统考版2024届高考数学一轮复习第二章2.1函数及其表示学案理含解析2023042318

统考版2024届高考数学一轮复习第二章2.1函数及其表示学案理含解析2023042318第一节函数及其表示【知识重温】一、必记3个知识点1．函数与映射的概念函数映射两集合A，BA，B是两个非空数集A，B是两个①________对应关系f：A→B按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的②________一个数x，在集合B中有③________的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，对于集合A中的④________一个元素x，在集合B中都有⑤________的元素y与之对应名称那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的⑥________；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的⑦________.显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素⑧________、⑨________和⑩________.(3)相等函数如果两个函数的⑪________和⑫________完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：⑬____________、⑭__________、⑮____________.3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因⑯____________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的⑰________，其值域等于各段函数的值域的⑱________，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．二、必明3个易误点1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数．3．易误把分段函数理解为几种函数组成．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)f(x)＝eq\f(1,\r(x－4))＋eq\r(3－x)是一个函数．()(2)A＝R，B＝R，f：x→y＝eq\f(1,x－1)，表示从集合A到集合B的映射(也是函数)．()(3)函数f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有2个．()(4)y＝2x(x∈{1,2})的值域是2,4.()(5)y＝lnx2与y＝2lnx表示同一函数．()(6)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，－1≤x≤1，,x＋3，x>1或x<－1，))则f(－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，－1≤x≤1，,－x＋3，x>1或x<－1.))()二、教材改编2．下列函数f(x)与g(x)是同一个函数的是()A．f(x)＝x－1，g(x)＝eq\f(x2,x)－1B．f(x)＝x2，g(x)＝(eq\r(x))4C．f(x)＝x2，g(x)＝eq\r(3,x6)D．f(x)＝x，g(x)＝eq\r(x2)3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋12，x≤－1，,x＋1，－1<x≤0，,x＋12，x>0，))则f(f(－2))＝________.三、易错易混4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0.))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于()A．－3B．－1C．－1或－3D．35．函数y＝x＋eq\r(2x＋1)的值域为________．四、走进高考6．[2019·江苏卷]函数y＝eq\r(7＋6x－x2)的定义域是________．eq\x(考点一)函数的定义域[自主练透型]1．[2020·北京卷]函数f(x)＝eq\f(1,x＋1)＋lnx的定义域是________．2．函数y＝eq\f(lg2－x,\r(12＋x－x2))＋(x－1)0的定义域是()A．{x|－3<x<1}B．{x|－3<x<2且x≠1}C．{x|0<x<2}D．{x|1<x<2}3．[2021·抚州模拟]若函数f(x)的定义域为[0,6]，则函数eq\f(f2x,x－3)的定义域为()A．(0,3)B．[1,3)∪(3,8]C．[1,3)D．[0,3)悟·技法考点二函数的解析式[互动讲练型][例1](1)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋1))＝lgx，则f(x)的解析式为________．(2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，则f(x)的解析式为________．悟·技法求函数解析式常用的方法[变式练]——(着眼于举一反三)1．已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，则函数f(x)的解析式为________．2．若函数f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，则函数f(x)的解析式为________________．3．已知f(x)满足2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，则f(x)＝________.考点三分段函数[分层深化型]考向一：求分段函数的函数值[例2](1)[2021·合肥一检]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x－2)，x>2，,x2＋2，x≤2，))则f(f(1))＝()A．－eq\f(1,2)B．2C．4D．11(2)[2021·山西太原三中模拟]设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1x≥2，,log2x0<x<2.))若f(m)＝3，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－m))＝________.考向二：分段函数与方程、不等式的综合问题[例3](1)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋a，x<1，,2x，x≥1，))若feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))))＝4，则实数a＝()A．－eq\f(2,3)B．－eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3)或－eq\f(2,3)D．