河北省2021届高三鸿浩超级联考数学试卷 含解析

河北省2021届高三数学鸿浩超级联考试卷

一、单选题（共8题；共40分）

1.已知集合M={（%,y）|%-y=0},N={（居y）|y=/},贝ijMnN中元素的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

2.已知MR,捻+*=1，则Q+力=()

A.2B.V3C.V2D.1

3.已知a,p是两个不同的平面，m,"是平面a和B之外的两条不同的直线，且aA.p,n1./3,，则

"m//n"是"m//a"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知双曲线1（/,>0）的渐近线方程为y=,则E的焦距等于（）

A.V2B.2C.272D.4

5.在菱形ABCD中，AB=1,ZBAD=60°，设荏=at~BC=b,CD=cfDA=d，则d-b+b-c+a-

d4-a-c=（）

31

A.-1B.—C.—D.0

22

6.5名同学到甲、乙、丙3个社区协助工作人员调查新冠疫苗的接种情况，若每个社区至少有1名同学，每

名同学只能去1个社区，且分配到甲、乙两个社区的人数不同，则不同的分配方法的种数为（）

A.60B.80C.100D.120

7.如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的

倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应的方程为|y|=（2-i［^］）|sinwx|（0<

X<2TI）其中记［x］为不超过x的最大整数），且过点P（；,2）,若葫芦曲线上一点M到y轴的距离

为y，则点M到x轴的距离为（）

2B-T《D-T

8.已知函数/（尤）=^若函数y=/（八»）-a有且只有1个零点，则实数a的取值范围

5JK%），X<U,

是（）

A.（-8,-1）u[2,+叼

B.（-8,0）U[4,+8）

C.（一8,1）u[4,+8）

D.（-8,1）u[2,+8）

二、多选题（共4题；共20分）

9.某网络销售平台，实施对口扶贫，销售某县扶贫农产品.根据2020年全年该县扶贫农产品的销售额（单位:

万元）和扶贫农产品销售额占总销售额的百分比，绘制了如图的双层饼图.根据双层饼图（季度和月份后面标

注的是销售额或销售额占总销售额的百分比），下列说法正确的是（）

12JJ:6%

11月：10%

8月：10%

A.2020年的总销售额为1000万元

B.2月份的销售额为8万元

C.4季度销售额为280万元

D.12个月的销售额的中位数为90万元

10.已知a,b>0,a+b=1,贝U（）

A.2a~b>2B.logi（aZ?）>2C.ab>(2-a)bD.a+b2>-

24

11.数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，

它的原意是"旋卷"或"缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于

螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH,且使得

ZBEF=15°;再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ,且使得ZFMN=15";类似地，依次进

行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第0个正方形的边长为an（其中第1个正方形ABCD的

边长为ai=AB,第2个正方形EFGH的边长为a2=EF第n个直角三角形（阴影部分）的面积

为Sn（其中第1个直角三角形AEH的面积为Si,第2个直角三角形EQM的面积为S2,...）,贝I」（）

A.数列｛an｝是公比为|的等比数列

B.S=—

x112

C.数列｛Sn｝是公比为2的等比数列

D.数列｛Sn｝的前n项和7；

222

12.已知椭圆C：W+，=l（a>b>0）的左、右焦点分别为F1,F2,P是圆O-.x+y=a上且不在x轴

上的一点，且xPg的面积为苧炉.设C的离心率为e,^F1PF2=6，则（）

A.IPFJI+\PF2\>2aB而•福=abC.ee[^,1）D.tan。=等

三、填空题（共4题；共20分）

13.在平面直角坐标系中，角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，若0<a<7T,点

P（l-taM/2ta吟）在角戊的终边上，则角.（用弧度表示）

14.已知/（x）是定义在（一8,o）u（0,+功）上的奇函数，当x>0时，/（工）=e*T—1,则曲线y=

/（%）在点（-lj（-l））处的切线方程为.

15.光明中学为做到学校疫情防控常态化，切实保障学生的身体健康，组织1000名学生进行了一次“防疫知

识测试”（满分100分）.测试后，对学生的成绩进行统计和分析，结果如下：学生的平均成绩为元=80,方

2

差为s=4.82.学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰.假设学生的测试成绩X近似服从正态分布

N（出。2）（其中〃近似为样本平均数无M近似为样本方差s2,则估计获表彰的学生人数为

.（四舍五入，保留整数）参考数据：随机变量Z服从正态分布NW，。?）,则有-a<Z<M+

o'）=0.6827,PQi—2c<Z</z+2cr）=0.9545,P（g—3<r<Z</z+3a）=0.9973.

