中考数学复习-圆专题复习-教（学）案

./中考数学专题复习六几何〔圆[教学笔记]与圆有关的计算问题〔重点扇形面积的计算扇形：扇形面积公式：圆心角：扇形对应的圆的半径：扇形弧长：扇形面积圆锥侧面展开图：〔1=〔2圆锥的体积：弧长的计算：弧长公式；角度的计算圆的基本性质〔重点切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半；推论：〔1在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等；〔2相等的圆周角所对的弧也相等.〔3半圆〔直径所对的圆周角是直角.〔490°的圆周角所对的弦是直径.注意：在圆中,同一条弦所对的圆周角有无数个.垂径定理定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论：〔1平分弦<不是直径>的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧〔2弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧

〔3平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧

〔4在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等圆与函数图象的综合

与圆有关的计算问题[例1]〔2016•资阳在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,以点B为圆心,BC的长为半径作弧,交AB于点D,若点D为AB的中点,则阴影部分的面积是〔A．2﹣πB．4﹣πC．2﹣πD．π[解答]解：∵D为AB的中点,∴BC=BD=AB,∴∠A=30°,∠B=60°．∵AC=2,∴BC=AC•tan30°=2•=2,∴S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD=×2×2﹣=2﹣π．故选A．[例2]〔2014•资阳如图,扇形AOB中,半径OA=2,∠AOB=120°,C是的中点,连接AC、BC,则图中阴影部分面积是〔A．﹣2B． ﹣2C．﹣D．﹣解答：连接OC,∵∠AOB=120°,C为弧AB中点,∴∠AOC=∠BOC=60°,∵OA=OC=OB=2,∴△AOC、△BOC是等边三角形,∴AC=BC=OA=2,∴△AOC的边AC上的高是=,△BOC边BC上的高为,∴阴影部分的面积是﹣×2×+﹣×2×=π﹣2,故选A．[例3]〔2013•资阳钟面上的分针的长为1,从9点到9点30分,分针在钟面上扫过的面积是〔A．πB．πC．πD．π解答：从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°,则分针在钟面上扫过的面积是：=π．故选：A．[例4]〔2015XX如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,半径为4,则这个正六边形的边心距OM和BC弧线的长分别为〔A．2,B．,C．,D．,[课后练习]〔2015XX如图,PA和PB是⊙O的切线,点A和B的切点,AC是⊙O的直径,已知∠P=40°,则∠ACB的大小是〔BA．40°B．60°C．70°D．80°〔2015达州如图,直径AB为12的半圆,绕A点逆时针旋转60°,此时点B旋转到点B′,则图中阴影部分的面积是〔BA．12πB．24πC．6πD．36π〔2015内江如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB是直径,∠BCD=120°,过D点的切线PD与直线AB交于点P,则∠ADP的度数为〔A．40°B．35°C．30°D．45°解析：连接BD,∵∠DAB=180°-∠C=50°,AB是直径,∴∠ADB=90°,∠ABD=90°-∠DAB=40°,∵PD是切线,∴∠ADP=∠B=40°．故选A．〔2015XX如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CDB＝30°,CD＝,则阴影部分的面积为A．2πB．πC．D．解析：∠BOD＝60°〔2015凉山州如图,△ABC内接于⊙O,∠OBC=40°,则∠A的度数为〔A．80°B．100°C．110°D．130°〔2015凉山州将圆心角为90°,面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面,则所围成的圆锥的底面半径〔A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm〔2015XX如图,PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点,若∠C=65°,则∠P的度数为〔A．65°B．130°C．50°D．100°〔2015眉山如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠ACO=450,则∠B的度数为〔A．300B．350C．400D450〔2015XX如图,在⊙O中,弦AC∥半径OB,∠BOC=50°,则∠OAB的度数为〔A．25°B．50°C．60°D．30°〔2015XX如图,已知⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E,且AC=2,AE=,CE=1,则图中阴影部分的面积为〔A．B．C．D．〔2015甘孜州如图,已知扇形AOB的半径为2,圆心角为90°,连接AB,则图中阴影部分的面积是〔A．π﹣2B．π﹣4C．4π﹣2D．