绩（X）: 020100

人数分布（F）：811X甲0×1+20×1+100×8n

10i=1

Xi

82（分）X乙0×8+20×1+100×1n

10i=1

Xi

12（分）203、由组距数列计算算术平均数在组距分组的情况下，由于各组的组限只表明各组标志值的上下界限，因此由组距数列计算加权算术平均数时，必须先计算各组的组中值，以组中值代表该组标志值，然后再计算加权算术平均数。各组变量值用组中值来表示；假定条件是各组内数据呈均匀分布或对称分布；计算结果是近似值。21某批次节能灯泡使用寿命的分组数据224、对相对数求算术平均数由于各个相对数的对比基础不同，采用简单算术平均通常不合理，需要加权。表3-4企业流通费用率（％）商品销售额（万元）流通费用（万元）甲161600256乙104750475丙124000480合计11.70048103501211权数的选择必须符合该相对数本身的计算公式。权数通常为该相对数的分母指标。235、算术平均数的主要数学性质（1）算术平均数与变量值个数的乘积等于各个变量值的总和。（2）各变量值与算术平均数的离差之总和等于零。（3）各变量值与算术平均数的离差平方之总和为最小。24（二）调和平均数概念：调和平均数又称倒数平均数，是变量倒数的算术平均数的倒数。公式：

A.简单调和平均数B.加权调和平均数式中：M­—各组的标志总量；X—各组的标志值。25应用调和平均数应注意问题1、变量x的值不能为0。2、调和平均数易受极端值的影响。3、要注意其运用的条件。（已知各组的标志总量和标志值，而权数未知）26例题例水果甲级每元1公斤，乙级每元1.5公斤，丙级每元2公斤。问：（1）若各买1公斤，平均每元可买多少公斤？（2）各买6.5公斤，平均每元可买多少公斤？（3）若买甲级3公斤，乙级2公斤，丙级1公斤，平均每元可买几公斤？（4）甲乙丙三级各买1元，每元可买几公斤？27解答：（1）（2）（3）（4）28算术平均数与调和平均数的关系1.从数学定义角度看算术平均数与调和平均数是不一样的，但在社会经济应用领域，调和平均数实际上只是算术平均数的另一种表现形式，二者本质上是一致的，惟一的区别是计算时使用了不同的数据。2.计算比率的平均数时，如果已知比率及其基本计算式的分母资料，则采用加权算术平均法；如果已知比率及其基本计算式的分子资料，则采用加权调和平均法。29例自行车赛时速：甲30公里，乙28公里，丙20公里，全程200公里，问三人平均时速是多少？若甲乙丙三人各骑车2小时，平均时速是多少？30（三）几何平均数概念：几何平均数是n个变量连乘积的n次根。适用于现象各变量值的连乘积等于总体标志总量的场合，是计算平均比率和平均速度常用的一种方法。如：银行平均利率、各年平均发展速度、产品平均合格率等计算公式：（1）简单几何平均数（2）加权几何平均数31应注意的问题1、变量数列中任何一个变量值不能为0，一个为0，则几何平均数为0。2、几何平均法主要用于动态平均数的计算。3、实际统计中，为了计算上的方便，通常利用对数。32【例3.8】一位投资者持有一种股票，1996年、1997年、1998年和1999年收益率分别为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。平均收益率＝103.84%-1=3.84%33三、众数与中位数（一）众数（Mode)

1.概念：众数是指变量数列中出现次数最多或频率最大的变量值。

2.适用条件：只有集中趋势明显时，才能用众数作为总体的代表值。

34

3.众数的计算方法：（1）单项数列确定众数，即出现次数最多（频率最大）的标志值就是众数。（2）组距数列确定众数：在等距数列条件下，先确定众数组，然后再通过公式进行具体计算，找出众数点的标志值。35定类数据众数的确定【例3.1】根据表3-1中的数据，计算众数。解：这里的变量为“广告类型”，这是个定类变量，不同类型的广告就是变量值。我们看到，在所调查的200人当中，关注商品广告的人数最多，为112人，占总被调查人数的56%，因此众数为“商品广告”这一类别，即

Mo＝商品广告36定序数据众数的确定【例3.2】根据表3-2中的数据，计算众数。解：这里的数据为定序数据。变量为“回答类别”。甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即