16.在三棱柱ABC-A^B^中，底面ABC,底面ABC为正三角形，。是BC的中点，若半径

为1的球。与三棱柱ABC-的三个侧面以及上、下底面都相切，则BC=；若直线A.D

与球。的球面交于两点M,N,则MN=.

四、解答题（共6题；共70分）

17.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且+a10=13,Sn=66.

(1)求(an］的通项公式；

(2)已知=l,anbn+1-an+1bn=1,设▲,求数列｛cn｝的通项公式.

在①%，②/=竽，③d=号i这3个条件中，任选一个解答上述问题・

注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分.

18.某市甲、乙两个企业都生产某种产品，贸易部门为将该种产品扩大市场份额，推向国内外，创造更高的

收益，准备从甲、乙两个企业中选取优质的产品，参加2021年的广交会.现从甲、乙两个企业中各随机抽取

5件产品进行质量检测，得到质量指数如下表：

甲9089938791

乙9189908892

规定：质量指数在90以上(包括90)的视为"优质品"，质量指数低于90的视为“合格品”以此样本估计总体,

频率作为概率，求解以下问题：

(1)若从甲、乙两个企业的优质品中随机取出2件去参加2021年的广交会，求取出的2件优质品恰好都

是甲企业的优质品的概率；

(2)从乙企业的5件产品中随机取出1件，若为合格品则另放入1件优质品，直到取出的是优质品，求

取得合格品次数X的分布列和期望；

(3)若两个企业中只能选一个企业参加这次广交会，如果你是该市贸易部门的负责人，从产品质量的稳

定性方面考虑，你会选择哪个企业？

19.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2/，2a-c=bcosC.

(1)求8；

(2)如图，圆。是4人鸟。的外接圆，延长AO交BC于点H,过圆心。作OGJ.04交BC于点

G,且OG=迎.求。”的长.

20.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAD为等腰直角三角形，PA1PD,

E为BC的中点，且PE=百.

p

(1)求证：平面PDE1平面PAD；

(2)求平面PAD与平面PCD所成锐二面角的余弦值.

21.已知抛物线。:必=2px(9>0)的焦点为F,C上一点G到尸的距离为5,到直线x=-1的距离

为5.

(1)求C的方程；

(2)过点F作与x轴不垂直的直线/与C交于A,B两点，再过点A,B分别作直线/的垂线，与x

轴分别交于点P,Q,求四边形APBQ面积的最小值.

22.已知函数/(x)=g(lnx)2+哼1(卜eR).

(1)当k=0时，求证：/(x)<1；

(2)当k力0时，讨论f(x)零点的个数.

答案解析部分

一、单选题(共8题；共40分)

1.已知集合M={(x,y)|%-y=0},N={(x,y)|y=%3},则MnN中元素的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【考点】集合的含义，交集及其运算

【解析】【解答】因为集合M={(%y)|x-y=0},N={(居y)|y=7},

y=x

所以MnN={(x,y)|{3}={(0,0),(l,l),(-l,-l)}，

y-x

所以4nB中元素的个数为3,

故答案为：D

【分析】先求出MnN={(0,0),(1,1),(-1,-1)}即可确定个数。

2.已知a,b&R,—：H-:=1,则a+b=()

1+11-1

A.2B.V3C.V2D.1

【答案】A

【考点】复数代数形式的乘除运算

【解析】【解答】因为三+白=1,

1+11-1

所以0(1)+=1

所以(a+b)-F(b-a)i=2,

所以隹+。=3所以，所以a+b=2.

b-a=0o=l

故答案为：A.

【分析】将原等式化为(a+b)+(b—a)i=2,再由复数相等的条件求解。

3.已知是两个不同的平面，m,c是平面a和。之外的两条不同的直线，且al£,nl0,则

"m//n"是"m//a"的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，平面与平面垂直的性

质

【解析】【解答】充分性：因为nip,m//n,所以mJ.。，又因为a10,所以m//a或mua,

又因为m是平面a和£之外的直线，所以m//a；

必要性：因为a工。，m//a,所以m//p或与£相交或mu0,又因为n上0,所以m与

n平行，相交，异面，所以必要性不成立；

所以〃m//n〃是〃m//a"的充分不必要条件.

故答案为：A.