4π﹣4〔2015达州已知正六边形ABCDEF的边心距为cm,则正六边形的半径为cm．〔2015XX如图,已知AB是⊙O的一条直径,延长AB至C点,使AC=3BC,CD与⊙O相切于D点．若CD＝,则劣弧AD的长为．〔2015XX在半径为5cm的⊙O中,45°的圆心角所对的弧长为cm．〔2015XX如图,AB为⊙O的直径,延长AB至点D,使BD=OB,DC切⊙O于点C,点B是的中点,弦CF交AB于点E．若⊙O的半径为2,则CF=．〔2015XX用一个圆心角为120°,半径为6的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径是．〔2015眉山已知⊙O的内接正六边形周长为12cm,则这个圆的半经是_________cm．〔2015XX如图,A．B．C三点在⊙O上,且∠AOB=70°,则∠C=度．24．〔2015XX圆心角为60°,半径为4cm的扇形的弧长为cm．〔2015甘孜州如图,AB是⊙O的直径,弦CD垂直平分半径OA,则∠ABC的大小为度．圆的基本性质[例1]〔2016•资阳如图,在⊙O中,点C是直径AB延长线上一点,过点C作⊙O的切线,切点为D,连结BD．〔1求证：∠A=∠BDC；〔2若CM平分∠ACD,且分别交AD、BD于点M、N,当DM=1时,求MN的长．[解答]解：〔1如图,连接OD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即∠A+∠ABD=90°,又∵CD与⊙O相切于点D,∴∠CDB+∠ODB=90°,∵OD=OB,∴∠ABD=∠ODB,∴∠A=∠BDC；〔2∵CM平分∠ACD,∴∠DCM=∠ACM,又∵∠A=∠BDC,∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM,即∠DMN=∠DNM,∵∠ADB=90°,DM=1,∴DN=DM=1,∴MN==．[例2]〔2015•资阳如图11,在△ABC中,BC是以AB为直径的⊙O的切线,且⊙O与AC相交于点D,E为BC的中点,连接DE.〔1求证：DE是⊙O的切线；〔2连接AE,若∠C=45°,求sin∠CAE的值.解答：解：〔1连接OD,BD,∴OD=OB∴∠ODB=∠OBD．∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴∠CDB=90°．∵E为BC的中点,∴DE=BE,∴∠EDB=∠EBD,∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD,即∠EDO=∠EBO．∵BC是以AB为直径的⊙O的切线,∴AB⊥BC,∴∠EBO=90°,∴∠ODE=90°,∴DE是⊙O的切线；作EF⊥CD于F,设EF=x∵∠C=45°,∴△CEF、△ABC都是等腰直角三角形,∴CF=EF=x,∴BE=CE=x,∴AB=BC=2x,在RT△ABE中,AE==x,∴sin∠CAE==．[例3]〔2014•资阳如图,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,连接OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,连接AD．〔1求证：△CDE∽△CAD；〔2若AB=2,AC=2,求AE的长．解答： 〔1证明：∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠B+∠BAD=90°,∵AC为⊙O的切线,∴BA⊥AC,∴∠BAC=90°,即∠BAD+∠DAE=90°,∴∠B=∠CAD,∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,而∠ODB=∠CDE,∴∠B=∠CDE,∴∠CAD=∠CDE,而∠ECD=∠DCA,∴△CDE∽△CAD；〔2解：∵AB=2,∴OA=1,在Rt△AOC中,AC=2,∴OC==3,∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2,∵△CDE∽△CAD,∴=,即=,∴CE=．[例4]〔2013•资阳在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD．〔1如图1,若点D与圆心O重合,AC=2,求⊙O的半径r；〔2如图2,若点D与圆心O不重合,∠BAC=25°,请直接写出∠DCA的度数．解答：〔1如图,过点O作OE⊥AC于E,则AE=AC=×2=1,∵翻折后点D与圆心O重合,∴OE=r,在Rt△AOE中,AO2=AE2+OE2,即r2=12+〔r2,解得r=；〔2连接BC,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∵∠BAC=25°,∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°,根据翻折的性质,所对的圆周角等于所对的圆周角,∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°．[课后练习]〔2015达州如图,AB为半圆O的在直径,AD、BC分别切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,连接OD、OC,下列结论：①∠DOC=90°,②AD+BC=CD,③,④OD：OC=DE：EC,⑤,正确的有〔A．2个B．3个C．4个D．5个解析：如图,连接OE,

∵AD与圆O相切,DC与圆O相切,BC与圆O相切,

∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°,∴DA=DE,CE=CB,AD∥BC.

