常州高级中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题（解析版）

第17页/共17页江苏省常州高级中学2022~2023学年第一学期高一年级期中质量检测数学试卷2022.11一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给的四个顶中，只有一项是符合题目要求的，1.已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据所给图形结合补集的韦恩图表示得出所求的集合表示式，由此得解.【详解】依题意，由补集的韦恩图表示知，图中阴影部分表示的集合是，因集合，集合，则有，所以图中阴影部分表示的集合是.故选：C2.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则()A.－12 B.12 C.9 D.－9【答案】B【解析】【分析】先计算出，然后利用函数的奇偶性即可完成.【详解】，因为函数是定义在上的奇函数，所以，故选：B.3.若为实数，则是的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】通过举例分析可以得到结论.【详解】举例令满足，但是，不能推出；同理令满足，但是不满足；综上所述是的既不充分也不必要条件，故选：D.4.已知函数若，则实数（）A.－5 B.5 C.－6 D.6【答案】A【解析】【分析】先求，再由列方程求解即可.【详解】由题意可得，因为，即，所以，得，故选：A5.如果函数对任意满足，且，则（）A.2022 B.2024 C.2020 D.2021【答案】A【解析】【分析】根据题目规律，先求出，进而求得答案.【详解】根据题意，令，则，所以，因为2,4,6，…，2022共有个数，所以.故选：A.6.已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过时，恒成立可得到在上递增，通过是偶函数可得到图象关于直线对称，即可求出答案【详解】解：∵当时，恒成立，∴当时，，即，∴函数在上为单调增函数，∵函数是偶函数，即，∴函数的图象关于直线对称，∴，又函数在上为单调增函数，∴，即，∴，故选：B．7.已知，，若时，关于x的不等式恒成立，则实数的最小值是（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】设，，由一次函数以及不等式分析变形后代入，然后利用基本不等式求解.【详解】解：设，，因为，所以当时，，当时，，根据不等式，可知或对于，必有，即，则当时，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：D.8.研究问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，有如下解法：解：由，令，则，所以不等式的解集为.参考上述解法，已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题中所给不等式的解法，将所求不等式变形成已知不等式，即可得出答案.【详解】解：由，得，令，因为方程的解集为，又，所以，所以关于的不等式的解集是.

故选：A.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知均为实数，则下列命题正确的是（）A.若则.B.若则.C.若，则D.若，则【答案】AD【解析】【分析】由不等式的性质，逐个判断选项.【详解】若，则，又，则，A选项正确；若，满足，但，不成立，B选项错误；若，，满足，但，不成立，C选项错误；，则，又，∴，即，D选项正确.故选：AD10.如果关于的不等式的解集为，那么下列数值中，可取到的数为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】CD【解析】【分析】根据不等式的解集与对应二次函数的关系，求得的取值范围，即可根据选项进行选择.【详解】由题设知，对应的，即，故，所以数值中，可取到的数为1，2.故选：.11.下列说法不正确的是（）A.函数在定义域内是减函数B.若是奇函数，则一定有C.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是D.若的定义域为，则的定义域为【答案】ABC【解析】【分析】A选项，单调区间不能用号连接，即在定义域不是单调递减函数，A错误；B选项，可举出反例；C选项，分段函数单调递增，则在每段上函数均单调递增，且在端点处，左边函数值小于等于右边函数的值；D选项，利用抽象函数求定义域的方法进行求解.【详解】函数在和上都是减函数，但在定义域上不是减函数，故A不正确；当是奇函数时，可能无意义，比如，故B不正确；因为是增函数，所以，解得，故C不正确；因为的定义域为，所以，解得，即的定义域为，故D正确.故选：ABC.12.对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①在内单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域为，那么，把称为定义域内的闭函数，下列结论正确的是（）A.函数是闭函数 B.函数是闭函数C.函数是闭函数 D.函数是闭函数【答案】ABD【解析】【分析】分别判断各个选项中函数的单调性，由单调性可确定最值，由值域可构造方程组确定是否存在满足题意的区间，从而得到结论.【详解】对于A，在上单调递增；当时，，则函数是闭函数，A正确；对于B，在上单调递减；又，，令，解得：，，当时，，则函数是闭函数，B正确；对于C，在上单调递增，但在内不是增函数，不符合闭函数定义，C错误；对于D，定义域为，且在上单调递增；又，，令，是方程的两个不等实根，整理可求得或，当时，，则函数是闭函数，D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题关键是充分理解闭函数的定义，通过函数单调性得到函数定义域和值域的关系，由此构造方程组可确定的取值，从而确定函数是否满足闭函数定义.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设集合，若把集合的集合叫做集合的配集，则的配集有___________个.【答案】4【解析】【分析】直接按定义求出符合条件的集合，计算个数，得到答案.【详解】解：由题意，M可以是，，，，共4个.故答案为：4.14.