【分析】由a工仇n工B，rn//n且m在平面a外，能推出m〃a,所以条件充分；

反之，由a_LS，n_LS,m//a,并不能推出m//n,故条件不必要，故选A

4.已知双曲线E：9—\=l(b>0)的渐近线方程为y=士生,则E的焦距等于()

A.V2B.2C.2V2D.4

【答案】D

【考点】双曲线的简单性质

【解析】【解答】双曲线E1(6>0)的渐近线方程为y=+立x,可得：b=l,

W3-^b2=''z—3

所以c=7a2+炉=丁3+1=2，所以焦距为2c=4.

故答案为：D

【分析】由渐近线方程，可以直接求得b,再根据c=求得C。

5.在菱形4BCD中，AB=1,ZBAD=60°，设荏=①瓦1=3,方=3,石5=3，则2j.2+心

d4-a-c=()

3I

A.-1B.—C.—D.0

22

【答案】B

【考点】平行向量与共线向量，平面向量数量积的运算

【解析】【解答】如图，

由于在菱形ABCD中，AB=1,ZBAD=60°，

所以<存，近>=<2族>=60。，<BC,CD>=<b,c>=120°,<AB,DA>=<a,d>=120°

<AB,CD>=<a,c>=1800,且|a|=\b\=|c|=\d\=1;

所以a-b=|a|­|b|cos<a,b>lxlxi=|；b-c=\b\'|c|cos<6,c)=1x1x(—=-；;a-

d.=\a\■|d|cos(a,d)=1x1x(—|)=—|；a-c=|a|­|c|cos{a,c)=1x1x(—1)——1.

所以a-b+6-c+a-d+a-c=|-|-|-l=-|.

故答案为：B.

【分析】先由四边形是菱形，AB=1,ZBAD=60°，求出各向量的夹角，再根据向量的数量积求

结果。

6.5名同学到甲、乙、丙3个社区协助工作人员调查新冠疫苗的接种情况，若每个社区至少有1名同学，每

名同学只能去1个社区，且分配到甲、乙两个社区的人数不同，则不同的分配方法的种数为()

A.60B.80C.100D.120

【答案】C

【考点】古典概型及其概率计算公式

【解析】【解答】根据题意，分2种情况讨论：

①将5人分为1、1、3的三组，

此时5人分三组有a=10种分组方法，

分配到甲、乙两个社区的人数不同，有6掰=4种情况，

则此时有10x4=40种分配方法；

②将5人分为1、2、2的三组，

此时5人分三组有空0=15种分组方法，

分配到甲、乙两个社区的人数不同，有6房=4种情况，

则此时有15X4=60种分配方法；

则有40+60=100种分配方法,

故答案为：C

【分析】由排列组合公式求解。

7.如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线(也像湖面上高低起伏的小岛在水中的

倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线)，它对应的方程为

|y|=(2-i[^])|sinwx|(0<

X<2TT)其中记[x]为不超过x的最大整数)，且过点P©,2),若葫芦曲线上一点M到y轴的距离

为y，则点M到x轴的距离为()

NB-T

【答案】B

【考点】五点法作函数y二Asin(u)x+4))的图象

【解析】【解答】因为仅|=(2—月争)33%|(04%«2兀)过点P(：,2),

代入可得2=(2-i[1])|sin^|=2|sin^|,所以|sin詈|=1,

所以sin?=±l,解得苧="+其keZ),即aj=4k+2(kGZ),

由图象可知|y|上下对称，所以T=?X4=TT,

所以k=0,3=2,

所以1训=(2-氐争)32砧04%。2兀),

因为点M到y轴的距离为Y,即％=早，

当*若时，切=(2一/x争)|m2/|=(2-03)岫等l=：x?*.

所以点M到x轴的距离为更

4

故答案为：B

【分析】先将点P坐标代入推得|sin詈1=1,利用该条件及|训图象上下对称，即可求得T；

8.已知函数/(尤)=&_[之若函数丫=/(〃>))一。有且只有1个零点，则实数。的取值范围

是()

A.u[2,+河

B.(-8,0)U[4,+8)

C.(-8,1)u[4,+8)

D.(-8,1)U[2,+8)

【答案】C

【考点】函数的图象，分段函数的应用，函数零点的判定定理

【解析】【解答】由函数/(X)={3_2^^<0,

当尤<0时，/(x)=3-/(-%)=3-G尸.