∴CD=DE+EC=AD+BC.结论②正确.

在Rt△ADO和Rt△EDO中,OD=OD,DA=DE,∴Rt△ADO≌Rt△EDO〔HL

∴∠AOD=∠EOD.同理Rt△CEO≌Rt△CBO,∴∠EOC=∠BOC.又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°,

∴2〔∠DOE+∠EOC=180°,即∠DOC=90°.结论⑤正确.

∴∠DOC=∠DEO=90°.又∠EDO=∠ODC,∴△EDO∽△ODC.∴,即OD2=DC•DE.结论①正确.

而,结论④错误.由OD不一定等于OC,结论③错误.∴正确的选项有①②⑤.故选A.〔2015XX如图,在半径为5cm的⊙O中,弦AB=6cm,OC⊥AB于点C,则OC=〔A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm[解析]连接OA,∵AB=6cm,OC⊥AB于点C,∴AC=AB=×6=3cm,∵⊙O的半径为5cm,∴OC===4cm,故选B．〔2015XX如图,已知⊙O的直径AB⊥CD于点E．则下列结论一定错误的是〔A．CE=DEB．AE=OEC．D．△OCE≌△ODE〔2015XX如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点,点C是的中点,弦CE⊥AB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CF、BC于点P、Q,连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确结论是_②③④_〔只需填写序号．〔2015XX如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分线分别与AC,BC及AB的延长线相交于点D,E,F,且BF=BC．⊙O是△BEF的外接圆,∠EBF的平分线交EF于点G,交于点H,连接BD、FH．〔1求证：△ABC≌△EBF；〔2试判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由；〔3若AB=1,求HG•HB的值．〔2015XX如图,AB为⊙O的直径,直线CD切⊙O于点D,AM⊥CD于点M,BN⊥CD于N．〔1求证：∠ADC=∠ABD；〔2求证：AD2=AM•AB；〔3若AM=,sin∠ABD=,求线段BN的长．解答：〔1证明：连接OD,

∵直线CD切⊙O于点D,∴∠CDO=90°,

∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3,

∵OB=OD,

∴∠3=∠4,∴∠ADC=∠ABD；

〔2证明：∵AM⊥CD,∴∠AMD=∠ADB=90°,∵∠1=∠4,∴△ADM∽△ABD,

∴,

∴AD2=AMAB；〔3解：∵sin∠ABD=,

∴sin∠1=,

∵AM=,

∴AD=6,

∴AB=10,

∴BD==8,

∵BN⊥CD,

∴∠BND=90°,

∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°,

∴∠DBN=∠1,

∴sin∠NBD=,

∴DN=,

∴BN==．

〔2015XX如图,CE是⊙O的直径,BD切⊙O于点D,DE∥BO,CE的延长线交BD于点A．〔1求证：直线BC是⊙O的切线；〔2若AE=2,tan∠DEO=,求AO的长．〔2015XX如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,BD为⊙O的弦,且AB∥CD,过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E,AD与BC交于点F．〔1求证：四边形ABCE是平行四边形；〔2若AE=6,CD=5,求OF的长．解答：〔1证明：∵AE与⊙O相切于点A,

∴∠EAC=∠ABC,

∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,

∴∠EAC=∠ACB,

∴AE∥BC,

∵AB∥CD,

∴四边形ABCE是平行四边形；〔2解：如图,连接AO,交BC于点H,双向延长OF分别交AB,CD与点N,M,

∵AE是⊙O的切线,

由切割线定理得,AE2=EC•DE,

∵AE=6,CD=5,

∴62=CE〔CE+5,解得：CE=4,〔已舍去负数,

由圆的对称性,知四边形ABDC是等腰梯形,且AB=AC=BD=CE=4,

又根据对称性和垂径定理,得AO垂直平分BC,MN垂直平分AB,DC,

设OF=x,OH=Y,FH=z,

∵AB=4,BC=6,CD=5,

∴BF=BC﹣FH=3﹣z,DF=CF=BC+FH=3+z,

易得△OFH∽△DMF∽△BFN,

∴,,

即,①

②,

①+②得：,

①÷②得：,

解得,

∵x2=y2+z2,

∴,

∴x=,

∴OF=．〔2015XX如图,O是△ABC的内心,BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接DC,DA,OA,OC,四边形OADC为平行四边形．〔1求证：△BOC≌△CDA；〔2若AB=2,求阴影部分的面积．[解析]