－2或－eq\f(2,3)(2)[2018·全国卷Ⅰ]设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x＞0，))则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(－∞，0)悟·技法1.求分段函数的函数值(1)基本步骤①确定要求值的自变量属于哪一区间．②代入该区间对应的解析式求值．(2)两种特殊情况①当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．②当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．2．解分段函数与方程或不等式的综合问题的策略求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围.[同类练]——(着眼于触类旁通)4．[2021·福州市高三质量检测]函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x<0,ex－1，x≥0))，则f(2)＋f(－1)＝________.5．[2021·江西省名校高三教学质量检测]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋12x≤0,x2－3x－3x>0))，则f(f(1))＝()A．－5B．0C．1D．2[变式练]——(着眼于举一反三)6．[2021·惠州市高三第二次调研考试试题]设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2x≤1,1－lgxx>1))，则f(f(－4))＝________.7．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0<x<1，,2x－1，x≥1，))若f(a)＝f(a＋1)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝()A．2B．4C．6D．8[拓展练]——(着眼于迁移应用)8．[2021·广东金山中学检测]已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)x≥0，,x2x<0，))则f(f(x))≥1的解集是()A．(－∞，－eq\r(2)]B．[4eq\r(2)，＋∞)C．(－∞，－1]∪[4eq\r(2)，＋∞)D．(－∞，－eq\r(2)]∪[4，＋∞)第一节函数及其表示【知识重温】①非空集合②任意③唯一确定④任意⑤唯一确定⑥定义域⑦值域⑧定义域⑨值域⑩对应关系⑪定义域⑫对应关系⑬解析法⑭列表法⑮图象法⑯对应关系⑰并集⑱并集【小题热身】1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√2．解析：A中，f(x)定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，∴f(x)与g(x)不是同一函数．B中，f(x)定义域为R，g(x)定义域为{x|x≥0}，定义域不同，∴f(x)与g(x)不是同一函数．C中，f(x)与g(x)定义域与对应关系都相同，∴f(x)与g(x)是同一函数．D中，f(x)与g(x)定义域都是R，但对应关系不同，∴f(x)与g(x)不是同一函数．故选C.答案：C3．解析：∵f(－2)＝(－2＋1)2＝1，∴f(f(－2))＝f(1)＝(1＋1)2＝4.答案：44．解析：∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－f(1)＝－2，当a>0时，2a＝－2，∴a＝－1(舍去)，当a≤0时，a＋1＝－2，∴a＝－3.故选A.答案：A5．解析：令t＝eq\r(2x＋1)，则t≥0，且x＝eq\f(t2－1,2).故y＝eq\f(t2－1,2)＋t＝eq\f(1,2)(t＋1)2－1，t∈[0，＋∞)．∴y≥－eq\f(1,2).∴函数y＝x＋eq\r(2x＋1)的值域为[－eq\f(1,2)，＋∞)．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))6．解析：由题意知7＋6x－x2≥0.即x2－6x－7≤0.解得－1≤x≤7，故函数的定义域为[－1,7]．答案：[－1,7]课堂考点突破考点一1．解析：函数f(x)＝eq\f(1,x＋1)＋lnx的自变量满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,x>0，))∴x>0，即定义域为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)2．解析：要使函数解析式有意义，须有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x>0，,12＋x－x2>0，,x－1≠0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2，,－3<x<4，,x≠1，))所以－3<x<2且x≠1.故已知函数的定义域为{x|－3<x<2且x≠1}．答案：B3．解析：因为函数f(x)的定义域为[0,6]，所以0≤2x≤6，解得0≤x≤3.又因为x－3≠0，所以函数eq\f(f2x,x－3)的定义域为[0,3)．答案：D考点二例1解析：(1)(换元法)令eq\f(2,x)＋1＝t，得x＝eq\f(2,t－1)，因为x>0，所以t>1，所以f(t)＝lgeq\f(2,t－1).即f(x)的解析式是f(x)＝lgeq\f(2,x－1)(x>1)．(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3.所以f(x)＝ax2＋bx＋3，所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＝4，,4a＋2b＝2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1.))所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3.(3)(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝2x，①将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，②由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，所以f(x)＝2x.答案：(1)f(x)＝lgeq\f(2,x－1)(x>1)(2)f(x)＝x2－x＋3(3)f(x)＝2x变式练1．解析：解法一(配凑法)∵f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)＝(eq\r(x))2＋2eq\r(x)＋1－1＝(eq\r(x)＋1)2－1，且eq\r(x)＋1≥1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．解法二(换元法)设t＝eq\r(x)＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1(x≥1)．