Mo＝不满意374.计算公式：公式1（下限公式）：用众数所在组的下限为起点值计算公式2（上限公式）：用众数所在组的上限为起点值计算U为众数所在组组距的上限，L为众数所在组组距的下限，为众数组的上限，为众数组次数与前一组次数之差，为众数组与后一组之差，i为众数组的组距。38数值型分组数据众数的确定【例3.3】根据表3-3中的数据，计算50名工人日加工零件数的众数39（二）中位数1、概念：将总体单位的某一数量标志的各个数值按照大小顺序排列，居于中间位置的那个数值就是中位数。中位数是位置平均数，它不受极端值的影响，在具有个别极大或极小标志值的分布数列中，中位数比计算算术平均数更具有代表性；从中位数的概念可以看出，总体中有一半项目的数值小于中位数，一半项目的数值大于中位数。402、计算方法：（1）由未分组资料确定中位数①排序：按大小顺序排序（某一标志值）②确定中位数位置③计算（确定）中位数数值：分两种：

奇数：中间位置的标志值为中位数。

偶数：中间位置相邻两个变量值的简单平均数是中位数。41某组学生考试成绩（8人）：72，75，78，79，81，82，84，90则若9人，成绩分别为：72，73，75，78，79，81，82，84，90则42（2）由分组资料确定中位数第一步：确定中位数所处位置，按确定（f为次数）。第二步：确定中位数组：第三步：采用公式计算下限法：用“向上累计”法确定中位数。上限法：用“向下累计”法确定中位数。其中：U是中位数所在组的上限，L是中位数所在组的下限，fm是中位数所在组的次数，Sm+1是中位数所在组后面各组累计次数，Sm-1是中位数所在组前面各组累计次数，i是中位数所在组的组距。43例现检测某厂生产的一批电子产品的耐用时间，得到资料如下表所示：4445分位数二分位数（中位数）、四分位数、十分位数和百分位数等。其中主要有四分位数。排位处于25%和75%位置上的值即四分位数不受极端值的影响要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据（各种分位数可由spss计算）QLQMQU25%25%25%25%46四分位数的位置未分组数据：组距分组数据：4下四分位数(QL)位置=N+1上四分位数(QU)位置=3(N+1)4下四分位数(QL)位置=N4上四分位数(QL)位置=3N447数值型未分组数据的四分位数原始数据:2321 3032 282526QL=23N+17+1QL位置=4=4=2QU位置=3(N+1)43(7+1)4==6QU=30

排序:21232526283032

位置:1 23456748数值型未分组数据的四分位数

(6个（N+1不能被4整除）数据的算例)原始数据:2321 30 282526排序:212325262830位置:1 2 3 4 56QL=21+0.75(23-21)=22.5QL位置=N+14=6+14=1.75QU位置=3(N+1)43(6+1)4==5.25QU=28+0.25(30-28)

=28.5

49数值型分组数据的四分位数

(计算公式)上四分位数:

下四分位数:

50数值型分组数据的四分位数

(计算示例)QL位置＝50/4＝12.5QU位置＝3×50/4＝37.5【例】根据表3-5中的数据，计算50名工人日加工零件数的四分位数51（三）众数、中位数和算术平均值的比较1．算术平均数。算术平均数应用范围最广。易受极端值的影响。当分布数列中存在开口组时，会影响平均数的准确性。算术平均数适用于数值型数据。522．调和平均数适用于计算比率的平均数。它容易受极端值的影响，数列中只要有一个变量值为零，则不能计算调和平均数，故其应用范围受到限制。调和平均数适用于数值型数据。533．几何平均数适用于各比率连乘积等于总比率的条件下计算比率的平均数。数列中若有一项为零或负数，计算几何平均数无意义，应用范围较小。几何平均数适用于数值型数据。544．众数众数的意义易于理解，有时容易计算，且不受极端值的影响。当数据分布没有明显的集中趋势而趋于均匀分布时，则无众数可言；对不等距分布数列，众数不易确定。当分布数列中出现双众数或多众数时，难以反映所有数据的一般水平。变量值的变化反映不灵敏。众数适用于分类数据、顺序数据和数值型数据。

555．中位数中位数不受极端值的影响。当分布数列中存在极端值或组距数列中存在开口组时，计算中位数比较好。中位数缺乏灵敏性，没有算术平均数可靠，且不易用代数方法计算。中位数适用于顺序数据和数值型数据。56左偏分布均值

中位数

众数对称分布

均值=中位数=

众数右偏分布众数

中位数均值对何种数据而言的？均值=中位数=众数均值>中位数>众数均值<中位数<众数57（一）算术平均数、几何平均数和调和平均数三者的关系（二）算术平均数、众数和中位数三者的关系1、当总体分布成对称状态时，三者合而为一。2、当总体分布呈右偏时，则3、当总体分布呈左偏时，则58当分布偏态时，三者之间的数量关系是：若则说明分布右偏若则说明分布左偏若则说明分布对称59第二节统计变量离散程度的测定