〔1证明：∵O是△ABC的内心,∴∠2=∠3,∠5=∠6,∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,由AD∥CO,AD=CO,∴∠4=∠5,∴∠4=∠6,∴△BOC≌△CDA〔AAS由〔1得,BC=AC,∠3=∠4=∠6,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC∴△ABC是等边三角形,∴O是△ABC的内心也是外心,∴OA=OB=OC设E为BD与AC的交点,BE垂直平分AC.在Rt△OCE中,CE=AC=AB=1,∠OCE=30º,∴OA=OB=OC=.∵∠AOC=120º,∴.〔2015XX如图,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点．过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F．且CE=CB．〔1求证：BC是⊙O的切线；〔2连接AF、BF,求∠ABF的度数；〔3如果CD=15,BE=10,sinA=．求⊙O的半径．解：〔1证明：连接OB∵OB=OA,CE=CB,∴∠A=∠OBA,∠CEB=∠ABC

又∵CD⊥OA∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°∴∠OBA+∠ABC=90°∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切线．

〔2连接OF,AF,BF,

∵DA=DO,CD⊥OA,

∴△OAF是等边三角形,

∴∠AOF=60°∴∠ABF=∠AOF=30°

〔3过点C作CG⊥BE于点G,由CE=CB,∴EG=BE=5

又Rt△ADE∽Rt△CGE,∴sin∠ECG=sin∠A=,

∴CE==13

∴CG==12,又CD=15,CE=13,

∴DE=2,

由Rt△ADE∽Rt△CGE得=,∴AD=CG=,∴⊙O的半径为2AD=．〔2015XX如图,PB为⊙O的切线,B为切点,过B作OP的垂线BA,垂足为C,交⊙O于点A,连接PA、AO,并延长AO交⊙O于点E,与PB的延长线交于点D．〔1求证：PA是⊙O的切线；〔2若,且OC=4,求PA的长和tanD的值．解：〔1证明：连接OB,则OA=OB,∵OP⊥AB,

∴AC=BC,

∴OP是AB的垂直平分线,

∴PA=PB,

在△PAO和△PBO中,

∵PA＝PBPO＝POOA＝OB,∴△PAO≌△PBO〔SSS

∴∠PBO=∠PAO,PB=PA,

∵2+OC2=213,

∴AE=2OA=413,OB=OA=213,在Rt△APO中,

∵AC⊥OP,

∴AC2=OC•PC,

解得：PC=9,

∴OP=PC+OC=13,

在Rt△APO中,由勾股定理得：AP=OP2-OA2=313,

∴PB=PA=∵PB为⊙O的切线,B为切点,

∴∠PBO=90°,

∴∠PAO=90°,

即PA⊥OA,

∴PA是⊙O的切线；

〔2连接BE,∵OCAC=23,且OC=4,∴AC=6,

∴AB=12,

在Rt△ACO中,

由勾股定理得：AO=AC13,∵AC=BC,OA=OE,

∴OC=12BE,OC∥BE,∴BE=2OC=8,BE∥OP,

∴△DBE∽△DPO,

∴BDPD＝BEOP,

即BD313+BD＝813,

解得：BD=24135,在Rt△OBD中,

tanD=OBBD=21324135=512．〔2015XX如图,AB是⊙O的直径,OD⊥弦BC于点F,交⊙O于点E,连结CE、AE、CD,若∠AEC=∠ODC．〔1求证：直线CD为⊙O的切线；〔2若AB=5,BC=4,求线段CD的长．解：〔1证明：连接OC,

∵∠CEA=∠CBA,∠AEC=∠ODC,∴∠CBA=∠ODC,

又∵∠CFD=∠BFO,∴∠DCB=∠BOF,

∵CO=BO,∴∠OCF=∠B,

∵∠B+∠BOF=90°,∴∠OCF+∠DCB=90°,∴直线CD为⊙O的切线；〔2解：连接AC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠DCO=∠ACB,