答案：f(x)＝x2－1(x≥1)2．解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝af(x)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－3，))∴f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.答案：f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－33．解析：因为2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，①所以将x用eq\f(1,x)替换，得2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq\f(3,x)，②由①②解得f(x)＝2x－eq\f(1,x)(x≠0)，即f(x)的解析式是f(x)＝2x－eq\f(1,x)(x≠0)．答案：2x－eq\f(1,x)(x≠0)考点三例2解析：(1)因为f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋eq\f(1,3－2)＝4.故选C.(2)当m≥2时，m2－1＝3，所以m＝2或m＝－2(舍)；当0<m<2时，log2m＝3，所以m＝8(舍)．所以m＝2.所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－m))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝log2eq\f(1,2)＝－1.答案：(1)C(2)－1例3解析：(1)因为eq\f(2,3)＜1，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝4×eq\f(2,3)＋a＝a＋eq\f(8,3).若a＋eq\f(8,3)≥1，即a≥－eq\f(5,3)时，＝4，即a＋eq\f(8,3)＝2⇒a＝－eq\f(2,3)＞－eq\f(5,3)(成立)；若a＋eq\f(8,3)＜1，即a＜－eq\f(5,3)时，则4a＋eq\f(32,3)＋a＝4，即a＝－eq\f(4,3)＞－eq\f(5,3)(舍去)，综上a＝－eq\f(2,3).(2)将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＜0，,2x＜x＋1，))解得x＜0，所以满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是(－∞，0)．故选D.答案：(1)A(2)D同类练4．解析：因为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x<0,ex－1，x≥0))，所以f(2)＋f(－1)＝e2－1－1＝e2－2.答案：e2－25．解析：f(1)＝12－3×1－3＝－5，f(－5)＝2×(－5)＋12＝2，故选D.答案：D变式练6．解析：f(－4)＝16－4－2＝10，所以f(f(－4))＝f(10)＝1－lg10＝0.答案：07．解析：解法一当0<a<1时，a＋1>1.所以f(a)＝eq\r(a)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.由f(a)＝f(a＋1)得eq\r(a)＝2a，所以a＝eq\f(1,4).此时feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝f(4)＝2×(4－1)＝6.当a≥1时，a＋1>1，所以f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.由f(a)＝f(a＋1)得2(a－1)＝2a，无解．综上，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝6，故选C.解法二因为当0<x<1时，f(x)＝eq\r(x)，为增函数，当x≥1时，f(x)＝2(x－1)，为增函数，又f(a)＝f(a＋1)，所以eq\r(a)＝2(a＋1－1)，所以a＝eq\f(1,4).所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝f(4)＝6.答案：C拓展练8．解析：当x≥0时，f(x)＝eq\f(x,2)≥0，所以f(f(x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＝eq\f(x,4)≥1，解得x≥4；当x<0时，f(x)＝x2>0，所以f(f(x))＝f(x2)＝eq\f(x2,2)≥1，解得x≥eq\r(2)(舍)或x≤－eq\r(2).综上，f(f(x))≥1的解集为(－∞，－eq\r(2)]∪[4，＋∞)．故选D.答案：D第二节函数的单调性与最值【知识重温】一、必记2个知识点1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有①________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x1<x2时，都有②________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．图象描述自左向右看图象是③________自左向右看图象是④________注：定义的两种形式设x1，x2∈D且x1<x2，若eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0⇔(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(x)为增函数；若eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则f(x)为减函数．(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是⑤________或⑥________，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的⑦________.(3)若函数y＝f(x)在区间D内可导，当⑧________时，f(x)在区间D上为增函数；当⑨________时，f(x)在区间D上为减函数．(4)复合函数的单调性．若构成复合函数的内、外层函数单调性相同，则复合函数为增函数，否则为减函数．简称“同增异减”．2．函数的最值(1)函数最值的定义前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有⑩________；(2)存在x0∈I，使得⑪________.(1)对于任意的x∈I，都有⑫________；(2)存在x0∈I，使得⑬________.结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值(2)两条结论：①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取到；②区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、必明2个易误点1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“，”“和”．