辽宁省东北名校2023学年高三压轴卷数学试卷(含解析)

2023学年高考数学模拟测试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“\/》€（0,1）,07〉1113，，的否定是（）

A.VXG(0,1),e-A<InxB.3xe(O,l),^o>lnx

C.e(O,l),e-Ao<lnxD.w(0/),e-%Minx

0000

2.已知集合〃=11,A={y|yN()},8=(卜=J7+J,则4nq/=()

A.Co,l)B,(0,+℃)c.(l,+8)D,t,+oo)

3.若直线2x+4y+m=0经过抛物线y=2x2的焦点，则"?=()

11

A.-B.--C.2D.-2

22

4.在边长为2的菱形ABCD中，BD=2邪,将菱形ABCD沿对角线AC对折，使二面角B-AC-D的余弦值为1,

则所得三棱锥A-BCD的外接球的表面积为()

271ch

A.—B.2兀C.47rD.6兀

3

5.若1041=1,IOB1=#,08=0,点C在45上，且NAOC=30。，设近=加西+〃加(见“eR),

m

则一的值为()

n

1/T

A.-B.3C.2L.D.J3

33

6.11+x+y2)的展开式中x-iy2的系数是()

A.160B.240C.280D.320

7.如图所示点F是抛物线、2=8x的焦点，点A、8分别在抛物线>2=8x及圆x2+>2-4x-12=0的实线部分上

运动，且总是平行于x轴，则的周长的取值范围是（)

C.[6,8]D.[8,12]

5+ai/八.

8.设i是虚数单位，aeR,一r=3-2z,则。=()

a+i

A.-2B.-1C.1D.2

9.已知全集"=!<,集合A=t|3Wx<7},B={X|X2-7X+1O<O},则J(Ac8)=(

)

A.(-<x>,3)U(5,+oo)B.(口,3»(5,+°°)

C.(-oo,3][j[5,+oo)D.(Y>,3)U(5,”)

X2V2

10.设双曲线--J=l(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C

。2b2

分别作AC,AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+J.2+枕，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是

()

A.(-l,0)U(0,l)

B.(-co,-l)(J(l,+co)

C.(-72,O)U(O，V2)

D.(-8，SU(G，+8)

11.如图，在圆锥SO中，A5,CD为底面圆的两条直径，ABC\CD=-O,RABLCD,SO=OB=3,SE=\-SB„异

面直线SC与。£所成角的正切值为()

E

3

⑵已知函数人)=[?[64];是R上的减函数，当。最小时，若函数>=小)/-4恰有两个零点,

则实数上的取值范围是()

A.(-^.,0)

B.（-2R

C.(-U)

二、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分。

13.在平面直角坐标系Mb中，点尸在直线y=2x上，过点尸作圆C(x-4>+>2=8的一条切线，切点为7.若

PT=PO,则PC的长是.

14.已知F是抛物线C：产=2Px(p>0)的焦点，过F作直线与C相交于P,Q两点，且。在第一象限，若2府=理，

则直线P。的斜率是

a0-1

15.设数列｛0｝的前〃项和为S,且对任意正整数〃，都有011=0,则］=

nn

1-2nS

n

设函数/(x)=<|logx-a|,0<x<4使得关于x的方程/G)=机有4个不相等的实根，且这

16./（8-x）,4<x<8，若存在实数小

4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在四棱锥尸一A8CD中，PD=2AD,PDLDA,PD1DC,底面ABC。为正方形，M、N

分别为A。、尸。的中点.

Pi

(1)求证：PA〃平面MNC；

(2)求直线PB与平面MNC所成角的正弦值.

18.(12分)如图，在斜三棱柱ABC-4vq中，平面平面A|ACq,CC=2,^ABC,△ACQ,均为

正三角形，E为AB的中点.

(I)证明：ACJ/平面RCE；

(II)求斜三棱柱A3C-4产£截去三棱锥B「CBE后剩余部分的体积.

19.(12分)已知不等式|x+l|+|x|+|x-l|N|〃?+l|对于任意的xeR恒成立.