作出/(x)的图像如图所示：

令以x)=t,teR,

因为有且只有一个根，

/(t)=a

所以，当122时，对应的x只有一个解，此时/(t)>4,即aN4；

当t<-l时，对应的x只有一个解，此时/(t)<1,即a<l；

综上所述：实数a的取值范围是(-8,1)u[4,+8).

故答案为：C

【分析】先作出分段函数的图象，当我们令/(x)=t,tCR,即可得到f(t)=a有且只有一个根，然

后对t分类讨论，进一步求得a的取值范围。

二、多选题(共4题；共20分)

9.某网络销售平台，实施对口扶贫，销售某县扶贫农产品.根据2020年全年该县扶贫农产品的销售额(单位:

万元)和扶贫农产品销售额占总销售额的百分比，绘制了如图的双层饼图.根据双层饼图(季度和月份后面标

注的是销售额或销售额占总销售额的百分比)，下列说法正确的是()

12月：6%1月：5%

A.2020年的总销售额为1000万元

B.2月份的销售额为8万元

C.4季度销售额为280万元

D.12个月的销售额的中位数为90万元

【答案】A,C

【考点】用样本的频率分布估计总体分布

【解析】【解答】对A：根据双层饼图得3季度的销售额和为300万元，3季度的销售额占总销售额的百

分比之和为30%,所以2020年的总销售额为翳=1000(万元)，A符合题意；

对B：2月份销售额为1000X(^X100%-5%—6%)=5()(万元)，B不符合题意；

对C：4季度销售额为1000X28^=280(万元)，C符合题意；

对D：根据双层饼图得12个月的销售额从小到大(单位：万元)：50,50,60,60,60,80,90,100,100;110,120,120,

所以12个月的销售额的中位数为：(80+90)=85(万元)，D不符合题意.

故答案为：AC.

【分析】对于A,根据第三季度所占总销售额的比率，可以计算出总销售额是1000,所以A正确；

对于B,先求出二月份占销售的比例，再求销售额是50万元，所以B错；

对于C,根据四季度所占比例，求得销售额为280万元，所以C正确；

对于D,分别计算出每个月的销售额，再把它们按从小到大的顺序排列，计算出中位数是第六位和第七位

数的平均值：85万，所以D错。

10.已知a,b>0,a+b=-l,则()

A.2a-b>2B.I°gjab)>2c.aft>(2-a)6D.a+b2>^

【答案】B,D

【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】对A：当a=b=：时，=2°=1<2,即2-b<2,A不符合题意；

对B：因为a+b=l,a+b>2痴，所以122而，即0<abW：,由于y=loglx在R上单

42

调递减，所以logi(ab)>2,B符合题意；

2

对C：当a=b=：时，心=(芋，(2-a)b=(2-芋=(|6，又由于y=/在R上单调递增，所

以(弟<(|)；即4<(2—a)b,C不符合题意；

对D：a+(1-a)2=a2—a+l=(a—^)2+|>1,D符合题意.

故答案为：BD.

【分析】对于A,取特殊值a=b=：，得到2。4=1<2,故A错；

对于B,由基本不等式得到0<abW：,再由对数函数的单调性，得到B正确；

4

对于C,取特殊值a=b=：及幕函数的单调性，可以推出C错；

对于D,利用b=l-a,消元得到a+（1-a）2=a2-a+1>:，故D正确。

11.数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，

它的原意是"旋卷"或"缠卷".小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于

螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得

ZBEF=15°;再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ,且使得ZFMN=15°;类似地，依次进

行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为an（其中第1个正方形ABCD的

边长为a1=AB,第2个正方形EFGH的边长为a2=EF,...）,第n个直角三角形（阴影部分）的面积

为Sn（其中第1个直角三角形AEH的面积为Si,第2个直角三角形EQM的面积为S2贝晨）

A.数列｛an｝是公比为|的等比数列

B.S]=—

112

C.数列｛Sn｝是公比为J的等比数列

D.数列｛Sn｝的前n项和7；

【答案】B,D

【考点】等比数列，等比数列的前n项和

【解析】【解答】如图：

由图知an=an+1(sinl5+cosl5)=an+1xV2sin(15+45)=yan+i，

对于A：an=v«n+i，"—=T-数列｛an｝是公比为渔的等比数列，A不正确;

2Cln33

对于BC:因为^=1X（勒T=（勒T,所以Sn=逋三运=滤尸一（|）"]"*钞'

所以数列｛S"｝是首项为专，公比为|的等比数列，B符合题意，C不正确；

对于D：因为〃=出兽1=：口一（|）2]<：,D符合题意，

3

故答案为：BD.