对数据分布特征的另一个测度指标是数据分布离散程度。它反映各数据远离其中心值的程度，因此，也称离中趋势。

集中趋势反映的是各变量值向其中心值聚集的程度，

离中趋势反映各变量值之间的差异状况。

注意：

集中趋势的测度值概括地反映了数据的一般水平，它对该组数据的代表程度，取决于该组数据的离散水平。数据的离散程度越大，集中趋势的测度值对该组数据的代表性就越差。60测度离散程度的指标称为变异指标。变异指标的主要作用：1.说明数据的分散程度，反映变量的稳定性、均衡性。数据之间差异越大，变量的稳定性或均衡性越差。2.衡量平均数的代表性。离散程度越大，平均数的代表性就越小。3.统计推断的重要依据判别统计推断前提条件是否成立，衡量推断效果好坏的重要尺度。61离散程度的测度指标分类数据：异众比率（variationratio）顺序数据：四分位差（quartilerange

）数值型数据：①极差（range

）②平均差（meandeviation）③方差和标准差（Varianceandstandarddeviation）④相对位置的度量：标准化值（standard

score）⑤相对离散程度：离散系数（CoefficientofVariation

）62极差1.一组数据的最大值与最小值之差2.易受极端值影响7891078910未分组数据

R=max(Xi)-min(Xi).=组距分组数据

R

最高组上限-最低组下限3.计算公式为63四分位差对顺序数据离散程度的测度也称为内距或四分间距上四分位数与下四分位数之差 反映了中间50%数据的离散程度用于衡量中位数的代表性64定序数据的算例【例3.13】根据第三章表3-13中的数据，计算甲城市家庭对住房满意状况评价的四分位差解：设非常不满意为1,不满意为2,一般为3,满意为4,非常满意为5

已知QL=不满意=2

QU=

一般=

3四分位差：

QD

=QU

=

QL

=3–2

=1表3-13

甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)累计频数

非常不满意

不满意一般满意非常满意2410893453024132225270300合计300—65数值型分组数据的四分位差表3-12

某车间50名工人日加工零件数分组表按零件数分组频数（人）累积频数105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合计50—【例3.12-2】根据表3-12中的数据，计算50名工人日加工零件数的四分位差。66平均差1.离散程度的测度值之一2.各变量值与其均值离差绝对值的平均数3.能全面反映一组数据的离散程度4.数学性质较差，实际中应用较少

计算公式为未分组数据组距分组数据67算例表3-14某车间50名工人日加工零件标准差计算表按零件数分组组中值(Xi)频数(Fi)|Xi-X||Xi-X|Fi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.535814106415.710.75.70.74.39.314.347.153.545.69.843.055.857.2合计—50—312【例3.14】根据第三章表3-14中的数据，计算工人日加工零件数的平均差68方差和标准差1.离散程度的测度值之一2.最常用的测度值3.反映了数据的分布4.反映了各变量值与均值的平均差异5.根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差4681012X=8.369总体方差和标准差(计算公式)未分组数据：组距分组数据：标准差的计算公式未分组数据：组距分组数据：方差的计算公式70总体标准差（计算过程及结果）3100.5739.47572.45259.926.86184.90518.94817.96(Xi-X)2Fi—246.49114.4932.490.4918.4986.49204.49(Xi-X)250—合计358141064107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140频数(Fi)组中值(Xi)按零件数分组表3-15某车间50名工人日加工零件标准差计算表【例3.15】根据第三章表3-15中的数据，计算工人日加工零件数的标准差71方差的主要数学性质(3)分组条件下，总体的方差等于组间方差与各组方差平均数之和。(1)常数的方差等于零。a为常数,则(2)变量的线性函数的方差等于变量系数的平方乘以变量的方差。设a,b为常数，y=a+bx，则有：组间方差各组方差平均数72标准化值1）对某一个值在一组数据中相对位置的度量2）可用于判断一组数据是否有离群点3）用于对变量的标准化处理4）计算公式为73注意：

z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在该组数据中的位置，也没有改变该组数据分布的形状，而只是将该组数据变为均值为0，标准差为1。

