高中专题复习及考试要求 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第8节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

第8节离散型随机变量的均值与方差、正态分布考试要求1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题；3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用.1.离散型随机变量的均值与方差知

识

梳

理若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn数学期望平均水平平均偏离程度标准差2.均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝___________.(2)D(aX＋b)＝__________

(a，b为常数).aE(X)＋ba2D(X)3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝___，D(X)＝_________.(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝____，D(X)＝_________.pp(1－p)npnp(1－p)4.正态分布X～N(μ，σ2)上方x＝μx＝μ越小越大0.68270.95450.9973诊

断

自

测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.(

)(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.(

)(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.(

)(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.(

)(5)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差.(

)(6)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.(

)解析均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确.答案

(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)√

(6)√2.(老教材选修2－3P68练习2改编)若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________.

解析∵P(X＝c)＝1，∴E(X)＝c×1＝c， ∴D(X)＝(c－c)2×1＝0.

答案03.(老教材选修2－3P75B2改编)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则c＝________.

解析∵X～N(3，1)，∴正态曲线关于x＝3对称，

且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，4.(2018·全国Ⅲ卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，则p＝(

) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3答案B5.(2020·合肥检测)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________.解析E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以E(Y)<E(X)，故乙技术好.答案乙X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.26.(多填题)(2020·烟台调研)为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100，17.52).已知成绩在117.5分以上(含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人.(若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.96)答案0.16

10考点一离散型随机变量的均值与方差【例1】

(2020·广州质检)2020年元旦班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目. (1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率； (2)记X为a同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望.(2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.解(1)设“a同学摸球三次后停止摸球”为事件E，所以随机变量X的分布列为规律方法(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用.【训练1】

(2020·泰安模拟)某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个送外卖小哥某天从9：00到21：00这个时间段送的50单外卖，以2小时为一时间段将时间分成六段，各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如图.时间区间[9，11)[11，13)[13，15)[15，17)[17，19)[19，21]每单收入(元)65.566.45.56.5(1)求频率分布直方图中a的值，并求这个外卖小哥送这50单获得的收入；(2)这个外卖小哥记得在[13，15)这个时间段只有4单外卖带有饮品，现在从[13，15)这个时间段送出的外卖中随机抽取3单外卖，求这3单外卖中带有饮品的单数X的分布列和数学期望.解(1)由频率分布直方图得2a＝1－2×(0.05×2＋0.08×2＋0.14)＝0.2，解得a＝0.1.又样本容量n＝50，∴在[9，11)这个时间段送外卖的频数为0.08×2×50＝8，同理可求得[11，13)，[13，15)，[15，17)，[17，19)，[19，21]这5个时间段送外卖的频数分别为14，10，5，8，5.∴外卖小哥送50单的收入为8×6＋14×5.5＋10×6＋5×6.4＋8×5.5＋5×6.5＝293.5(元).(2)由(1)知，在[13，15)这个时间段共送10单外卖，10单外卖中有4单带饮品，6单不带饮品，X的可能取值为0，1，2，3.∴X的分布列为考点二二项分布的均值与方差【例2】

(2020·昆明诊断)某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9). (1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及数学期望E(X). (2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率.该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.＝0.8(1－p)2＋0.4p(1－p)＝0.4p2－1.2p＋0.8，①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？解

(1)依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3.则P(X＝0)＝0.2(1－p)2＝0.2p2－0.4p＋0.2，P(X＝3)＝0.8p2.X的分布列为E(X)＝0×(0.2p2－0.4p＋0.2)＋1×(0.4p2－1.2p＋0.8)＋2×(－1.4p2＋1.6p)＋3×0.8p2＝2p＋0.8.(2)当p＝0.9时，E(X)取得最大值.①一棵B种树苗最终成活的概率为0.9＋0.1×0.75×0.8＝0.96.②记Y为n棵树苗的成活棵数，M(n)为n棵树苗的利润，则Y～B(n，0.96)，E(Y)＝0.96n，M(n)＝300Y－50(n－Y)＝350Y－50n，X0123P0.2p2－0.4p＋0.20.4p2－1.2p＋0.8－1.4p2＋1.6p0.8p2E(M(n))＝350E(Y)－50n＝286n，要使E(M(n))≥200000，则有n＞699.所以该农户至少引种700棵B种树苗，就可获利不低于20万元.规律方法二项分布的均值与方差(1)如果X～B(n，p)，则用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aX＋b)＝aE(X)＋b以及E(X)＝np求出E(aX＋b)，同样还可求出D(aX＋b).【训练2】

(2020·东营质检)互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.M市某调查机构针对该市市场占有率最高的两家网络外卖企业(以下简称外卖A、外卖B)的服务质量进行了调查，从使用过这两种外卖服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家外卖企业评分，满分均为100分，并将分数分成5组，得到以下频数分布表：分数种类[0，20)[20，40)[40，60)[60，80)[80，100]外卖A(人数)50150100400300外卖B(人数)100100300200300表中得分越高，说明市民对网络外卖服务越满意.若得分不低于60分，则表明该市民对网络外卖服务质量评价较高，现将分数按“服务质量指标”划分成以下四个档次：分数[0，40)[40，60)[60，80)[80，100]服务质量指标0123用频率表示概率，解决下列问题：(1)从该市使用过外卖A的市民中任选5人，记对外卖A服务质量评价较高的人数为X，求X的数学期望；(2)从参与调查的市民中随机抽取1人，试求其评分中外卖A的“服务质量指标”与外卖B的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率.(2)记外卖A的“服务质量指标”为事件Ai，外卖B的“服务质量指标”为事件Bi，i∈{0，1，2，3}，则其评分中外卖A的“服务质量指标”与外卖B的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率为P(A2B0＋A3B1＋A0B2＋A1B3)＝P(A2B0)＋P(A3B1)＋P(A0B2)＋P(A1B3)＝0.4×0.2＋0.3×0.3＋0.2×0.2＋0.1×0.3＝0.24.考点三均值与方差在决策问题中的应用若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500，－300，0.则X2的分布列为：解若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为300，－150.则X1的分布列为所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.规律方法随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.【训练3】

东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的).根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了解市场的需求情况，现统计该食品在本地区100天的销售量如下表：销售量/份15161718天数20304010(视样本频率为概率)(1)根据该食品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为X，求X的分布列与数学期望；(2)以两天内该食品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？解

(1)根据题意可得，X的所有可能取值为30，31，32，33，34，35，36.X的分布列如下：(2)当购进32份时，利润为可见，当购进32份时，利润更大.＝107.52＋13.92＋4.16＝125.6(元).当购进33份时，利润为125.6＞124.68，考点四正态分布A.甲类水果的平均质量为0.4kgB.甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99(2)已知随机变量X服从正态分布N(4，62)，P(X≤5)＝0.89，则P(X≤3)