【分析对于A,由条件可得即:与….,.%!=乎,公比是由，所以A错;

2Un33

对于B,C,由A知通项公式是斯=（半）n-1,于是B正确，而C不正确；

对于D,可以由通项公式与=（曰）n-1,进一步求得前n项的和Tn.再可以证明结论正确。

222

12.已知椭圆C:马+4=l（a>b>0）的左、右焦点分别为F1,F2IP是圆O\x4-y=a上且不在x轴

上的一点，且△P&F2的面积为苧川.设C的离心率为e,^F1PF2=6，则（）

A.\PFr\+\PF2\>2aB而•丽=abC.e6[^,1）D.tan。=竽

【答案】A,C

【考点】圆的标准方程，椭圆的标准方程，圆与圆锥曲线的综合

【解析】【解答】如图，

连接P&,，设PP2交椭圆于Q，则IQ&I+\QF2\=2a,

|PFi|+\PF2\=〔PF/+\PQ\+]QF2\>|Q6|+\QF2\=2a,故A正确;

设P^acosa,asina),&(—c,0),F2(G0),

PF1=(—c—acosa,—asina),PF2=(c-acosa,—asina),

PF；•PF；=Q2cos2a—c2+a2sin2a=a2—c2=b2<ab,故8错误；

设P(xp,yP),则SAPF1F2=F2I•\yP\=\ac-sina|&ac,

222

又&PFrF2的面积为日炉,yftac,即V3(a—c)<2ac>

：.V3e2+2e-V3>0,又0<e<l,<e<1,故C正确；

2

由PK-PK=\PK\\PK\coS9=b，SAP&FZ=：l丽II耐Isin。=到2，

两式作商可得：tan8=g，故D错误.

故答案为：AC

【分析】对于A,由椭圆的定义有IQ&I+IQF2I=2a,显然［PF/+IPF2I>2a,即A正确；

对于B,引进参数a,设P(acosa,asina),借助向量的数量积，可以得到B错；

对于C,由SAPFFZ=?内尸21•|洞=|ac♦sina|4ac,而4PF1F2的面积为攻/，建立不等式，

z2

即可求得出《e<l，故C正确；

3

对于D,由丽•耐=|丽j|而|cos"b2及SAP&FZ=不丽'll国|sinJ=骨2可以得到tan”雪，故

D不正确。

三、填空题(共4题；共20分)

13.在平面直角坐标系中，角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，若0<。<兀，点

P(l-tan2a2tan为在角戊的终边上，则角.(用弧度表示)

【答案】=

O

【考点】任意角三角函数的定义，同角三角函数间的基本关系

【解析】【解答】因为点尸(1一tan2?2tan6在角戊的终边上，

所以由三角函数的定义知tana=­，治=tan(2x9)=tang=f,

l-tanz—、12z63

又0VaV7T,

所以a=B.

o

故答案为：

7o.

【分析】由tana=Z=更邓可得到结果。

X3

14.已知/(x)是定义在(-吗0)U(0,+8)上的奇函数，当x>0时，/(x)=ex-1-1,则曲线y=

f(x)在点(一1,/(一1))处的切线方程为.

【答案】x-y+1=0

【考点】函数奇偶性的性质，导数的几何意义

【解析】【解答】由/(X)是(-8,0)U(0,+8)上的奇函数，

当x<0时，-X>0,/(x)=-/(-x)=-e-x-1+1,

则f(x)=e-z-1>可得f(-1)=e1-1=1,/(_1)=0,

故f(x)在(-lj(-l))处的切线方程为y-0=(x+1),即x-y+l=0,

故答案为：%-y+l=0.

【分析】由函数是奇函数，且x>0时，/（X）=-1,求出x<0的解析式，再利用导数求切

点处的斜率，进一步求切线的方程。

15.光明中学为做到学校疫情防控常态化，切实保障学生的身体健康，组织1000名学生进行了一次“防疫知

识测试”（满分100分）.测试后，对学生的成绩进行统计和分析，结果如下：学生的平均成绩为x=80,方

差为s2=4.82.学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰.假设学生的测试成绩X近似服从正态分布

N（〃e2）（其中〃近似为样本平均数元/近似为样本方差S?,则估计获表彰的学生人数为

.（四舍五入，保留整数）参考数据：随机变量Z服从正态分布NW«2）,则有一〃+

a）=0.6827,P（ji-2a<Z<n+2a）=0.9545,P（〃-3。<ZW〃+3。）=0.9973.

