2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性课后习题第四章　数列4-4　数学归纳法

4.4*数学归纳法必备知识基础练1.利用数学归纳法证明不等式1+12+13+…+12n-1<n(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k变到A.1项 B.k项 C.2k1项 D.2k项2.(2021上海交大附中高一下入学检测)用数学归纳法证明“对任意偶数n,anbn能被ab整除”时,其第二步论证应该是()A.假设n=k(k为正整数)时命题成立,再证n=k+1时命题也成立B.假设n=2k(k为正整数)时命题成立,再证n=2k+1时命题也成立C.假设n=k(k为正整数)时命题成立,再证n=2k+1时命题也成立D.假设n=2k(k为正整数)时命题成立,再证n=2(k+1)时命题也成立3.(2021上海黄浦高二期末)用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n1)(n∈N*).从n=k(k∈N*)到n=k+1,若设f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),则f(k+1)=()A.f(k)+[2(2k+1)]B.f(k)·[2(2k+1)]C.f(k)+2D.f(k)·24.(多选题)对于不等式n2+n≤n+1(n∈N*①当n=1时,12+1≤1+1,②假设n=k(k∈N*)时,不等式成立,即k2+k<k+1,则n=k+(k(k2+3k+2)∴当n=k+1时,不等式成立,关于上述证明过程的说法正确的是()A.证明过程全都正确B.当n=1时的验证正确C.归纳假设正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确5.(多选题)一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立,则下列说法正确的是()A.该命题对于n=6时命题成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k取值无关D.以上答案都不对6.用数学归纳法证明112+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1n7.用数学归纳法证明:1222+3242+…+(1)n1n2=(1)n1·n(n+1)2(n8.(2021陕西西安铁路一中高二期末)在数列{an}中,a1=12,an+1=3(1)求出a2,a3并猜想{an}的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.关键能力提升练9.(2021江西赣州高二期末)用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+…+1n+n>1314(n∈N*)的过程中A.增加了12B.增加了12C.增加了12D.增加了110.(2021浙江温州期中)利用数学归纳法证明等式:1·n+2·(n1)+3·(n2)+…+n·1=16n(n+1)(n+2)(n∈N*),当n=k时,左边的和1·k+2·(k1)+3·(k2)+…+k·1,记作Sk,则当n=k+1时左边的和,记作Sk+1,则Sk+1Sk=(A.1+2+3+…+kB.1+2+3+…+(k1)C.1+2+3+…+(k+1)D.1+2+3+…+(k2)11.(多选题)用数学归纳法证明2n-12n+1>nn+1对任意n≥λ(n,λ∈NA.1 B.2 C.3 D.412.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+.

13.是否存在a,b,c使等式1n2+2n2+3n2+…+nn2=an14.用数学归纳法证明:23×45×67×…×215.已知数列{fn(x)}满足f1(x)=x1+x2(x>0),fn+1(x)=f1(fn((1)求f2(x),f3(x),并猜想{fn(x)}的通项公式;(2)用数学归纳法证明猜想.学科素养创新练16.已知数列{an}满足a1=2,an+1=an2nan+1(n∈N*(1)求a2,a3,a4,并由此猜想出{an}的一个通项公式并用数学归纳法证明;(2)用数学归纳法证明:当n>1时,1a1+1a参考答案4.4*数学归纳法1.D当n=k时,不等式左边的最后一项为12k-1,而当n=k+1时,最后一项为12k+1-2.D根据证明的结论,n为正偶数,故第二步的假设应写成:假设n=2k,k∈N*时命题正确,即当n=2k,k∈N*时,a2kb2k能被ab整除,再推证n=2k+2时正确.故选D.3.B由数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n1)(n∈N*)时,从“k”到“k+1”的证明,左边需增添的一个因式是(2k+1)(2k+2)k+1=2(2k+1),则f(k+4.BCDn=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故选BCD.5.AB由n=k时命题成立可以推出n=k+2时命题也成立,且n=2时,命题成立,故对所有的正偶数都成立.故选AB.6.112=1212k+1-12(k+1)当n=1时,7.证明①当n=1时,左边=12=1,右边=(1)0×1×(左边=右边,等式成立.②假设n=k(k∈N*)时,等式成立,即1222+3242+…+(1)k1k2=(1)k1·k(则当n=k+1时,1222+3242+…+(1)k1k2+(1)k(k+1)2=(1)k1·k(k+1)2+(1)=(1)k(k+1)·(k+1)k2=(1)k·(k∴当n=k+1时,等式也成立,根据①②可知,对于任何n∈N*等式成立.8.(1)解由a1=12,an+1=3anan+3,得a2=3猜想an=3n(2)证明①当n=1时,a1=12=36=②假设当n=k(k∈N*)时,结论成立,即ak=3k那么,当n=k+1时,ak+1=3aka由①和②可知对任意n∈N*,都有an=3n+59.D当n=k时,1k+1+1k当n=k+1时,1k+1+1+1k左边增加了1210.C依题意,Sk=1·k+2·(k1)+3·(k2)+…+k·1,则Sk+1=1·(k+1)+2·k+3·(k1)+4·(k2)+…+k·2+(k+1)·1,∴Sk+1Sk=1·[(k+1)k]+2·[k(k1)]+3·[(k1)(k2)]+4·[(k2)(k3)]+…+k·(21)+(k+1)·1=1+2+3+…+k+(k+1).11.CD取n=1,则2n-取n=2,则2n-取n=3,则2n-取n=4,则2n-猜想当n≥3时,2n-12n+1>n证明:当n=3时,2n-设当n=k(k≥3,k∈N*)时,有2k-则当n=k+1时,有2k令t=2k-12k+1,因为t>kk+1,故2k+1因为4k+14k+3所以当n=k+1时,不等式也成立,由数学归纳法可知2n-12n+1>nn12.π由凸k边形变为凸k+1边形时,增加了一个三角形图形,故f(k+1)=f(k)+π.13.解取n=1,2,3可得a解得a=13,b=12,c=下面用数学归纳法证明1n2+2n即证12+22+…+n2=16n(n+1)(2n+①当n=1时,左边=1,右边=1,∴等式成立;②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即12+22+…+k2=16k(k+1)(2k+1)成立则当n=k+1时,等式左边=12+22+…+k2+(k+1)2=16k(k+1)(2k+1)+(k+1)=16[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2=16(k+1)(2k2+7k+6)=16(k+1)(k+2)(2故当n=k+1时等式成立.由数学归纳法,综合①②当n∈N*等式成立,故存在a=13,b=12,c=114.证明①∵当n=1时,49-12∴49∴23<12=11+1,②假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即23×45×则当n=k+1时,23×45×∵2k+12k+321(4(k∴2k+12k+32<1(∴2k+12k+3<1(综合①②可知,对于任意n∈N*,23×45×615.解(1)f2(x)=f1[f1(x)]=f1(x)1+f12(x)=x1+2x2,f猜想:fn(x)=x1+nx2(n∈(2)下面用数学归纳法证明fn(x)=x1+nx2(n①当n=1时,f1(x)=x1+x2②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即fk(x)=x1+则当n=k+1时,fk+1=f1[fk(x)]=x1+kx21+x1+k结合①②可知,猜想fn(x)=x1+nx2对一切n∈16.(1)解由a1=2,得a2=a12a1+1由a2=3,得a3=a222a2+1由a3=4,得a4=a323a3+1由此猜想an的一个通项公式为an=n+1.下面证明an=n+1.当n=1时,a2=2=1+1,成立.假设当n=k(k≥2)