高二数学寒假讲义练习（新人教A专用）第06讲 数列（学生卷）

第06讲数列【【考点目录】【【知识梳理】知识点1数列及其有关概念1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．注：数列的第n项与项数n：数列{an}的第n项为an，an在数列{an}中的项数为n2.数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．3.对数列概念的理解（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．（3）数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.知识点2数列的分类分类标准类型含义按项数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有an＋1>an(n∈N*)递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an＋1<an(n∈N*)常数列各项都相等的数列，即恒有an＋1＝an(n∈N*)按其他标准周期数列一般地，对于数列{an}，若存在一个固定的正整数T，使得an＋T＝an恒成立，则称{an}是周期为T的周期数列按其他标准有界(无界)数列任一项的绝对值都小于某一正数的数列称为有界数列，即∃M∈R，|an|≤M，否则称为无界数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列知识点3数列的表示方法1．列表法列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表：序号n123…n…项ana1a2a3…an…2．图象法在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)．3．通项公式法如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数的表达式．注：通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．4．递推公式法如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．注：常见数列的通项(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n.(2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n.(3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1.(4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n.(5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n.(6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝eq\f(1＋（－1）n－1,2).(7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝eq\f(（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）,2).(8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1.知识点4数列的前n项和Sn与an的关系1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.2．数列的前项和和通项的关系：则特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．知识点5数列的性质（1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列；在数列{an}中，若an最大，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1；))若an最小，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))数列的周期性.根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．注：由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．知识点6等差数列的有关概念1.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.注：(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．(3)等差数列（通常可称为数列）的单调性：在公差为d的等差数列{an}中：①d＞0⇔{an}为递增数列；②d＝0⇔{an}为常数列；③d<0⇔{an}为递减数列.2.等差数列的通项公式：；⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数模型．等差数列通项公式的变形及推广设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.③可用来由等差数列任两项求公差．3.从函数角度认识等差数列{an}若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d