【答案】23

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义

【解析】【解答】因为学生的平均成绩为x=80,方差为s2=4.82,所以X近似服从正态分布

A/（80,4.82）,

1

-x[1-P(80-2x4.8<X<80+2x4.8)]

1

-x[1-P(70.4<X<89.6)]

-x[1-0,9545]=0.02275

所以成绩不低于90分的学生有1000x0.02275=22.75«23（人）.

故答案为：23.

【分析】先确定X近似服从正态分布N（80,4.82）,然后由正态分布的知识求结果。

16.在三棱柱ABC-ABC1中，AAt1底面ABC,底面ABC为正三角形，。是BC的中点，若半径

为1的球。与三棱柱ABC-的三个侧面以及上、下底面都相切，则BC=；若直线A.D

与球。的球面交于两点M,N,则MN=.

【答案】2次；纪史

13

【考点】球面距离及相关计算，棱柱、棱锥、棱台的体积

【解析】【解答】由题意可知，作出草图，如下图所示：

作三棱柱ABC-A^C1中的中截面，如下图所示,

O.

则球。的大圆与底面正三角形相内切，由于球。的半径为1,所以该正三角形的边长为2X素=28，

6

故BC=2百；

取BG的中点5,连接DD],则AD.DDy与球。相切，如下图所示：

以D为坐标原点，D4为无轴，DDr为y轴，建立如图所示的直角坐标系

设ArD与球。相较于MN两点，

由（1）可知AD=BDtan^=^BCtan^=3

球。与三棱柱ABC-AxBrCr的三个侧面以及上、下底面都相切

所以441=2x1=2,所以直线DA1的方程为y=gx,

圆。的方程为Q-1）2+⑶-=1,

所以圆心。到直线MN的距离为4=1曰=普，

所以MN=2VT『=粤.

故答案为：2g;逅.

13

【分析】（1）依题意，三棱柱是正三棱柱，其高等于球的直径2,底面三角形的内切圆半径即为球的半

径1,进一步利用直角三角形的边角关系，即可求得边长BC；

（2）如图，建立平面直角坐标系解题，定义相关点的坐标，写出圆的方程及直线MN的方程，利用点到

直线的距离公式及勾股定理进一步通过计算MN的长度。

四、解答题（共6题；共70分）

17.已知等差数列｛为3的前n项和为S",且+a10=13,S11=66.

（1）求｛an｝的通项公式；

（2）己知bj=l,anbn+1-an+1bn=1,设▲,求数列｛cn｝的通项公式.

在①％=曰，②％=竽，③4=与1i这3个条件中，任选一个解答上述问题.

注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分.

【答案】（1）设等差数列｛斯｝的公差为d,

.Ln=1?2%+lid=13—1

由题意可得：｛n的;艺2/工即卜..^11X10将，解得令n一1，

=66$1=Ila14------=66d=1

所以an=Qi+（n-l）d=n,

即｛Q/i｝的通项公式为an=n.

（2）由（1）知，an=n,所以anbn+1-an+1bn=1,

即曲+】一（n+l）bn=l，两边同除以n（n+l）得：智一勺=焉行=；一六

所以=63匕2_11如__1_工

32-23nn-1n-1n

累加得：-—-=1--,

n1n

所以bn=2n—1,对n=l也成立，所以bn=2n—1.

选条件①：cn=事，所以cn=W二=2-3即数列｛d｝的通项公式为cn=2-i；

选条件②“=空，所以。=口券=2,即数列｛4｝的通项公式为5=2；

选条件③/=¥，所以％=三尸=2-：，即数列｛5｝的通项公式为d=2-：.

【考点】等差数列，等差数列的通项公式

【解析】【分析】（1）将已知条件a3+aio=13,Sii=66.用ai,d表示，列方程组求得ai,d,进一步得

到通项公式；

（2）若选条件①，利用己知条件，可得到cn=2-i„

若选条件②5=第，则可得到%=2；

若选条件③0=写，则可得到cn=2-.