2．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，eq\f(1,fx)等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)函数y＝|x|是R上的增函数．()(2)函数y＝eq\f(1,x)的单调减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()(3)若函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．()(4)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．()(5)已知函数y＝f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是减函数．()二、教材改编2．已知函数f(x)＝eq\f(2,x－1)，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为()A．3B．1C．2D．43．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上具有单调性，则实数k的取值范围是________________．三、易错易混4．函数f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)的单调减区间为()A．(－∞，－1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)，(－1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)5．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的值是________．四、走进高考6．[2019·北京卷]下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝B．y＝2－xC．y＝D．y＝eq\f(1,x)eq\x(考点一)确定函数的单调性(区间)[分层深化型]考向一：判断函数的单调性1．判断函数y＝eq\f(2x2－3,x)的单调性．考向二：利用函数图象求函数的单调区间2．求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．考向三：求复合函数的单调区间3．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)悟·技法1.确定函数单调性(区间)的三种常用方法(1)定义法：一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形(通常是因式分解和配方)；④定号(即判断f(x1)－f(x2)的正负)；⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．2．熟记函数单调性的三个常用结论(1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数；(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(3)复合函数单调性的确定方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”.考点二求函数的最值(值域)[自主练透型]4．函数f(x)＝－x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上的最大值是()A.eq\f(3,2)B．－eq\f(8,3)C．－2D．25．函数y＝x－eq\r(x－1)的最小值为________．6．函数y＝eq\f(3x＋1,x－2)的值域为________．悟·技法求函数的最值(值域)的常用方法(1)单调性法：若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求最值．(2)换元法：求形如y＝eq\r(ax＋b)＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．(3)数形结合法：若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值．(4)有界性法：利用代数式的有界性(如x2≥0，eq\r(x)≥0,2x>0，－1≤sinx≤1等)确定函数的值域．(5)分离常数法：形如求y＝eq\f(cx＋d,ax＋b)(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法.考点三函数单调性的应用[分层深化型]考向一：比较函数值的大小[例1][2021·郑州模拟]已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，且函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，若a＝f(－1)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,4)))，c＝f(20.3)，则a，b，c的大小关系为()A．c<b<aB．a<c<bC．b<c<aD．a<b<c考向二：解不等式[例2]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≥0，,1，x<0，))则不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是()A．(0，eq\r(2)－1)B．(－1，eq\r(2)＋1)C．(0，eq\r(2)＋1)D．(－1，eq\r(2)－1)考向三：求参数的值或取值范围[例3][2021·黑龙江哈工大附中月考]若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x≥1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)))x＋2，x<1))在其定义域上为增函数，则实数a的取值范围是()A．(4,8)B．[4,8)C．(1，＋∞)D．(1,8)听课笔记：悟·技法函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意：若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.[同类练]——(着眼于触类旁通)1．已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2eq\f(7,9)，则f(a)，f(b)，f(c)的大小顺序为()A．f(b)<f(a)<f(c)B．f(c)<f(b)<f(a)C．f(c)<f(a)<f(b)D．f(b)<f(c)<f(a)2．