；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.4.等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中.，，成等差数列.注：在等差数列{an}中，从第二项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{an}成等差数列⇔an＋1＋an－1＝2ann≥2.知识点7等差数列的四种判断方法(1)定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；(2)等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;(3)通项公式：(为常数,)⇔是等差数列;(4)前项和公式：(为常数,)⇔是等差数列;(5)是等差数列⇔是等差数列.提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.知识点8等差数列的性质（1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，；（2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中项.（3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)；（4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列（5）若数列是等差数列,则仍为等差数列．（6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．知识点9等差数列的前n和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d注：（1）等差数列的前n和公式的推导对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.(倒序相加法)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，,Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋…＋a1＋n－1d，,Sn＝an＋an－d＋an－2d＋…＋an－n－1d，))两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝eq\f(na1＋an,2)，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等．（2）等差数列{an}的前n项和公式的函数特征Sn＝eq\f(na1＋an,2)eq\o(――→,\s\up7(an＝a1＋n－1d),\s\do5())Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n⇒当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝eq\f(d,2)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下.（3）公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和；知识点10等差数列前n项和的性质（1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即SKIPIF1<0成等差数列，公差为n2d；（2）设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；(中间项)；②.等差数列中，,则,.注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)（4）若与为等差数列，且前项和分别为与，则.（5）若{an}是等差数列，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq\f(1,2)；知识点11等差数列的前n项和的最值(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．在等差数列{an}中，当，时，有最大值(即所有非负项之和)；，时，有最小值(即所有非正项之和)；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，当，时，满足的项数使得取最小值.(2)利用等差数列的前n项和：Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n((为常数,))，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值,通过配方或借助图像，二次函数的性质等，将等差数列的前n项和最值问题转化为二次函数的最值的方法求解.注：当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1；(2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一．知识点12等比数列有关概念1.等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：.注：(1)定义的符号表示：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)；(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.2．等比数列通项公式为：（an＝a1qn－1an＝am·qn－m），通项公式还可以写成，它与指数函数有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列．注：（1）等比数列通项公式的推导设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)．方法一an＝eq\f(an,an－1)×eq\f(an－1,an－2)×…×eq\f(a3,a2)×eq\f(a2,a1)×a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立．方法二a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立．由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（3）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则.3．等比中项如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab．注：①只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数.②在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；③与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中，．④等比中项与等差中项的异同，对比如下表：对比项等差中项等比中项定义若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项定义式A－a＝b－Aeq\f(G,a)＝eq\f(b,G)公式A＝eq\f(a＋b,2)G＝±eq\r(ab)个数a与b的等差中项唯一a与b的等比中项有两个，且互为相反数备注任意两个数a与b都有等差中项只有当ab＞0时，a与b才有等比中项知识点13等比数列的通项公式与指数型函数的关系1．当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝eq\f(a1,q)·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．2．任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)，则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a.注意点：(1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a1>0,0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列；(3)a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列；(4)a1<0,0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列；(5)q＝1时，数列{an}为常数列；(6)q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同．知识点14等比数列的判定与证明证明等比数列的方法1．定义法：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)；2．等比中项法：aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)；3．通项公式法：an＝a1qn－1.注：用定义法证明时，eq\f(an,an－1)和eq\f(an＋1,an)中的n的范围不同知识点15等比数列的性质在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列，如：，，，，……；，，，，……；注：若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．（2）在等比数列中，对任意，，； （3）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等比中项.也就是：，如图所示：.注：(1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz；(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝….(4)等比数列下标为奇数的项正负相同，下标为偶数的项正负相同；（4）若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比数列．（5）在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么是等比数列.（6）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为.（7）等比数列的单调性当或时，为递增数列，当或时，为递减数列．知识点16等差数列与等比数列的区分与联系(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列．(2)如果数列成等比数列，且，那么数列(，且)必成等差数列．(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．知识点17等比数列的前n项和公式已知量首项a1，项数n与公比q首项a1，末项an与公比q公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)，q≠1))注：（1）等比数列前n项和公式的推导若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，而当q＝1时，Sn＝na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”．思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得：eq\f(a2,a1)＝eq\f(a3,a2)＝…＝eq\f(an,an－1)＝q，根据等比数列的性质，有eq\f(a2＋a3＋…＋an,a1＋a2＋…＋an－1)＝eq\f(Sn－a1,Sn－an)＝q，eq\f(Sn－a1,Sn－an)＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq，所以当q≠1时，Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn－1相互转化．思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)，所以有Sn＝a1＋qSn－1⇒Sn＝a1＋q(Sn－an)⇒(1－q)Sn＝a1－anq，所以当q≠1时，Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)或Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决．（2）在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个.(和各已知三个可求第四个（3）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（4）应用求和公式时，必要时应讨论的情况.在应用公式求和时，应注意到Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.（5）等比数列前n项和公式的函数特征当公比q≠1时，设A＝eq\f(a1,q－1)，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数.（Sn＝eq\f(a1－a1qn,1－q)＝－eq\f(a1,1－q)qn＋eq\f(a1,1－q)，设A＝－eq\f(a1,1－q)，则Sn＝Aqn－A.）当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.知识点18等比数列前n项和的性质1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.注：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下：思路一：当q＝1时，结论显然成立；当q≠1时，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，S2n＝eq\f(a11－q2n,1－q)，S3n＝eq\f(a11－q3n,1－q).S2n－Sn＝eq\f(a11－q2n,1－q)－eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1qn1－qn,1－q)，S3n－S2n＝eq\f(a11－q3n,1－q)－eq\f(a11－q2n,1－q)＝eq\f(a1q2n1－qn,1－q)，而(S2n－Sn)2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a1qn1－qn,1－q)))2，Sn(S3n－S2n)＝eq\f(a11－qn,1－q)×eq\f(a1q2n1－qn,1－q)，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn，S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．2．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)，…成等比数列．3．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)⇔qn＝eq\f(Sn＋m－Sn,Sm)(q为公比)．注：思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn.思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm.4．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：（1）在其前2n项中，eq\f(S偶,S奇)＝q；（2）在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1).S奇＝a1＋qS偶．注：若等比数列{an}的项数有2n项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有eq\f(S偶,S奇)＝q.＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶．知识点19等比数列前n项和的实际应用1．解应用问题的核心是建立数学模型．2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．3．注意问题是求什么(n，an，Sn)．注：(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．(2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．(3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．(4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．【【考点剖析】考点一由前n项归纳数列的通项公式1．（2023秋·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）已知数列：，则是数列中的（

）A．第18项 B．第19项 C．第20项 D．第21项2．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）已知一组数据2，5，10，17，26，…，按此规律可以得到第100个数为（

）A．9802 B．9991 C．10001 D．102023．（2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4…，，…的第2022项的值是（

）A．61 B．62 C．63 D．644．（2023秋·河南濮阳·高二统考期末）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列的第n项，则的值为（

）A．1225 B．1275 C．1326 D．13625．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）如图三角形数阵：12

34

5

67

8

9

1011

12

13

14

15……按照自上而下，自左而右的顺序，2021位于第i行的第j列，则______．6．（2023秋·黑龙江·高二黑龙江实验中学校考期末）数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图①､②､③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.不妨记第个图中的图形的周长为，则（

）A． B． C． D．考点二由an与Sn的关系求通项公式7．（2023春·陕西西安·高二期末）设为数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．8．（2023春·陕西渭南·高二期末）记为数列的前n项和，若，则（