18.某市甲、乙两个企业都生产某种产品，贸易部门为将该种产品扩大市场份额，推向国内外，创造更高的

收益，准备从甲、乙两个企业中选取优质的产品，参加2021年的广交会.现从甲、乙两个企业中各随机抽取

5件产品进行质量检测，得到质量指数如下表：

甲9089938791

乙9189908892

规定：质量指数在90以上（包括90）的视为“优质品"，质量指数低于90的视为“合格品”以此样本估计总体,

频率作为概率，求解以下问题：

（1）若从甲、乙两个企业的优质品中随机取出2件去参加2021年的广交会，求取出的2件优质品恰好都

是甲企业的优质品的概率；

（2）从乙企业的5件产品中随机取出1件，若为合格品则另放入1件优质品，直到取出的是优质品，求

取得合格品次数X的分布列和期望；

（3）若两个企业中只能选一个企业参加这次广交会，如果你是该市贸易部门的负责人，从产品质量的稳

定性方面考虑，你会选择哪个企业？

【答案】（1）甲企业优质品有3件，乙企业优质品有3件，

所以取出的2件优质品都是甲企业的概率为P=国="

（2）根据题意知，随机变量X的可能取值为0、1、2,

由已知从乙企业取出1件优质品的概率为|,一件合格品的概率为|

所以P(X=0)=|,

248

P(X=1)-X-=—,

5525

P(X=2)=-2x-1=2

25’

所以X的分布列为:

X012

382

p

52525

数学期望为E(X)=0x|+lx嘏+2x^=!|；

(3)甲企业产品质量指数的平均值为：漏=[x(90+89+93+87+91)=90,

方差为s尹2=|x[(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2+(87-90)2+(91-90)2]=4,

乙企业产品质量指数的平均值为：均=：X(91+89+90+88+92)=90,

方差为"2=|x[(91-90)2+(89-90)2+(90-90)2+(88-90)2+(92-90)2]=2,

因为两企业的平均值相同，且s*z>s乙2,

所以乙企业产品质量更稳定些，应选择乙企业.

【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差，分布列对于刻画随机现象的重要性

【解析】【分析】(1)利用古典概率及组合公式，即可求得结果；

(2)先确定X的取值X=0,1,2,再分别计算X取各个值时的概率，列出分布列，计算期望；

(3)通过分别计算甲乙的平均值和方差，来判断。

19.在△ABC中，内角A，B,C的对边分别为a,b,c,且b=2百，2a-c=bcosC.

(1)求B；

(2)如图，圆。是AABC的外接圆，延长AO交BC于点H,过圆心。作OG1。力交BC于点

G,且OG=8.求。H的长.

【答案】(1)由余弦定理知，cosC=a2+b2-c2,

2ab

「2a—c=2bcosC,

2a—c=2b-a+b~c，化简得。2+。2一炉=。。，

2ab

由余弦定理知，COSB="+'一"=—=-,

2ac2ac2

---Be.(0,7T),|.

（2）设圆。的半径为R；

由正弦定理知，2/?=品=第=4,二.R=2,

延长AH,交圆。于点D，作CE_L40于点E,

则/D=/B=；,

OD=OC=R=2,

△OCD为等边三角形，

・•.CD=2,

CE=V3,DE=OE=1,

NCHE=ZGHO,NCEH=/GOH,CE=OG=^3,

△CEH=△GOH,

・•.EH=OH,即点H为OE的中点，

OH=-OE=-.

22

【考点】解三角形，正弦定理，余弦定理

【解析】【分析】（1）由余弦定理通过等式变换即可直接求出角B；

（2）先由正弦定理，求得三角形的外接圆半径R,作辅助线，来求解。

20.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAD为等腰直角三角形，PALPD,

E为BC的中点，且PE=虚.

(1)求证：平面PDE1平面PAD；

(2)求平面PAD与平面PCD所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明：取AD中点F,连接PF、EF,如图,

PFLAD,且PF=\AD=1,

•••EF=AB=2,且PE=6，即PE2+PF2=EF2

：.PF1PE,

•••四边形ABCD是正方形，

EFLAD,

•••PFCtEF=F,PF、EFu面PEF,

4。1面PEF,

PEu面PEF,

:.AD1PE,

•••PFClAC=F,且PF、ADU面PAD,

PE1面PAD,

PEu面PDE,

平面PDE1平面PAD.

(2)平面PADn平面PCD=PDPALPD,CD=2,PC=>JPE2+CE2=2,

PD=V2，

取PD中点则CHCD,CH=*

■：FH=-AP=—,

22

ZFHC即为所求二面角的平面角,

,: