电路理论第2章：电路中的等效

第2章电路中的等效

2.1二端网络的端口等效

2.4电路的Y—

等效变换

2.2电源的等效变换

2.3受控电源与二端网络输入电阻

2.1二端网络的端口等效

一、二端网络等效的概念任意外部电路

N+_i(t)u(t)N1任意外部电路N+_i(t)u(t)N2

等效

二端网络——任何一个复杂的电路,向外引出两个端钮。也称为一端口电路。二端网络的等效电路等效的条件：两个电路具有相同的VCR等效是对外部电路等效，对内部电路是不等效的一端口电路+_i(t)u(t)i(t)二、电阻元件的串联与等效

等效电阻Req等效ReqU_I++_R1Rn+_UkI+_U1+_UnURk据KVL，得:

U=U1+U2

+…+Uk+…+UnUk

=Rk

I(k=1,2,…,n)Req=(

R1+R2+…+Rn)=

Rk∴

U=(R1+R2+…+Rk+…+Rn)I=ReqI

由欧姆定律:

串联电阻上电压的分配故有：例：两个电阻分压，如下图(

注意方向!)+_UR1R2+_U1+_U2I正比分压性质二、电阻元件的串联与等效

等效电阻Req等效据KCL:I=I1+I2+

…+Ik+In=U/Req故有：令

Geq=1/Req,

称为电导，则有：InR1R2RkRnI+UI1I2Ik_+U_IReq三、电阻元件的并联与等效

并联电阻的电流分配对于两电阻并联，R1R2I1I2IInR1R2RkRnI+UI1I2Ik_三、电阻元件的并联与等效四、电阻的混联

要求：弄清楚串、并联的概念。

例：求下图所示电路的入端电阻R。计算举例：

R=(40∥40+30∥30∥30)=30

R40

30

30

40

30

40

40

30

30

30

R2.2电源的等效变换一、理想电压源的串、并联

串联:注意:

电压相同的电压源才能并联，且每个电源的电流不确定。

并联:等效电路据KVL有：Usn+_+_US1I+_U+_USI+U_等效电路US1+_+_IUS2+U_+_IUSU_+

理想电压源与二端网络的并联I3US+_II1U+-(b)+-UI(c)+_US等效电路(a)I2US+_II1U+-R一、理想电压源的串、并联二、理想电流源的串、并联据KCL有：注意：电流相同的理想电流源才能串联,并且每个电流源的端电压不能确定。

串联:

并联：等效电路等效电路Is1Is2IsnIs+-UIs+-UIs1Is2IsnIsU+-IsU+-

理想电流源与二端网络的串联Is+-UI(a)R+_UsIs+-UI(b)Is+-UI(c)等效电路二、理想电流源的串、并联例2.2.2

通过化简，求图(a)电路中电压源提供的功率。I=I1+I2+-I(a)I22A11Ω2Ω3Ω6VI16Ω+-(b)I22A2Ω3Ω6V解：据图(a)有：有：3I2+2(2+I2)=6I1=1A将图(a)化简，得图(b)∴I2=0.4AI=1.4A电压源提供的功率:P=6I=6×1.4=8.4W或：电压源吸收的功率:P=

-6I=-6×1.4=-8.4W二、理想电流源的串、并联三、戴维南电路、诺顿电路及其等效变换戴维南电路、诺顿电路两种模型可以进行等效变换，所谓的等效

是指端口的电压、电流在转换过程中保持不变。I+_USRS+U_

V—A关系式:等效变换的表达式IRp+U_ISIp例2：

把下图所示电路转换成戴维南等效电路。(a)2A10

6V6A+-+-10V10

10V6A+-+-(b)解：图(a)10

6V6A+-10

6V60V+-+-10

66V+-三、戴维南电路、诺顿电路及其等效变换例3：电路如下图所示，U1＝10V，IS＝2A，R1＝1Ω，R2＝2Ω，R3＝5Ω，R＝1Ω。(1)求电阻R中的电流

I；(2)计算理想电压源U1中的电流IU1和理想电流源IS两端的电压UIS。UISII1R1+-(c)ISRU+-UISIR3R1+-(a)ISRU+-IR1+-U1IU1IR3R2ba(b)UISIR1+-ISRU+-IR1+-U1ba三、戴维南电路、诺顿电路及其等效变换解：(1)(2)据图(a)求*

IU1,

UISUISII1R1+-(c)ISRU+-UISIR3R1+-(a)ISRU+-IR1+-U1IU1IR3R2ba三、戴维南电路、诺顿电路及其等效变换2.3受控电源与二端网络输入电阻•

定义：电压源电压或电流源电流不是给定的时间函数，而是受电路中某个支路的电压(或电流)的控制。

一、受控电源电路符号+–受控电压源受控电流源•

分类：根据控制量和被控制量是电压u或电流i，受控源可分为四种类型：电流控制的电流源

(CurrentControlledCurrentSource)

:电流放大倍数r:转移电阻{

u1=0i2=bi1CCCS{

u1=0u2=ri1CCVS电流控制的电压源

(CurrentControlledVoltageSource)