）A． B． C． D．9．（2023春·安徽宿州·高二校联考期末）已知数列的前项和为，，且，则下列说法中错误的是（

）A． B．C．是等比数列 D．是等比数列10．（2023春·河北石家庄·高二统考期末）若数列满足，则数列的通项公式为（

）A． B．C． D．考点三由递推公式求通项公式11．（2023春·山东·高二沂水县第一中学期末）已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．12．（2023春·海南·高二统考期末）已知数列满足且，则（

）A．是等差数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列13．（2023秋·湖北·高二期末）在数列中，，，，则（

）A． B． C． D．14．（2023·全国·高二期末）数列中，，且，则数列的通项___________.15．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知数列满足，则__________.考点四数列的单调性与最值16．（2023秋·广东潮州·高二统考期末）已知数列的通项公式为，则该数列中的数值最大的项是第___________项.17．（2023春·广东深圳·高二红岭中学校考期末）在数列中，，，则数列中最大项的数值为__________．18．（2023秋·江苏南京·高二统考期末）写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列的通项公式：___________．（1）是无穷等差数列；（2）数列为单调递减数列；（3）数列的最小项有且仅有第5项．19．（2023秋·河南焦作·高二统考期末）已知数列是递增数列，且满足，且的取值范围是___________.20．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考期末）若，且数列是严格递增数列或严格递减数列，则实数a的取值范围是______．考点五数列的周期性21．（2023春·陕西西安·高二期末）已知数列满足，，则___________．22．（2023春·安徽六安·高二校考期末）在数列中，，且，则_______.23．（2023春·湖北荆州·高二沙市中学统考期末）已知数列满足，则_____________．24．（2023秋·北京石景山·高二统考期末）在数列中，，，，则_________．25．（2023春·天津·高二静海一中校联考期末）数列中，，则______考点六等差数列基本量的计算26．（2023春·江苏连云港·高二校考期末）在等差数列中，，，则___________27．（2023春·黑龙江绥化·高二校考期末）已知数列{an}中，a3＝2，a1＝1，且数列是等差数列，则a11＝____．28．（2023春·河南·高二沈丘县第一高级中学校联考期末）已知等差数列的前n项和为，，，则______．29．（2023春·山东·高二沂水县第一中学期末）已知是等差数列的前n项和，且，，则的公差______.30．（2023春·江苏连云港·高二校考期末）我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少？在这个问题中，九节总容量是__________.考点七等差数列的判定与证明31．（2023春·陕西渭南·高二统考期末）已知各项均不为零的数列满足，且.(1)证明：为等差数列，并求的通项公式；(2)令为数列的前项和，求.32．（2023春·安徽六安·高二校考期末）已知数列满足：．(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前n项和．33．（2023秋·河北·高二河北省文安县第一中学校考期末）已知数列的首项为3，且．(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．34．（2023秋·云南玉溪·高二统考期末）已知数列满足，．(1)证明是等差数列；(2)若，求数列的前项和．考点八等差数列的性质（一）与项有关的性质35．（2023春·陕西渭南·高二期末）在等差数列中，若，，则（

）A．14 B．15 C．16 D．836．（2023春·西藏拉萨·高二拉萨中学期末）已知等差数列满足，则的值为（

）A．－3 B．3 C．－12 D．1237．（2023秋·湖北武汉·高二统考期末）已知数列为等差数列，且，则的值为（

）A． B． C． D．与和有关的性质38．（2023秋·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．39．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期末）在等差数列中，其前项和为，若，则（

）A． B． C． D．40．（2023春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（

）A． B． C． D．41．（2023春·海南·高二海南华侨中学校考期末）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（

）A． B． C． D．单调性与最值42．（2023秋·北京西城·高二统考期末）若等差数列{}满足，则当{}的前n项和最大时，n＝（

）A．7 B．8 C．9 D．1043．（2023春·湖北荆州·高二荆州中学期末）已知是等差数列的前项和，，则的最小值为（

）A． B． C． D．44．（2023春·陕西渭南·高二统考期末）设数列为等差数列，是其前n项和，且，则下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．与均为的最大值45．（2023秋·福建厦门·高二厦门外国语学校校考期末）已知等差数列的前n项和为，满足，，若数列满足，则m＝（

）A．9 B．10 C．19 D．2046．（2023秋·山东德州·高二校考期末）等差数列的前项和为，若，，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（

）．A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．无法确定考点九等比数列基本量的计算47．（2023春·浙江杭州·高二校考期末）已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（

）A． B．2 C． D．348．（2023秋·贵州黔东南·高二统考期末）已知等比数列的前项和为，且，，则（

）A．64 B．42 C．32 D．2249．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期末）设为正项递增等比数列的前项和，且，则的值为（

）A．64 B．63 C．127 D．12850．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期末）已知正项等比数列的前项和为，，则（

