高二数学寒假讲义练习（新人教A专用）第11讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（学生卷）

第11讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理【【考点目录】【【知识梳理】知识点1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)分类加法计数原理①定义：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.②拓展：完成一件事，如果有n类方案，且：第1类方案中有m1种不同的方法，第2类方案中有m2种不同的方法，…，第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.(2)分步乘法计数原理①定义：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.②拓展：完成一件事，如果需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.知识点2解答计数应用问题的总体思路根据完成事件所需的过程，对事件进行整体分类，确定可分为几大类，整体分类以后，再确定在每类中完成事件要分几个步骤，这些问题都弄清楚了，就可以根据两个基本原理解决问题了.此外，还要掌握一些非常规计数方法，如：①枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于种数较少且计数对象不规律的情况；②转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题；③间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑利用正难则反的策略，先计算其反面情形，再用总数减去即得.【【考点剖析】考点一分类加法计数原理1．（2023春·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）某校开设A类选修课4门,B类选修课3门,一同学从中选1门,则该同学的不同选法共有（

）A．7种 B．12种 C．4种 D．3种2．（2023秋·江苏·高二校联考阶段练习）某高中为高一学生提供四门课外选修课：数学史､物理模型化思维､英语经典阅读､《红楼梦》人物角色分析.要求每个学生选且只能选一门课程.若甲只选英语经典阅读，乙只选数学史或物理模型化思维，学生丙､丁任意选，这四名学生选择后，恰好选了其中三门课程，则他们选课方式的可能情况有___________种.3．（2023春·辽宁葫芦岛·高二校联考期中）某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（

）A．40种 B．20种 C．15种 D．11种4．（2023·高二课时练习）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（

）．A．18个 B．15个 C．12个 D．9个5．（2023春·上海嘉定·高二校考期中）已知a，b∈{0，1，2，…，9}，若满足|a－b|≤1，则称a，b“心有灵犀”．则a，b“心有灵犀”的情形共有_______．6．（2023·高二单元测试）若一个、均为非负整数的有序数对，在做的加法时，各位均不进位，则称为“简单的有序实数对”，称为有序实数对之值，则值为2004的“简单的有序实数对”的个数是（

）．A．10 B．15 C．20 D．257．（2023秋·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为.若成等差数列，则不同的分珠计数法有________种.考点二分步乘法计数原理8．（2023秋·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）全国中学生学科竞赛包含数学、物理、化学、生物、信息5个学科，4名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择1个学科参加竞赛，则不同的报名方法种数是_______________．9．（2023秋·上海闵行·高二校考期末）现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（

）A． B． C．20 D．910．（2023春·辽宁沈阳·高二同泽高中校考阶段练习）将4封信投入3个不同邮筒，且4封信全部投完，不同的投法有______种11．（2023秋·福建·高二福建师大附中校考期中）四名师范生从A，B，C三所学校中任选一所进行教学实习，其中A学校必有师范生去，则不同的选法方案有（

）A．37种 B．65种 C．96种 D．108种12．（2023春·辽宁沈阳·高二同泽高中校考阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有______种考点三两个计数原理的综合实际问题的计数问题13．（2023秋·河北·高二河北省文安县第一中学校考期末）如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为（

）A．5 B．7 C．8 D．1214．（2023秋·山东菏泽·高二统考期中）如图，从甲村到乙村有3条路可走，从乙村到丙村有2条路可走，从甲村不经过乙村到丙村有2条路可走，则从甲村到丙村的走法种数为（

）A．3 B．6 C．7 D．815．（2023·高二课时练习）三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有______种．16．【多选】（2023秋·河北石家庄·高二校考阶段练习）如图，线路从到之间有五个连接点，若连接点断开，可能导致线路不通，现发现之间线路不通，则下列判断正确的是（

）A．至多三个断点的有种 B．至多三个断点的有种C．共有种 D．共有种代数中的计数问题17．（2023·高二课时练习）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为（

）A．64 B．56 C．53 D．5118．【多选】（2023·高二课时练习）已知集合M={1，-2，3}，N={-4，5，6，-7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别记作a，b．则下列说法正确的有（

）A．表示不同的正数的个数是6B．表示不同的比1小的数的个数是6C．（a，b）表示x轴上方不同的点的个数是6D．（a，b）表示y轴右侧不同的点的个数是619．（2023·高二课时练习）对于自然数作竖式运算时不进位，那么称是“良数”，如32是“良数”，由于计算时不进位，23是“良数”，由于计算时要进位，那么小于1000的“良数”有A．36个 B．39个 C．48个 D．64个几何计数问题20．（2023秋·全国·高二期末）从正十五边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（

）.A．105种 B．225种 C．315种 D．420种21．（2023秋·全国·高二期末）过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（

）A．18 B．30 C．36 D．5422．（2023秋·全国·高二期末）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（

）.A．20种 B．16种 C．12种 D．8种23．（2023秋·山东聊城·高二校考期中）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中相互平行或相互垂直的有（

）A．24对 B．16对 C．18对 D．48对24．（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有______种不同选法数字排列问题25．（2023·高二课时练习）已知集合，，从A中取一个数作为十位数字，从B中取一个数作为个位数字，能组成______个不同的两位数，能组成______个十位数字小于个位数字的两位数．26．（2023·高二课时练习）由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：(1)这些数的数字和；(2)这些数的和．27．（2023·高二课时练习）由0、1、2、3、4、5这6个数字可以组成______个没有重复数字的三位偶数.涂色问题28．（2023春·辽宁葫芦岛·高二校联考期中）如图，提供4种不同的颜色给图中，，，四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有___________种．29．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考期中）如图所示的五个区城中，现要求在五个区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区城所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为________（用数字作答）．30．（2023春·宁夏银川·高二校考阶段练习）用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种31．（2023·高二课时练习）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，如图所示．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有（

）．A．80种 B．120种 C．160种 D．240种【【过关检测】一、单选题1．（2023秋·广西百色·高二统考期末）某学校推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲､乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法为（

）A．16 B．24 C．12 D．362．（2023秋·河北石家庄·高二统考期末）7月3日，甲、乙两人从邢台各自乘坐火车到石家庄，当天从刑台到石家庄有11个车次，其中有5个车次的发车时间为凌晨1点到凌晨5点，有6个车次的发车时间为早上7点到晚上6点.已知甲选择凌晨6点以后出发的车次，乙选择凌晨1点到晚上6点出发的车次，则两人车次的不同选择共有（

）A．11种 B．36种 C．66种 D．121种3．（2023秋·湖南长沙·高二长沙县实验中学统考期末）从数字1，2，3，4中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（

）A．7 B．9 C．10 D．134．（2023秋·陕西咸阳·高二校考期末）将6封信投入4个邮筒，且6封信全部投完，不同的投法有（

）A．种 B．种 C．4种 D．24科5．（2023秋·河北保定·高二统考期末）在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（

）A．1440 B．720 C．1920 D．960二、多选题6．（2023秋·江苏淮安·高二统考期末）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（

）A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种7．（2023秋·湖南长沙·高二周南中学校考期末）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（

）A．从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法三、填空题8．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高二统考期末）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有______种不同的涂色方法.9．（2023秋·山东聊城·高二统考期末）数字2022具有这样的性质：它是6的倍数并且各位数字之和为6，称这种正整数为“吉祥数”.在所有的三位正整数中，“吉祥数”的个数为___________.10．（2023秋·江苏徐州·高二统考期末）由1，2，3，4，5，6组成各位数字既不全相同，也不两两互异的四位数，要求，则这样的四位数的个数为___________.11