+－+ri1－i2u2u1=0+－i1

+－βi1i2u2u1=0+－i1一、受控电源g:转移电导α

:电压放大倍数电压控制的电流源

(VoltageControlledCurrentSource)电压控制的电压源

(VoltageControlledVoltageSource)+－+－+αu1－u1i1=0i2u2+－+－gu1u1i1=0i2u2{

i1=0u2=αu1VCVS{

i1=0i2=gu1VCCS一、受控电源解：据KCL有：I2=I1+I1据KVL有;US=R1I1+R2I2

15=(5＋2.5＋2.53)I1电压源的功率：

P1=-USI1

=

-151

=-

15W（发出）电阻R1的功率：

P2=R1I12

=

51

=

5W（吸收）电阻R2的功率：

P3=R2I22=

2.542=

40W（吸收）受控源的功率：

P4=-U2I1

=

-1031

=

-30W(发出)功率平衡例1：已知US=15V，R1=5Ω，R2=2.5Ω，

=3，求各元件的功率。+_+_R1R2I1USU2αI1I2=(R1＋R2＋R2

)

I1解得：I1

=1AI2=4A

例2：简化下图所示二端电路，使其具有最简形式注：受控源和独立源一样可以进行电源转换。转换过程中注意不要丢失控制量。4

+-UI8

6

U=4I+2I=6I+-UI12

6

+-U2I+-4

IU+-6

IU=6I+-U4

6I+-6

8

IU=3(2+I)+4+2I=10+5I例3：简化下图所示二端电路，使其具有最简形式3I12

I12AI+-U-

+U=3I1+2I1+_5

10VUI+-+_4V2

U3(2+I）I+--+=5I1=5(2+I)=10+5I方法一：方法二：例2.3.5：求图所示电路中的电压U015

+-bI116

20

+-10V6V+-U0a5I1(a)+-bI116

20

0.625A6V+-U0a5I1(b)I6V+-b16

20

0.625A+-U0a1.25I(c)I。10V-++-b16

20

6V+-U0a20I(d)I+-由(d)得：20I+16I-20I=6-10I=-

0.25A∴

U0=-20×(-0.25)=5VReq=U/I网络内部没有独立源的二端网络，称为无源二端网络。网络内部有独立源的二端网络，称为有源二端网络。一个无源二端电阻网络可以用端口的入端电阻来等效。

二、二端网络的输入电阻无源+U_IReq+

U－I例5：求开关K闭合和断开时的等效电阻Rab解：开关K闭合时Rab=(1∥2)=2/3

开关K打开时Rab=2∥(1+1)=1

1

3

2

3

1

a3

Kb2

1

ab2

1

ab3

3

3

c

二、二端网络的输入电阻解：加流求压法例6：二端网络如下图(a)所示，求Rin。Rina(a)5Ω6Ω2Ω2IIb由式(1)、(2)得：I1+-a(b)5Ω6Ω2Ω2IIbISUab

二、二端网络的输入电阻2.4电路的Y-

等效变换一、三端电路的等效概念两个独立端口电流和两个独立端口电压之间的关系，即为三端网络的端口伏安特性方程。据KCL有：I1+I2+I3=0据KVL有：U12+U23+U31=0U12I1I3I2N①②③+-+-+-U23U31

结构和参数完全不相同的两个三端网络N1与N2，当它们的端口具有完全相同的外部特性,则称N1与N2是等效的电路。二、Y—

电路的等效变换三端无源网络:Y

型网络

型网络引出三个端钮的网络，且内部没有独立源。R12R31R23I3

I2

I1

+++–––U12

U23

U31

312R1R2R3I1YI2YI3Y+++–––U12YU23YU31Y321无源Y—△电路的等效变换I1

=I1Y

I2

=I2Y

I3

=I3Y

等效要求：三个相应的端口具有相同的伏安特性。U12

=U12Y

U23

=U23Y

U31

=U31Y

等效条件：三端网络等效的各端钮的电流和对应两端钮间电压的伏安关系相同。（三对）二、Y—

电路的等效变换Y接:用电流表示电压U12Y=R1I1Y–R2I2Y

接:用电压表示电流I1Y+I2Y+I3Y=0

U31Y=R3I3Y–R1I1Y

U23Y=R2I2Y–R3I3Y

I3

=U31

/R31–U23

/R23I2

=U23

/R23–U12

/R12I1

=U12

/R12–U31

/R31(1)(2)Y型网络R1R2R3I1YI2YI3Y+++–––U12YU23YU31Y321

型网络

R12R31R23I3

I2

I1

+++–––U12

U23

U31

312U12

+U23

+U31

=0

二、Y—

电路的等效变换由式(2)解得：I3

=U31

/R31–U23

/R23I2

=U23

/R23–U12

/R12I1

=U12

/R12–U31

/R31(1)(3)根据等效条件，比较式(3)与式(1)，得由Y接接的变换结果：或(4)(5)二、Y—

电路的等效变换类似可得到由

接

Y接的变换结果：或上述结果可从原始方程出发导出，也可由Y接接的变换结果直接得到。(7)(6)二、Y—

电路的等效变换简记方法：特例：若三个电阻相等(对称)，则有

R

=3RY(外大内小)13或注意：(1)等效对外部(端钮以