已知定义在R上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是___________.【答案】或【解析】【分析】根据函数的奇偶性及单调性可得，进而即得.【详解】因为定义在R上的偶函数在上为减函数，由，得，所以，所以，整理得：，解得：或，所以实数的取值范围是或.故答案为：或.15.已知为非负数，且满足，则的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】根据，再利用基本不等式即可得解.【详解】解：，因为，所以，当且仅当时，取等号，所以的最大值为.故答案为：.16.函数，若对，都有，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】对，都有，即对，恒成立，分，，和四种情况讨论，求出的最值，从而可得出答案.【详解】解：对，都有，即对，恒成立，，当时，，则，解得，当时，，则，解得，当时，，则，解得，当时，，则，解得，综上所述，实数的取值范围为.故答案为：.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程取演算步骤.17.已知命题，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A.（1）求集合A；（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式所对应的方程的判别式即可求解；（2）讨论是否是空集，以及是的真子集列不等式组，解不等式组即可求解.【小问1详解】因为命题：，为真命题，所以方程的，解得：，即.【小问2详解】又因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，当时，应满足，解得.此时是的真子集，故满足题意.当时，应满足，解得.因为是的真子集，所以且不能同时取等号，解得：，综上实数的取值范围为.18.已知函数是上的偶函数，当时，（1）当时，求函数的解析式；（2）用单调性定义证明函数在区间上是单调增函数.【答案】（1）时，（2）见解析【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质以及已知区间上的解析式即可求解，（2）由单调性的定义即可证明.【小问1详解】当时，则，所以，由于是偶函数，故，故时，【小问2详解】任取，且，所以，由于，所以，故，即，所以在区间上是单调增函数.19.已知，，且，.（1）求的最小值；（2）若恒成立，求的最大值.【答案】（1）8（2）4【解析】【分析】（1）利用等式关系和基本不等式即可求出答案；（2）先分离常数，再利用基本不等式求解即可.【小问1详解】解：：因为，，，所以，当且仅当即时，等号成立.所以的最小值为8【小问2详解】解：因为，所以，由可得，由（1）可知的最小值为8，所以，所以，所以的最大值为4.20.某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷酒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：天）变化的函数关系式近似为若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.（1）若一次喷洒个单位的去污剂，则去污时间可达几天？（2）若第一次喷洒个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的4天能够持续有效去污，求的取值范围.【答案】（1）8天（2）【解析】【分析】（1）根据空气中去污剂的浓度不低于，直接列出不等式，然后解出不等式即可；（2）根据题意，列出空气中去污剂浓度关于时间的关系式，然后利用基本不等式放缩，并解出不等式即可.【小问1详解】解：当时，，解得，当时，，解得，综上可得：，故去污时间可达8天；【小问2详解】解：设从第一次喷洒起，第天，空气中去污剂的浓度为：，当且仅当，即时，取等号，则，又，解得：.21.已知二次函数的图象过点，且.（1）求的解析式；（2）已知.，求函数在上的最小值（直接写出答案）；（3）若，若函数在上是单调函数，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）或或【解析】【分析】（1）由，可得函数关于对称，从而可求得，再利用待定系数法求即可；（2）去绝对值符号得，再分，和三种情况讨论即可；（3）取绝对值符号可得，再分，和三种情况讨论，求出函数的单调区间，结合已知即可得解.【小问1详解】解：因为，所以函数关于对称，则，所以，又，即，所以，所以；【小问2详解】解：，即，由，当时，令，即，解得（舍去），当时，，当时，，当时，，综上所述；【小问3详解】解：，当时，上递增，符合题意；当时，则，此时函数在上递增，在上递减，则或或，解得；当时，，则函数在上递增，在上递减，则或或，解得，综上所述，的取值范围为或或.【点睛】本题考查了函数的对称性及求二次函数的解析式，考查了分段函数和二次函数的最值问题，考查了根据函数在区间上的单调性求参数的取值范围，考查了分类讨论思想，有一定的难度.22.设是定义在[m，n]（）上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，[m，n]称为含峰区间.（1）试判断是否为[0，6]上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由；（2）若（，a、b、）是定义在[m，3]上峰点为2的“含峰函数”，且值域为[0，4]，求a的取值范围；（3）若是[1，2]上的“含峰函数”，求t的取值范围.【答案】（1）是[0，6]上的“含峰函数”，峰点为3；（2）详见解析；（3）【解析】【分析】（1）以一元二次函数的单调性进行判断即可解决；（2）先满足单调性要求，再满足值域的要求，逐步递进即可解决；（3）在按参数t分类讨论时要注意不重不漏的原则，逐步求得t的取值范围.【小问1详解】函数的图像是开口向下，对称轴为的抛物线则在区间上严格增函数，在区间上是严格减函数，故是[0，6]上的“含峰函数”，峰点为3.小问2详解】记函数，，则在区间[m，2]上是严格增函数，在区间上是严格减函数，则有，解之得则，；令，可得，则有，则在上严格递增，在上严格递减，，由在[m，3]上值域为，可知时，符合题意.令，则或（舍去）此时，则在上严格递增，在上严格递减，，由在[m，3]上值域为，可知，解之得综上，当时，a的取值为；当时，a的取值范围是.【小问3详解】记，设任意，且则当时，由，且可知，