人教版九年级数学上册 21.18 实际问题与一元二次方程（知识讲解）

专题21.18实际问题与一元二次方程（知识讲解）【学习目标】1.通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；

2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【要点梳理】要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：

审题→寻找数量关系和等量关系→设未知数（直接假设和间接假设）→列一元二次方程→解方程→检验→作答。要点二、一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为100c+10b+a.

(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.

如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.

几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.

如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.

2.平均变化率问题

列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.

(1)增长率问题：

平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)

(2)降低率问题：

平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)

3.利润(销售)问题（中考常考点）

利润(销售)问题中常用的等量关系：

利润=售价-进价(成本)

总利润=每件的利润×总件数

4.几何问题通过几何边角关系寻求等量关系，建立方程，从而求出线段的长度或角的大小。

【典型例题】类型一、传播问题1．某种病毒传播非常快，如果1人被感染，经过2轮感染后就会有81人被感染．(1)每轮感染中平均1人会感染几人？(2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？【答案】(1)8人(2)会【分析】（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，根据一个人被感染经过两轮感染后就会有81个人被感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据3轮感染后被感染的人数=2轮感染后被感染的人数×（1+8），即可求出3轮感染后被感染的人数，再将其与700进行比较后即可得出结论．解：(1)设每轮感染中平均1人会感染x人，依题意，得1＋x＋x（1＋x）＝81，解得x1＝8，x2＝－10（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均1人会感染8人．(2)81×（1＋8）＝729（人），729＞700．答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．举一反三：【变式1】新冠肺炎传染性很强，曾有1人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染人，经过两天传染后64人患上新冠肺炎，则的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】根据两天后共有64人患上流感，列出方程求解即可．解：依题意得1+x+x（1+x）=64，解得x1=7，x2=-9（不合题意，舍去）．故x值为7．故选：D．【点拨】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．【变式2】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为______．【答案】x2+x+1＝73【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程．解：设每个支干长出x个小分支，根据题意列方程得：x2+x+1＝73．故答案为x2+x+1＝73．【点拨】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．类型二、增长率问题2．某水果店标价为10元/kg的某种水果经过两次降价后价格为8.1元/kg，并且两次降价的百分率相同．时间/天x销量/kg120－x储藏和损耗费用/元3x2－64x＋400(1)求该水果每次降价的百分率；(2)从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为4.1元/kg，设销售该水果第x天（1≤x＜10）的利润为377元，求x的值．【答案】(1)10%(2)9【分析】（1）设该水果每次降价的百分率为y，根据题意列出一元二次方程即可求解；（2）根据题意列出一元二次方程即可求解．解：(1)设该水果每次降价的百分率为y，依题意，得10（1－y）2＝8.1，解得y1＝0.1＝10%，y2＝1.9（不合题意，舍去）．答：该水果每次降价的百分率为10%．(2)依题意，得，解得x1＝9，x2＝11（舍去）．答：x的值为9．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，准确理解题意列出一元二次方程是解答本题的关键．举一反三：【变式1】小滨家2019年年收入25万元，2021年年收入达到36万元，求这两年小滨家年收入的平均增长率．设这两年年收入的平均增长率为x．根据题意所列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设这两年年收入的平均增长率为x，然后根据小滨家2019年年收入25万元，2021年年收入达到36万元列出方程求解即可．解：设这两年年收入的平均增长率为x，由题意得，故选C．【点拨】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．【变式2】为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为60元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，可列方程为_____．【答案】【分析】设平均每次降价的百分率是，结合题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案．解：设平均每次降价的百分率是，根据题意，得：根据题意，得：故答案为：【点拨】本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键是理解题意列出方程．类型三、与图形有关的问题3.《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议于2021年10月11日至15日和2022年上半年分两阶段在昆明召开．为迎接cop15，昆明某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为36米．(1)设垂直于墙的一边长为x米．则平行于墙的一边为_________米；(2)当花圃的面积为144平方米时，求垂直于墙的一边的长为多少米？【答案】(1)36-2x(2)当花圃的面积为144平方米时，垂直于墙的一边的长为12米【分析】（1）垂直于墙的边长是x米，有两条边长，平行于墙的边长只有一条，这样就可以求出来；（2）花圃的面积=长×宽，令面积等于144即可求出来；解：(1)设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边为36-2x米；(2)设花圃的面积为S平方米∴S=（36-2x）·x=144解得x=12答：当花圃的面积为144平方米时，求垂直于墙的一边的长为12米．【点拨】本题考查一元二次方程的实际应用．解决本题的关键在于用未知数表示长和宽，并求出其面积．举一反三：【变式1】如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设道路的宽为xm，将四块栽种花草的小长方形拼成一个大长方形，则大长方形的长为，宽为，根据长×宽=77m2，列出方程即可．解：设道路的宽为xm，根据题意得：(12−x)(8−x)=77，故C正确．故选：C．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，将四块栽种花草的小长方形拼成一个大长方形，且得出长为，宽为，是解题的关键．【变式2】《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道他的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？若设长为步，则列方程为________．【答案】【分析】根据题意，可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．解：设长为步，则宽为步，根据题意得：，故答案为：【点拨】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答．类型四、数字问题4.2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数：若不能请说明理由．【答案】最小的数是5，理由见分析【分析】设这个最小数为x，则最大数为(x+8)，根据最小数与最大数的乘积为65或33，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：设最小的数为x，则最大数为(x+8)，由题意得x(x+8)=33，解得x1=-11，x2=3．由表格知不符合实际舍去；由题意得x(x+8)=65，解得x1=-13（舍去），x2=5，所以当最大数与最小数乘积为65时，最小的数是5．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．举一反三：【变式1】两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，可得方程（）A． B．C． D．【答案】B【分析】两个连续的奇数相差2，则较大的数为x+2，再根据两数的积为323即可得出答案．解：依题意得：较大的奇数为x+2，则有：x（x+2）=323．故选：B．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键．【变式2】某班学生去参加义务劳动，其中一组到一果园去摘梨子，第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个，…以此类推，后来的学生都比前面的学生多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了6个梨子，请问这组学生的人数为_______【答案】11【分析】设这组学生的人数为人，根据题意列出方程，解出即可．解：设这组学生的人数为人，根据题意得：，即解得：．故答案为：11【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．类型五、营销问题5.某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．(1)求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？(2)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．【答案】(1)每件降价20元(2)不可能，理由见分析【分析】（1）根据题意列出方程，即每件服装的利润×销售量=总盈利，再求解，把不符合题意的舍去；（2）根据题意列出方程进行求解即可．(1)解：设每件服装降价x元．由题意得：（90-x-50）（20+2x）=1200，解得：x1=20，x2=10，为使顾客得到较多的实惠，应取x=20；答：每件降价20元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；(2)解：不可能，理由如下：依题意得：（90-x-50）（20+2x）=2000，整理得：x2-30x+600=0，Δ=（-30）2-4×600=900-2400=-1500＜0，则原方程无实数解．则不可能每天盈利2000元．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．举一反三：【变式1】小强为活动小组购买统一服装，经理给予如下优惠：如果一次性购买不超过10件，单价为80元：如果一次性购买超过10件，那么每多买一件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价最终不低于50元．小强一次性购买这种服装花费1200元，则他购买了这种服装的件数是(