已知函数f(x)＝－x|x|，x∈(－1,1)，则不等式f(1－m)<f(m2－1)的解集为________．[变式练]——(着眼于举一反三)3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3x＋5，x≤1，,2a－logax，x>1，))对于任意x1≠x2都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0成立，则实数a的取值范围是()A．(1,3]B．(1,3)C．(1,2]D．(1,2)4．[2021·广州模拟]已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且当x∈[－2,1]时，f(x)＝x2－2x－4，则关于x的不等式f(x)<－1的解集为()A．(－∞，－1)B．(－∞，3)C．(－1,3)D．(－1，＋∞)[拓展练]——(着眼于迁移应用)5．[2021·贵阳市高三摸底]函数y＝eq\f(x－5,x－a－2)在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()A．a＝－3B．a<3C．a≤－3D．a≥－36．已知函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>bB．c>b>aC．a>c>bD．b>a>c第二节函数的单调性与最值【知识重温】①f(x1)<f(x2)②f(x1)>f(x2)③上升的④下降的⑤增函数⑥减函数⑦单调区间⑧f′(x)>0⑨f′(x)<0⑩f(x)≤M⑪f(x0)＝M⑫f(x)≥M⑬f(x0)＝M【小题热身】1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．解析：由函数单调性的定义可知函数f(x)＝eq\f(2,x－1)在x∈[2,6]上单调递减，所以f(x)max＝f(2)＝2.故选C.答案：C3．解析：函数f(x)为二次函数，对称轴为直线x＝eq\f(k,8).当eq\f(k,8)≤5，即k≤40时，f(x)在[5,20]上单调递增；当eq\f(k,8)≥20，即k≥160时，f(x)在[5,20]上单调递减；综上可知，k的取值范围是(－∞，40]∪[160，＋∞)．答案：(－∞，40]∪[160，＋∞)4．解析：f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)＝eq\f(－1＋x＋2,1＋x)＝－1＋eq\f(2,1＋x).又f(x)＝eq\f(2,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，由函数的图象平移可知f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)．故选C.答案：C5．解析：因为函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，且函数f(x)的图象对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.答案：－36．解析：A选项，eq\f(1,2)>0，所以幂函数y＝在(0，＋∞)上单调递增．B选项，指数函数y＝2－x＝(eq\f(1,2))x在(0，＋∞)上单调递减．C选项，因为0<eq\f(1,2)<1，所以对数函数y＝在(0，＋∞)上单调递减．D选项，反比例函数y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上单调递减．答案：A课堂考点突破考点一1．解析：因为f(x)＝eq\f(2x2－3,x)＝2x－eq\f(3,x)，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而函数y＝2x和y＝－eq\f(3,x)在区间(－∞，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得f(x)＝2x－eq\f(3,x)在区间(－∞，0)上为增函数．同理，可得f(x)＝2x－eq\f(3,x)在区间(0，＋∞)上也是增函数．故函数f(x)＝eq\f(2x2－3,x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数．2．解析：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x≥0，,－x2－2x＋1，x<0))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－12＋2，x≥0，,－x＋12＋2，x<0.))画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0,1]，单调递减区间为(－1,0]和(1，＋∞)．3．解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8在定义域内的单调递增区间．∵函数t＝x2－2x－8在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．答案：D考点二4．解析：因为函数f(x)＝－x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上是减函数，所以f(x)max＝f(－2)＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).答案：A5．解析：令t＝eq\r(x－1)，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝t2＋1－t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)，t≥0，所以当t＝eq\f(1,2)时，ymin＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)6．解析：y＝eq\f(3x＋1,x－2)＝eq\f(3x－2＋7,x－2)＝3＋eq\f(7,x－2)，因为eq\f(7,x－2)≠0，所以3＋eq\f(7,x－2)≠3，所以函数y＝eq\f(3x＋1,x－2)的值域为{y|y∈R且y≠3}．答案：{y|y∈R且y≠3}考点三例1解析：∵函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，∴c＝f(20.3)＝f(－20.3)．∵1<20.3<2，∴－1>－20.3>－2，即－1>－20.3>log2eq\f(1,4).∵函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，∴f(－1)<f(－20.3)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,4)))，即a<c<b.答案：B例2解析：作出函数f(x)的图象如图所示．则不等式f(1－x2)>f(2x)等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2>0，,2x≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2>0，,2x>0，,1－x2>2x，))解得－1<x<eq\r(2)－1.