）A． B． C． D．51．（2023秋·广东江门·高二统考期末）在等比数列中，，，则（

）A． B．16 C．32 D．考点十等比数列的判定与证明52．（2023春·上海徐汇·高二位育中学校考期末）已知数列满足.(1)当时，数列是否是等比数列？给出你的结论并加以证明；(2)求数列的通项公式.53．（2023春·广东江门·高二统考期末）已知数列的首项，且满足.(1)求证：是等比数列；(2)求数列的前项和.54．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）已知数列满足，且．(1)求证：数列是等比数列；(2)若，求．55．（2023春·湖北荆州·高二荆州中学期末）在数列中，.(1)设，求证：数列是等比数列；(2)求数列的前项和.考点十一等比数列的性质与项或和有关的性质56．（2023春·陕西渭南·高二期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则（

）A．7 B．9 C．81 D．357．（2023秋·内蒙古通辽·高二统考期末）设单调递增的等比数列满足，，则公比（

）A． B． C．2 D．58．（2023秋·福建厦门·高二厦门外国语学校校考期末）在正项等比数列中，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．459．（2023春·天津南开·高二南开中学校考期末）已知数列是等比数列，，数列是等差数列，，则的的值是(

)A． B． C． D．60．（2023秋·云南玉溪·高二统考期末）记为等比数列的前项和．若，，则（

）A． B． C． D．61．（2023春·安徽合肥·高二合肥市第十一中学校联考期末）设等比数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．（二）等比数列中的最值(范围)问题62．（2023春·山东潍坊·高二潍坊一中期末）已知数列是等比数列，若，且数列的前n项乘积，n的最大值为（

）A．10 B．11 C．20 D．2163．（2023春·山西运城·高二统考期末）公比为的等比数列，其前项和为，前项积为，满足，.则下列结论正确的是（

）A．的最大值为B．C．的最大值为D．考点十二数列求和及应用分组(并项)法求和64．（2023春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学期末）在等差数列中，，前12项的和.(1)求数列的通项公式；(2)若数列为以1为首项，3为公比的等比数列，求数列前8项的和.65．（2023春·西藏拉萨·高二拉萨中学期末）已知等差数列的前n项和为．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．66．（2023春·北京·高二北京八十中期末）已知等差数列的前项和为，，再从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答.条件①：；条件②：；条件③：.(1)求数列的通项公式；(2)设等比数列满足，，求数列的前项和.倒序相加法求和67．（2023春·江西九江·高二统考期末）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（

）A．96 B．97 C．98 D．9968．（2023春·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知函数，数列是正项等比数列，且，则__________．69．（2023春·黑龙江双鸭山·高二统考期末）设，若，则S＝________.裂项相消法70．（2023春·陕西渭南·高二统考期末）设是数列的前项和，且.(1)证明:数列是等差数列；(2)求数列的前项和.71．（2023春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学期末）已知数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，求．72．（2023秋·贵州六盘水·高二统考期末）在①；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.问题：已知为等差数列的前n项和，若.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.73．（2023春·浙江·高二期末）已知数列满足，.(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.74．（2023秋·辽宁辽阳·高二辽阳市第一高级中学校联考期末）已知数列的前n项和为，______，(1)求数列的通项公式；(2)记，是数列的前n项和，若对任意的，，求实数k的取值范围．在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．①；②；③.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．错位相减法求和75．（2023春·陕西西安·高二期末）已知数列，，数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．76．（2023春·陕西渭南·高二期末）已知等差数列满足，，数列是首项为1、公比为3的等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求．77．（2023春·江苏连云港·高二期末）已知等差数列的前n项和为，且，，(1)求数列的通项公式；(2)若，令，求数列的前n项和78．（2023秋·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期末）已知数列的递推公式为.(1)求证：为等比数列；(2)令，求数列的前项和.（五）数列的实际应用79．（2023春·浙江绍兴·高二统考期末）某公司从2020年初起生产某种高科技产品，初始投入资金为1000万元，到年底资金增长50%.预计以后每年资金增长率与第一年相同，但每年年底公司要扣除消费资金x万元，余下资金再投入下一年的生产.设第n年年底扣除消费资金后的剩余资金为万元.(1)用x表示，，并写出与的关系式；.(2)若企业希望经过5年后，使企业剩余资金达3000万元，试确定每年年底扣除的消费资金x的值（精确到万元）.80．（2023春·安徽宣城·高二统考期末）“绿水青山就是金山银山”，中国一直践行创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，着力促进经济实现高质量发展，决心走绿色、低碳、可持续发展之路．新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向工业部表示，到2025年我国新能源汽车销量占总销量将达20%以上.2021年，某集团以20亿元收购某品牌新能源汽车制造企业，并计划投资30亿元来发展该品牌.2021年该品牌汽车的销售量为10万辆，每辆车的平均销售利润为3000元．据专家预测，