(1)求实数，〃的取值范围：

(2)若，〃的最大值为M,且正实数a,b,c满足“+26+3c=M.求证丁二+厂1-22+

2a+bb+2c

20.(12分)S是数列｛。｝的前"项和，且a-S=：〃一：〃2.

(1)求数列M｝的通项公式；

n

(2)若匕=2%—5a,求数列%｝中最小的项.

nnn

21.(12分)已知函数/(无)=sincox+cos3x+?,其中xeR,®>0.

(1)当3=1时，求的值;

八兀

(2)当/")的最小正周期为九时，求在0，4上的值域.

22.(10分)已知函数/(X)=(1-?卜,g(x)=7-l(aeR)(e是自然对数的底数，e*2.718…).

(1)求函数/G)的图象在X=1处的切线方程；

(2)若函数丫=坐在区间14,51上单调递增，求实数”的取值范围；

g(x)

(3)若函数/7(X)=/G)+G)在区间(0,+0。)上有两个极值点X,X(A<x),且恒成立，求满足条件的加的

12121

最小值(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值).

2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【答案解析】

根据全称命题的否定是特称命题，对命题进行改写即可.

【题目详解】

全称命题的否定是特称命题，所以命题“Txe(O,D,e-x>lnx”的否定是：3x^(0,!),e^Wlnx。.

故选D.

【答案点睛】

本题考查全称命题的否定，难度容易.

2、A

【答案解析】

求得集合8中函数的值域，由此求得[8,进而求得AcQ产.

【题目详解】

由》=6+121,得3=[1,他))，所以[8=(-°°，1)，所以Anq8=[o,l).

故选：A

【答案点睛】

本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.

3、B

【答案解析】

计算抛物线的交点为,代入计算得到答案.

【题目详解】

焦点坐标为（°，；1

y=2x2可化为资,故机=一彳.

故选：B.

【答案点睛】

本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.

4、D

【答案解析】

取AC中点N,由题意得N8M）即为二面角8—AC-£＞的平面角，过点B作BO工DN于O,易得点。为的

中心，则三棱锥A-BCD的外接球球心在直线BO上，设球心为?，半径为「，列出方程=，2

即可得解.

【题目详解】

如图，由题意易知AAB。与均为正三角形，取AC中点N,连接5N,DN,

则BN1AC,DNrAC,NBND即为二面角B-AC-D的平面角，

过点8作8。1DN于O,则BO1平面ACD,

小，cosNBND=上同得ON=BN-cosNBND=叵，0。=拓，OB=3-⑻2_2«

由BN=ND=---------,

333\3)3

ON=；ND即点O为AAOC的中心，

•••三棱锥4一BCD的外接球球心在直线BO上，设球心为q,半径为「，

BO=DO=厂，00=也—八

1113

f2J6¥(2⑻2/6

•••士-r+*=1解得厂=型，

<37I372

3

•••三棱锥A-BCD的外接球的表面积为S=4兀r2=4兀x]=6兀.

故选：D.

B

【答案点睛】

本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.

5、B

【答案解析】

利用向量的数量积运算即可算出.

【题目详解】

解：•.ZOC=30。

______J3

cos<OC,OA>-——

2

OCOA_y/3

•叩

ynOA+nOB

2

2

+2mnOA.0月+〃2口可2Pm

怦口，|丽|=照,OAOB=0

m—串

+3几22

m2=9/12

又・.・C在A5上

m>0,H>0

n

故选：B

【答案点睛】

本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用.

6、C

【答案解析】

首先把:+X看作为一个整体，进而利用二项展开式求得＞2的系数，再求（g+X]的展开式中XT的系数，二者相乘

即可求解.

【题目详解】

由二项展开式的通项公式可得（L+x+wY的第r+1项为T=cJl+x|严「，令厂=1,则T=C1|1+X|7,

（X）r+1J28kxJ

又（_L+x1的第r+l为T=Cr\L]"Xr=CrX2r-1,令/•=3,则C3=35,所以m＞2的系数是35x8=280.

\X）＜-+'7x777

故选:c

【答案点睛】

本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.