答案：D例3解析：因为分段函数f(x)为增函数，所以需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,4－\f(a,2)>0，,a≥6－\f(a,2)，))解得4≤a<8.故选B项．答案：B同类练1．解析：a＝＝>>1，c＝log2eq\f(7,9)<0，所以c<b<a.因为f(x)＝2x－2－x＝2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上单调递增，所以f(c)<f(b)<f(a)．答案：B2．解析：由已知得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1<x≤0，,－x2，0<x<1，))则f(x)在(－1,1)上单调递减，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<1－m<1，,－1<m2－1<1，,m2－1<1－m，))解得0<m<1，所以所求解集为(0,1)．答案：(0,1)变式练3．解析：根据题意，由eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0，易知函数f(x)为R上的单调递减函数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3<0，,a>1，,a－3＋5≥2a，))解得1<a≤2.故选C.答案：C4．解析：因为f(－1)＝－1，所以f(x)<－1，等价于f(x)<f(－1)．又函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．所以x>－1，所以关于x的不等式f(x)<－1的解集为(－1，＋∞)．答案：D拓展练5．解析：y＝eq\f(x－5,x－a－2)＝eq\f(x－a－2＋a－3,x－a－2)＝1＋eq\f(a－3,x－a＋2)，所以当a－3<0时，y＝eq\f(x－5,x－a－2)的单调递增区间是(－∞，a＋2)，(a＋2，＋∞)；当a－3≥0时不符合题意．又y＝eq\f(x－5,x－a－2)在(－1，＋∞)上单调递增，所以(－1，＋∞)⊆(a＋2，＋∞)，所以a＋2≤－1，即a≤－3，综上知，a的取值范围是(－∞，－3]．答案：C6．解析：由于函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到的图象关于y轴对称，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2))).当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b>a>c.故选D项．答案：D第三节函数的奇偶性与周期性【知识重温】一、必记3个知识点1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果函数f(x)的定义域内①______x都有②______________________，那么函数f(x)是偶函数关于③______对称奇函数如果函数f(x)的定义域内④______x都有⑤______________________，那么函数f(x)是奇函数关于⑥______对称2.奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性⑦______，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性⑧________(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内(ⅰ)两个奇函数的和函数是⑨________，两个奇函数的积函数是⑩________.(ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是⑪________.(ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是⑫________.(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有意义，则f(0)＝⑬________.3．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝⑭________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中⑮__________________的正数，那么这个⑯________就叫做f(x)的最小正周期．(3)常见结论：若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，则T＝2a；若f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，则T＝2a.二、必明2个易误点1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是判断函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)“a＋b＝0”是“函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的必要条件．()(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.()(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．()(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．()(5)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．()(6)若T为y＝f(x)的一周期，那么nT(n∈Z)是函数f(x)的周期．()二、教材改编2．下列函数中为奇函数的是()A．y＝x2sinxB．y＝x2cosxC．y＝|lnx|D．y＝2－x3．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(x)的解析式为________．三、易错易混4．关于函数f(x)＝eq\r(x2－4)＋eq\r(4－x2)与h(x)＝eq\r(x－4)＋eq\r(4－x)的奇偶性，下列说法正确的是()A．两函数均为偶函数B．两函数都既是奇函数又是偶函数C．函数f(x)是偶函数，h(x)是非奇非偶函数D．函数f(x)既是奇函数又是偶函数，h(x)是非奇非偶函数5．设f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f(2)＝0，则eq\f(fx,x)<0的解集为()A．{x|x<－2或x>2}B．{x|x<－2或0<x<2}C．{x|－2<x<0或x>2}D．{x|－2<x<0或0<x<2}四、走进高考6．[2019·全国卷Ⅱ]已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，则a＝________.eq\x(考点一)函数的奇偶性[分层深化型]考向一：判断函数的奇偶性1．