)A．20件 B．24件 C．20件或30件 D．30件【答案】A【分析】设小强购买了这种服装x件，则每件的价格为（100-2x）元，根据总价=单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：设小强购买了这种服装x件．由题意得：，解得：x1=20，x2=30．∵80－2(x－10)≥50，∵x≤25，∴x=20．故选：A．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式2】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？设每件衬衫降价x元，由题意列得方程______．【答案】【分析】设每件衬衫降价x元，根据每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件可得销售量为，则每件衬衫的利润为，根据销售量乘以每件衬衫的利润等于1200元，列出一元二次方程即可解：设每件衬衫降价x元，根据题意得，故答案为：【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．类型六、动态几何问题6.如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0<t<6)，那么当t为何值时，△QAP的面积等于8cm2?【答案】当t为2或4时，△QAP的面积等于8cm2．【分析】当运动时间为ts时，AP＝2tcm，AQ＝（6−t）cm，利用三角形的面积计算公式，结合△QAP的面积等于8cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值．解：当运动时间为ts时，AP＝2tcm，AQ＝(6－t)cm，依题意得×2t(6－t)＝8，整理得t2－6t＋8＝0，解得t1＝2，t2＝4，∴当t为2或4时，△QAP的面积等于8cm2．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着射线匀速移动，当的面积等于时运动时间为（

