高考数学 数系的扩充与复数的引入课后作业 文 新人教A版

课后作业(二十八)数系的扩充与复数的引入一、选择题1．(2012·山东高考)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为()A．3＋5i B．3－5iC．－3＋5i D．－3－5i2．(2012·江西高考)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为()A．0 B．－1 C．1 D．－2图4－5－33．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数eq\f(z,1＋i)的点是()A．E B．FC．G D．H4．(2012·合肥模拟)若复数eq\f(sinα－i,2＋i)(－eq\f(π,2)≤α≤eq\f(π,2)，i为虚数单位)是纯虚数，则角α的值为()A.eq\f(π,6) B．－eq\f(π,6)C．0 D．－eq\f(π,2)5．(2013·哈尔滨模拟)已知复数z1＝1－eq\r(3)i，z2＝2eq\r(3)－2i，则z1·z2等于()A．8 B．－8 C．8i D．－8i6．若z＝cosθ＋isinθ(i是虚数单位)，则z2＝－1的θ值可能是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4) C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)二、填空题7．(2013·深圳模拟)若复数(a＋i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是________．8．已知i是虚数单位，则i＋i2＋i3＋…＋i2013＝________．9．已知复数z1＝cos23°＋isin23°和复数z2＝cos37°＋isin37°，则z1·z2＝________．三、解答题10．(2013·上海模拟)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.11．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．12．已知z是复数，z＋2i，eq\f(z,2－i)均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解析及答案一、选择题1．【解析】∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝eq\f(11＋7i,2－i)＝eq\f(（11＋7i）（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝eq\f(15＋25i,5)＝3＋5i.【答案】A2．【解析】∵z＝1＋i，∴z＝1－i，z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0.【答案】A3．【解析】由图可得z＝3＋i，∴eq\f(z,1＋i)＝eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(（3＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i.对应的点为(2，－1)，即点H.【答案】D4．【解析】eq\f(sinα－i,2＋i)＝eq\f(（sinα－i）（2－i）,5)＝eq\f(2sinα－1,5)－eq\f(sinα＋2,5)i，∵该复数为纯虚数，∴2sinα－1＝0，∴sinα＝eq\f(1,2)，又－eq\f(π,2)≤α≤eq\f(π,2)，故α＝eq\f(π,6).【答案】A5．【解析】∵z1＝1＋eq\r(3)i，z2＝2eq\r(3)＋2i，∴z1·z2＝(1＋eq\r(3)i)(2eq\r(3)＋2i)＝2eq\r(3)＋2eq\r(3)i2＋6i＋2i＝8i.【答案】C6．【解析】∵z2＝(cosθ＋isinθ)2＝cos2θ－sin2θ＋2isinθcosθ＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos2θ＝－1，,sin2θ＝0，))∴θ＝eq\f(π,2)时符合要求，故选D.【答案】D二、填空题7．【解析】(a＋i)2＝a2－1＋2ai，由题意知a2－1＝0且2a＜0，∴a【答案】－18．【解析】∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，∴i＋i2＋i3＋…＋i2013＝i.【答案】i9．【解析】z1·z2＝(cos23°＋isin23°)(cos37°＋isin37°)＝(cos23°cos37°－sin23°sin37°)＋i(cos23°sin37°＋sin23°cos37°)＝cos60°＋isin60°＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i.【答案】eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i三、解答题10．【解】∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝eq\f(1－i,1＋i)＋2＝eq\f(（1－i）2,2)＋2＝2－i，设z2＝a＋2i(a∈R)，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i又z1·z2是实数，∴a＝4，从而z2＝4＋2i.11．【解】如图，z1、z2、z3分别对应点A、B、C.∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))所对应的复数为z2－z1＝(－2＋i)－(1＋2i)＝－3－i，在正方形ABCD中，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(DC,\s\up6(→))所对应的复数为－3－i，又eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))所对应的复数为z3－(－3－i)＝(－1－2i)－(－3－i)＝2－i，∴第四个顶点对应的复数为2－i.12．【解】设z＝x＋yi(x，y∈R)，z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.eq\f(z,2－i)＝eq\f(x－2i,2－i)＝eq\f(1,5)(x－2i)(2＋i)＝eq\f(1,5)(2x＋2)