高一数学寒假讲义（新人教A专用）【预习】第15讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（学生卷）

第15讲空间点、直线、平面之间的位置关系【学习目标】1、掌握平面及其基本性质．2、清晰空间中点、直线和平面存在怎样的位置关系．【考点目录】考点一：平面的概念及其表示考点二：平面的确定考点三：点线共面考点四：三点共线考点五：三线共点问题考点六：截面问题考点七：直线与直线的位置关系考点八：异面直线所成的角考点九：直线与平面的位置关系考点十：平面与平面的位置关系【基础知识】知识点一、平面的基本概念1、平面的概念：“平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象．几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．知识点诠释：（1）“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）；（2）“平面”无厚薄之分；（3）“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据．2、平面的画法：通常画平行四边形表示平面．知识点诠释：（1）表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成，横边长是其邻边的两倍；（2）两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画；3、平面的表示法：（1）用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面、平面等；（2）用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面；（3）用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面或者平面；4、点、直线、平面的位置关系：（1）点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作；（2）点A在平面上，记作；点A在平面外，记作；（3）直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作．知识点二、平面的基本性质平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础．1、公理1：（1）文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；（2）符号语言表述：，，，；（3）图形语言表述：知识点诠释：公理1是判断直线在平面内的依据．证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”．2、公理2：（1）文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；（2）符号语言表述：、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，；（3）图形语言表述：知识点诠释：公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件．“有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义．（4）公理2的推论：①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；②过两条相交直线，有且只有一个平面；③过两条平行直线，有且只有一个平面．（5）作用：确定一个平面的依据．3、公理3：（1）文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；（2）符号语言表述：且；（3）图形语言表述：知识点诠释：公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据．知识点三、点线共面的证明所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题．1、证明点线共面的主要依据：（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）．2、证明点线共面的常用方法：（1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内；（2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内．知识点四、证明三点共线问题所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上．1、证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上．对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．2、证明三点共线的常用方法方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上．方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上．知识点五、证明三线共点问题所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点．1、证明三线共点的依据是公理3．2、证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．知识点六、异面直线1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．2、画法：3、两异面直线所成角的常用方法平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．知识点七、空间两条直线的位置关系位置关系共面情况有无公共点相交在同一平面内有且只有一个公共点平行在同一平面内没有公共点异面不同在任何一个平面内没有公共点知识点八、直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内有无数个公共点直线a与平面α相交有且只有一个公共点直线a与平面α平行无公共点知识点九、平面与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行无公共点两平面相交有无数个公共点，这些点在一条直线上【考点剖析】考点一：平面的概念及其表示例1．（2023·全国·高一）如图所示，用符号语言可表示为（）A．，， B．，，C．，，， D．，，，例2．（2023·全国·高一课时练习）用符号表示下列语句：(1)点A在直线l上，l在平面内；(2)平面和平面的交线是直线l，直线m在平面内；(3)点A在平面内，直线l经过点A，且直线l在平面外；(4)直线l经过平面外一点M．考点二：平面的确定例3．（2023·江苏省镇江中学高一阶段练习）下列命题中正确的是（）A．过三点确定一个圆B．两个相交平面把空间分成四个区域C．三条直线两两相交，则确定一个平面D．四边形一定是平面图形例4．（2023·全国·高一）以下说法中，正确的个数是（）①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；③首尾依次相接的四条线段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3考点三：点线共面例5．（2023·全国·高一课时练习）如图，正方体中，，分别为，的中点．求证：，，，四点共面；例6．（2023·全国·高一课前预习）如图所示，，，．求证：直线，，在同一平面内．考点四：三点共线例7．（2023·山东邹城·高一期中）已知正方体，，分别是棱，的中点．（Ⅰ）画出平面与平面的交线，并说明理由；（Ⅱ）设为直线与平面的交点，求证：，，三点共线．考点五：三线共点问题例8．（2023·全国·高一）如图，在三棱锥中，分别是的中点，点在上，点在上，且有.试判定直线的位置关系.例9．（2023·全国·高一课时练习）在三棱锥中，分别是线段的中点，分别是线段上的点，且.求证:（1）四边形是梯形；（2）三条直线相交于同一点.考点六：截面问题例10．（2023·全国·高一）已知正方体的棱长为2，若，分别是的中点，作出过，，三点的截面.例11．（2023·全国·高一课时练习）如图，正方体的棱长为分别是的中点，设过三点的平面与交于点．（1）画出过三点的平面与平面的交线，以及与平面的交线；（2）求的长．考点七：直线与直线的位置关系例12．（2023·全国·高一）已知，为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是（）A．若，，则a与b是异面直线 B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面内，则a与b异面 D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面例13．（2023·全国·高一课时练习）如图，点，，，分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线与是异面直线的一个图是________．（填序号）①②③④考点八：异面直线所成的角例14．（2023·黑龙江·绥化市第二中学高一期末）空间四边形的对角线分别为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．1例15．（2023·浙江浙江·高一期末）在正方体中，则异面直线AC与的所成角为（）A． B． C． D．考点九：直线与平面的位置关系例16．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中判断下列位置关系：（1）AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是________；（2）平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．考点十：平面与平面的位置关系例17．（2023·全国·高一课时练习）在四棱台中，平面与平面的位置关系是（）A．相交 B．平行C．不确定 D．异面【真题演练】1．（2023·福建省福州高级中学高一期末）在长方体中，，，，则和所成的角是（