）A．秒 B．秒 C．秒 D．秒或秒【答案】D【分析】根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．解：由题意，，，，，解得或5，或时，的面积为．故选D．【点拨】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型．【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，点P在边AC上，以2cm/s的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上，以1cm/s的速度从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是_____秒．【答案】1【分析】设P、Q运动的时间是秒，根据已知条件得到cm，cm，则cm，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解．解：设P、Q运动的时间是秒，则cm，cm，cm∵△PQC的面积为3cm2，∴，即，解得或（不合题意，舍去），∴当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是1秒．故答案为：1【点拨】本题考查了一元二次方程应用——动点问题，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键．类型七、工程问题（只有解答题和选择题各一个题）7.“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子(2)400【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，从而解决问题．（2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之和，列出方程．(1)解：设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子由题意得：解得：答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子．(2)解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子由题意得：整理得：解得：，，又∵甲、乙两组加工的天数均为整数∴∴200+100×2=400（袋）答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子．【点拨】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关键．举一反三：【变式1】岐山县体育局要组织一次中小学篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？则下列方程正确的是（

）A．x（x-1）=28 B．x（x+1）=28C．2x（x-1）=28 D．x（x-1）=28【答案】D【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数x（x−1），由此可得出方程．解：设邀请x个队，每个队都要赛（x−1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得，x（x−1）＝28，故选：D．【点拨】本题考查由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．【变式2】．有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程__．【答案】【分析】先列出支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意列出方程为．解：有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛场数为，共比赛了45场，，故答案为．【点拨】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．类型八、行程问题8.一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25m后停车．（1）从刹车到停车用了多少时间？（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？【答案】（1）2.5s；（2）8m/s；（3）0.9【分析】（1）由题意可得s＝25m，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间；（2）汽车从刹车到停车，车速从20m/s减少到0，由（1）可得车速减少共用了2.5秒，平均每秒车速减少量＝总共减少的车速÷时间，由此可求得；（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s，继而可表示出这段路程内的平均车速，从而可求得x．解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是（m/s），那么从刹车到停车所用的时间是s；（2）从刹车到停车车速的减少值是20-0＝20，从刹车到停车每秒平均车速减少值是m/s；（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s，则这段路程内的平均车速为，所以x（20-4x）＝15，整理得：4x²-20x＋15＝0，解得：，∴x≈4.08（不合，舍去），x≈0.9（s），答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s．【点拨】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子．举一反三：【变式1】小球以的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，后小球停下来．小球滚动到时约用了多少时间（精确到）？（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求得小球的平均速度，然后利用等量关系：速度×时间=路程，时间为x，则速度为5﹣1.25x．解：小球滚动到5m时约用了xs，依题意，得：x•=5整理得：x2﹣8x+8=0，解得：x=4±2．∵x＜4，∴x=4﹣2≈1.2．故选B．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球的运动减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度=（初始速度﹣末速度）÷时间．【变式2】《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是__．【答案】【分析】设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论．解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则依题意得：，整理得：，解得：，（不合题意，舍去），，即甲走的步数是，故答案为：．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．类型九、图表信息问题9、某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：月份用水量（吨）交水费总金额（元）4186252486根据上表数据，求规定用水量a的值【答案】（1）；（2）10【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解；（2）若，可得，从而得到，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解．解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，元；（2）若，有，解得：，即，不合题意，舍去，∴，根据题意得：，解得：（舍去），答：规定用水量a的值为10吨．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．举一反三：【变式1】根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（

）23456513A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5【答案】D【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断解：时，，时，，则的解的范围为，即一元二次方程的解大概是4.5．故