[2021·成都市高三阶段考试]已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.A．①③B．②③C．①④D．②④2．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)；(2)f(x)＝(1－x)eq\r(\f(1＋x,1－x))；(3)f(x)＝eq\f(lg1－x2,|x－2|－2)；(4)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0，,－x2＋x，x>0.))考向二：函数奇偶性的应用3．(1)[2019·全国卷Ⅱ]设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝()A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋1(2)[2021·浙江高三月考]若函数f(x)＝eq\f(x,x＋2x－a)为奇函数，则实数a的值为________．悟·技法1.判断函数奇偶性的三种方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数奇偶性的应用(1)求函数值：将特求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．[注意]对于定义域为I的奇函数f(x)，若0∈I，则f(0)＝0.考点二函数的周期性[互动讲练型][例1](1)[2021·绵阳模拟]函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，－1≤x<3，,fx－4，x≥3，))则f(9)＝________.(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝eq\f(1,fx)，当x∈[0,2)时，f(x)＝x＋ex，则f(2020)＝________.悟·技法1.求函数周期的方法方法解读适合题型定义法具体步骤为：对于函数y＝f(x)，如果能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函数y＝f(x)的周期非零常数T容易确定的函数递推法采用递推的思路进行，再结合定义确定周期．如：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a为f(x)的一个周期含有f(x＋a)与f(x)的关系式换元法通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，则x＝t＋a，则f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a为f(x)的一个周期f(bx±a)＝f(bx±c)型关系式2.函数周期性的应用根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.[变式练]——(着眼于举一反三)1．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－eq\f(1,fx)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1.则f(17)＝________，f(20)＝________.2．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．考点三函数性质的综合应用[分层深化型]考向一：单调性与奇偶性的综合[例2][2020·山东卷]若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1,1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞)D．[－1,0]∪[1,3]考向二：周期性与奇偶性结合[例3][2018·全国卷Ⅱ]已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2D．50考向三：单调性、奇偶性和周期性结合[例4][2021·青岛二中模拟]已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋2)＝f(x)；②f(x－2)为奇函数；③当x∈[0,1)时，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(x1≠x2)恒成立，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))，f(4)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))的大小关系正确的是()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))>f(4)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))B．f(4)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))>f(4)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))>f(4)悟·技法

函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合．解此类问题常利用以下两个性质：①如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性、奇偶性转化自变量所在的区间，然后利用单调性求解.[同类练]——(着眼于触类旁通)3．[2020·全国卷Ⅱ]设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)()A．是偶函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))单调递增B．是奇函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))单调递减C．是偶函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))单调递增D．是奇函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))单调递减[变式练]——(着眼于举一反三)4．[2021·武昌区调研考试]已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数y＝f(x－1)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x3，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝________.[拓展练]——(着眼于迁移应用)5．