）A．60° B．45° C．30° D．90°2．（2023·上海师大附中高一期末）若点在直线上，在平面内，则用符号表示､､之间的关系可记作___________.3．（2023·上海市七宝中学高一期末）三条互相平行的直线最多可确定____个平面．4．（2023·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高一阶段练习）如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论：①A、M、O三点共线；

②A、M、O、不共面：③A、M、C、O共面；

④B、、O、M共面，其中正确的序号为_________．5．（2023·全国·高一专题练习）若面，面，面，则平面与平面的位置关系_________.6．（2023·天津·高一期末）在正四面体ABCD中，E为BC的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为___________.7．（2023·全国·高一课时练习）下图中的两个相交平面，其中画法正确的是______．8．（2023·浙江·杭州四中高一期中）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证：(1)点E，F，G，H四点共面；(2)直线EH，BD，FG相交于一点．【过关检测】一、单选题1．（2023·甘肃·天水市第一中学高一期末）如图，在正方体中，、、、分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（

）A．45° B．60° C．90° D．120°2．（2023·全国·高一课时练习）一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面3．（2023·全国·高一单元测试）与空间不共面的四个点距离相等的平面有（

）A．3个 B．4个 C．7个 D．无数个4．（2023·全国·高一课时练习）如图，正方体中，若，，分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则下列判断错误的是（

）A．，，，四点共面 B．，，，四点共面C．，，，四点共面 D．，，，四点共面5．（2023·全国·高一课时练习）若，且与的方向相同，则与（

）A．一定平行且方向相同 B．一定平行且方向相反C．一定不平行 D．不一定平行6．（2023·全国·高一课时练习）一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得的截面图形是（

）A． B． C． D．7．（2023·全国·高一课时练习）如图，在三棱柱中，是正三角形，E是的中点，则下列叙述中正确的是（

）A．与是异面直线 B．与共面C．与是异面直线 D．与所成的角为8．（2023·全国·高一课时练习）在正方体上有一只蚂蚁，从点出发沿正方体的棱前进，若该蚂蚁走的第条棱与第条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第2022条棱之后的位置是在（

）A．点处 B．点处 C．点处 D．点处二、多选题9．（2023·浙江·杭州四中高一期中）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则以下正确的是（

）A． B． C． D．10．（2023·全国·高一课时练习）如图，在正方体中，P，Q分别是棱的中点，平面平面，则下列结论中不正确的有（

）A．l过点B．l不一定过点C．的延长线与的延长线的交点不在l上D．的延长线与的延长线的交点在l上11．（2023·全国·高一课时练习）下列图形中一定是平面图形的有（

）A．三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．四条边相等的四边形12．（2023·云南昆明·高一期末）如图，在长方体中，E、F、G、H分别是、、AB、AD的中点，则下列说法正确的是（

）A．点A在平面内 B．C．平面平面 D．直线EH与直线FG相交三、填空题13．（2023·福建·福州金山中学高一期末）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，与所成角的大小为___________.14．（2023·全国·高一课时练习）已知，，，是相应长方体或空间四边形的边或对角线的中点，则这四点必定共面的是______．（写序号）15．（2023·全国·高一课时练习）从正方体的12条棱和12条面对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为______．16．（2023·上海·复旦附中高一期末）如图，长方体中，，点和分别为线段和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__．四、解答题