又∵∠D=∠B,∴△OCD∽△ACB,

∵∠ACB=90°,AB=5,BC=4,∴AC=3,∴=,即=,解得；DC=．

圆与函数图象的综合[例1]〔2015•资阳如图4,AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径,点P从点O出发,沿O→C→D→O的路线匀速运动,设∠APB=y〔单位：度,那么y与点P运动的时间x〔单位：秒的关系图是〔解答：〔1当点P沿O→C运动时,当点P在点O的位置时,y=90°,当点P在点C的位置时,∵OA=OC,∴y=45°,∴y由90°逐渐减小到45°；〔2当点P沿C→D运动时,根据圆周角定理,可得y≡90°÷2=45°；〔3当点P沿D→O运动时,当点P在点D的位置时,y=45°,当点P在点0的位置时,y=90°,∴y由45°逐渐增加到90°．故选：B．[例2]<2013年XXXX>如图,在平面直角坐标系中,坐标原点为O,A点坐标为<4,0>,B点坐标为<－1,0>,以AB的中点P为圆心,AB为直径作⊙P交y轴的正半轴于点C.<1>求经过A,B,C三点的抛物线所对应的函数解析式；<2>设M为<1>中抛物线的顶点,求直线MC对应的函数解析式；<3>试说明直线MC与⊙P的位置关系,并证明你的结论．解：〔1∵A〔4,0,B〔－1,0,

∴AB=5,半径是PC=PB=PA=

.∴OP=

.

在△CPO中,由勾股定理得：

.∴C〔0,2.

设经过A、B、C三点抛物线解析式是

,

把C〔0,2代入得：

,∴

.∴

.

∴经过A、B、C三点抛物线解析式是

,

〔2∵

,∴M

.

设直线MC对应函数表达式是y=kx+b,

把C〔0,2,M

代入得：

,解得

.

∴直线MC对应函数表达式是

.

〔3MC与⊙P的位置关系是相切.证明如下：设直线MC交x轴于D,

当y=0时,

,∴

,OD=

.∴D〔

,0.

在△COD中,由勾股定理得：

,

又

,

,∴CD

2

+PC

2

=PD2

.∴∠PCD=90

0

,即PC⊥DC.

∵PC为半径,∴MC与⊙P的位置关系是相切.[课后作业]一、选择题<每小题3分,共24分>1.如图,已知A,B,C在⊙O上,下列选项中与∠AOB相等的是〔A．2∠CB．4∠B C．4∠AD．∠B＋∠C2.如图,已知AB是△ABC外接圆的直径,∠A＝35°,则∠B的度数是〔A．35°B．45°C．55°D．65°3.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不成立的是〔A．CM＝DMB．CB＝DBC．∠ACD＝∠ADCD．OM＝MD4．如图,已知⊙O的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是〔A．6B．5 C．4D．3第1题图第2题图第3题图第4题图5.已知⊙的半径为6,圆心到直线的距离为8,则直线与⊙的位置关系是<>A．相交B．相切C．相离 D．无法确定6.圆锥底面圆的半径为3cm,其侧面展开图是半圆,则圆锥母线长为〔A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm7．如A．2.5B．1.6 C．1.5D．18.如图,直线与x轴、y分别相交与A、B两点,圆心P的坐标为〔1,0,圆P与y轴相切与点O.若将圆P沿x轴向左移动,当圆P与该直线相交时,横坐标为整数的点P′的个数是〔A．2B．3C．4D.5第7题图第8题图二、填空题：<每小题3分,共24分>9.如图,为的直径,为的弦,,则的度数为.10.如图,在△ABC中∠A＝25°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则的度数为．11.如图,的一边是⊙O的直径,请你添加一个条件,使是⊙O的切线,你所添加的条件为.第9题图第10题图第11题图12.如果圆锥的底面周长是20π,侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°,则圆锥的母线长是．13.如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为"等边扇形".则半径为2的"等边扇形"的面积为.14.如图,AB为⊙O的直径,CD⊥AB,若AB＝10,CD＝8,则圆心O到弦CD的距离为.15.如图,⊙A、⊙B、⊙C两两外切,它们的半径都是a,顺次连接三个圆心得到△ABC,则图中阴影部分的面积之和是.16.如图,直线l与半径为4的⊙O相切于点A,P是⊙O上的一个动点〔不与点A重合,过点P作PB⊥,垂足为B,连接PA．设PA＝,PB＝y,则〔－y的最大值是．第14题图