[2021·广东珠海模拟]定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，f(x)＝－f(－x)，且在[0,1]上有f(x)＝x2，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2019\f(1,2)))＝()A.eq\f(9,4)B.eq\f(1,4)C．－eq\f(9,4)D．－eq\f(1,4)6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)第三节函数的奇偶性与周期性【知识重温】①任意一个②f(－x)＝f(x)③y轴④任意一个⑤f(－x)＝－f(x)⑥原点⑦相同⑧相反⑨奇函数⑩偶函数⑪偶函数⑫奇函数⑬0⑭f(x)⑮存在一个最小⑯最小正数【小题热身】1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√(6)×2．解析：A是奇函数，B是偶函数，C，D是非奇非偶函数．答案：A3．解析：当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)＝－x(1－x)．又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x(1－x)，即f(x)＝x(1－x)．答案：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x，x≥0,x1－x，x<0))4．解析：函数f(x)＝eq\r(x2－4)＋eq\r(4－x2)的定义域满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4≥0，,4－x2≥0，))即x2＝4，因此函数f(x)的定义域为{－2,2}，关于原点对称，此时f(x)＝0，满足f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．而函数h(x)＝eq\r(x－4)＋eq\r(4－x)的定义域为{4}，不关于原点对称，因此函数h(x)是非奇非偶函数．答案：D5．解析：∵f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，∴函数f(x)在(0，＋∞)上也为减函数．∵f(2)＝0，∴f(－2)＝－f(2)＝0，故函数f(x)的大致图象如图所示．则由eq\f(fx,x)<0，可得xf(x)<0，即x和f(x)异号，由图象可得x<－2或x>2.故eq\f(fx,x)<0的解集为{x|x<－2或x>2}，故选A.答案：A6．解析：解法一由x>0可得－x<0，由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，∴x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax，则f(ln2)＝e－aln2＝8，∴－aln2＝ln8＝3ln2，∴a＝－3.解法二由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，∴f(ln2)＝－f(lneq\f(1,2))＝－(－ealneq\f(1,2))＝8，∴alneq\f(1,2)＝ln8＝3ln2，∴a＝－3.答案：－3课堂考点突破考点一1．解析：因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，由f(|－x|)＝f(|x|)，知①是偶函数；由f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，知②是奇函数；由y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝x是定义在R上的奇函数，奇×奇＝偶，知③是偶函数；由f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，知④是奇函数．答案：D2．解析：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x2＝3，解得x＝±eq\r(3)，即函数f(x)的定义域为{－eq\r(3)，eq\r(3)}，∴f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)＝0.∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)由eq\f(1＋x,1－x)≥0得－1≤x<1，所以f(x)的定义域为[－1,1)，所以函数f(x)是非奇非偶函数．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2>0，,|x－2|≠2，))得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝eq\f(lg1－x2,－x).又f(－x)＝eq\f(lg[1－－x2],x)＝eq\f(lg1－x2,x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(4)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．3．解析：(1)当x<0时，－x>0，因为当x≥0时，f(x)＝ex－1，所以f(－x)＝e－x－1.又因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.故选D项．(2)由于函数f(x)为奇函数，故f(－x)＋f(x)＝0，即eq\f(－x,－x＋2－x－a)＋eq\f(x,x＋2x－a)＝0，即eq\f(4－2ax2,x＋2－x＋2x＋ax－a)＝0，故4－2a＝0，即a＝2.答案：(1)D(2)2考点二例1解析：(1)f(9)＝f(9－4)＝f(5)＝f(5－4)＝f(1)＝2×1－1＝1.(2)因为定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝eq\f(1,fx)，所以f(x＋4)＝eq\f(1,fx＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.当x∈[0,2)时，f(x)＝x＋ex，所以f(2020)＝f(505×4＋0)＝f(0)＝0＋e0＝1.答案：(1)1(2)1变式练1．解析：因为f(x＋2)＝－eq\f(1,fx)，所以f(x＋4)＝－eq\f(1,fx＋2)＝f(x)，所以函数y＝f(x)的周期T＝4.f(17)＝f(4×4＋1)＝f(1)＝1.f(20)＝f(4×4＋4)＝f(4)＝f(2＋2)＝－eq\f(1,f2)＝－eq\f(1,2×2－1)＝－eq\f(1,3).答案：1－eq\f(1,3)2．解析：因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个．答案：7考点三例2解析：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1,0]∪[1,3]，选D.答案：D例3解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数得f(0)＝0.又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f