74算例假定某班学生先后两个两次进行了难度不同的综合考试，第一次考试成绩的均值和标准差分别为80分和10分，而第二次考试成绩的均值和标准差分别为70分和7分。张三第一、二次考试的成绩分别为92分和80分，那么全班相比较而言，他哪一次考试的成绩更好呢？解：由于两次考试成绩的均值和标准差不同，每个学生两次考试的成绩不宜直接比较。利用标准化值进行对比，表明第二次考试的成绩更好一些。75离散系数1.标准差与其相应的均值之比2.消除了数据水平高低和计量单位的影响3.测度了数据的相对离散程度4.用于对不同组别数据离散程度的比较5.计算公式为76全距、四分位差、平均差、标准差都是绝对指标，都与平均指标有相同的计量单位。不宜直接来比较不同水平数列之间的标志离散程度。离散系数也称为标志变动系数。最常用的是根据标准差与算术平均数对比的离散系数，称作“标准差系数”。77例如：有两个不同水平的工人日产量（件）资料：甲组：60，65，70，75，80乙组：2，5，7，9，12由此计算得：计算其离散系数来比较：78算例【例】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表4.7。试比较产品销售额与销售利润的离散程度79X1=536.25（万元）S1=309.19（万元）V1=536.25309.19=0.577S2=23.09（万元）V2=32.521523.09=0.710X2=32.5215（万元）结论：计算结果表明，V1<V2，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度80异众比率1. 离散程度的测度值之一2. 非众数组的频数占总频数的比率3. 用于衡量众数的代表性4.

计算公式为81算例表3-10

某城市居民关注广告类型的频数分布

广告类型人数(人)频率(%)

商品广告服务广告金融广告房地产广告招生招聘广告其他广告1125191610256.025.54.58.05.01.0合计200100【例3.10】根据第三章表3-10中的数据，计算异众比率解：

在所调查的200人当中，关注非商品广告的人数占44%，异众比率还是比较大。因此，用“商品广告”来反映城市居民对广告关注的一般趋势，其代表性不是很好

Vr=200-112200

=1-

112

200

=0.44=44%82数据类型与离散程度测度值数据类型和所适用的离散程度测度值数据类型定类数据定序数据定距数据或定比数据适用的测度值※异众比率※四分位差

※方差或标准差—

异众比率

※离散系数（比较时用）——

平均差——

极差——

四分位差——

异众比率83变量分布的偏度与峰度一、矩（动差）矩（动差）——一系列刻画数据分布特征的指标的统称。变量值与数值a之离差的K次方的平均数称为变量x关于a的K阶矩，即：84K阶原点矩（当a=0时）是数据的K次方的平均数.一阶原点矩即算术平均数；二阶原点矩即平方平均数。

K阶中心矩矩（当a=均值时）是以均值为中心计算的离差K次方的平均数k=1时，称为一阶中心矩，它恒等于0，即m1=0；k=2时，称为二阶中心矩，也就是方差，即m2=σ2。

85二、偏度（Skewness）偏度——指数据分布的不对称程度或偏斜程度。以对称分布为标准来区分偏态分布又分左偏（负偏）和右偏（正偏）.左偏分布（负偏）右偏分布（正偏）86偏态的测度方法-30+3

极左偏态对称分布极右偏态一般有：（一）由均值与众数（中位数）之间的关系求偏态系数：87（二）由三个四分位数之间的关系求偏态系数值域：-1Sk1

极左偏态对称分布极右偏态-10+1

88（三）利用3阶中心矩来计算偏度系数。测定偏度最常用的方法原理：若分布不对称，则3阶中心矩不为0。不对此程度愈严重，3阶中心矩的绝对值愈大。为消除量纲的影响，可除以σ3。0

对称分布左偏分布

右偏分布89三、峰度（Kurtosis）峰度——是指变量的集中程度和分布曲线的陡峭（或平坦）的程度。对峰度的度量通常以正态分布曲线为比较标准，分为正态峰度、尖顶峰度和平顶峰度.平顶分布尖峰分布尖顶峰度的分布曲线比正态分布曲线更加尖峭、更高更窄；平顶峰度的分布曲线比正态分配曲线更为平缓、更低更扁平。90峰度系数原理：分布曲线的尖峭程度与偶数阶中心矩的数值大小有直接关系。以四阶中心矩m4为基础，为了消除量纲的影响，再除以标准差的四次方σ4所得到的相对数即可衡量峰度。91当K=0时，分布曲线为正态曲线；当K＞0时，为尖顶曲线，表示数据比正态分布更集中在均值附近；K的数值越大，则变量分布曲线之顶端越尖峭；当K＜0时，为平顶曲线，表示数据比正态分布更分散；K的数值越小，则变量分布曲线之顶端越平坦。对于正态分布曲线有：m4/σ4=3，故峰度系数为：92算例根据表3-3的数据，计算使用寿命分布的偏度系数和峰度系数。解：计算结果表明，偏度系数几乎为0，峰度系数略小于0，说明该产品使用寿命的分布十分接近对称分布，分布曲线顶峰略比正态分布平坦一些。总的说来，该产品的使用寿命的