7、B

【答案解析】

根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出口尸卜根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得3点横坐

标的取值范围，即可由的周长求得其范围.

【题目详解】

抛物线y2=8x,则焦点—2,0）,准线方程为％=-2,

根据抛物线定义可得|/叫=匕+2,

圆（x—2》+）＞2=16,圆心为（2,0）,半径为4,

点A、B分别在抛物线＞2=8x及圆x2+y2-4x-12=0的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.

点A、3分别在两个曲线上，AB总是平行于x轴，因而两点不能重合,不能在x轴上,则由圆心和半径可知”e（2,6）,

则AE4B的周长为耳+|3勺=以+2+和―以+4=6+和,

所以6+xe(8,12),

B

故选：B.

【答案点睛】

本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.

8、C

【答案解析】

由廿t=3—2i,可得5+山=(a+i)(3-2i)=3a+2+(3-2a)i,通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出。的

a+i

值.

【题目详解】

解：5+G=3-21,:.5+ai=(a+i)(3-2i)=3a+2+(3-2a)i

a+i

5=3。+2

e,I,解得：a=\.

Q3—o2。=〃

故选:C.

【答案点睛】

本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把i2当成1进行运算.

9、D

【答案解析】

先计算集合8,再计算最后计算q(Ac8).

【题目详解】

解：•.♦8={r|x2-7x+10<()}

B={xl2<x<5),

A={Y|3<X<7}

AflB={xI买x<5},

..C(Ar)5)=(e,3)uk+oo).

u

故选：D.

【答案点睛】

本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题.

10、A

【答案解析】

L2L2

由题意8(c,——),C(j)9

aa

根据双曲线的对称性知。在x轴上，设。(x,0),则由

80LAB得：蛆£]«\卜4，

c-xc-au2[a-c)

因为D到直线BC的距离小于4+1成+12,所以

c-r=-7-----<a+Ju2+6),1<c，-a：=h2,

eT(n-c)a1

bb

即0〈—<1,所以双曲线渐近线斜率人=±—e(-l,0)u(0,l),故选A.

aa

11、D

【答案解析】

可过点S作S尸〃。E,交45于点孔并连接C尸，从而可得出/CS尸(或补角)为异面直线SC与。E所成的角，根

据条件即可求出SC=3/SF=CF=回,这样即可得出tanZCSF的值.

【题目详解】

如图，过点S作S尸〃OE,交A3于点尸，连接C尸，

则/CS/(或补角)即为异面直线SC与OE所成的角，

•:SE=LSB,：.SE=LBE,

43

又OB=3,0/=108=1,

SOVOC,SO=OC=3,：.SC=3J2；

SOLOF,SO=3,OF=1,:.SF=回；

OC1OF,OC=3,OF=1,；.CF=M，

j(v*¥”瓜

等腰△SCF中，tanZCSF=-1--------£一=X—.

303

丁

故选：D.

【答案点睛】

本题考查了异面直线所成角的定义及求法，直角三角形的边角的关系，平行线分线段成比例的定理，考查了计算能力,

属于基础题.

12、A

【答案解析】

首先根据/（X）为R上的减函数，列出不等式组，求得;《。<1,所以当“最小时，之后将函数零点个数转

化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果.

【题目详解】

62-1<0

由于/（X）为H上的减函数，则有，0<a<l,可得

a<7（a-l）+4

1

所以当。最小时，a=工,

函数y=/G）一区-4恰有两个零点等价于方程/（x）=区+4有两个实根，

等价于函数y=/G）与丁=息+4的图像有两个交点.

画出函数/（X）的简图如下，而函数），=h+4恒过定点（0,4）,

数形结合可得％的取值范围为-；<k<0.

故选：A.

【答案点睛】

该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数

求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、6

【答案解析】

作出图像，设点P（P，2p）,根据己知可得PC2,PT^PCi-TCi,且PT=P。，可解出P,计算即得.

【题目详解】

如图，设P（p,2p）,圆心坐标为4,0）,可得PC2=（〃一4》+4,2=5/72-8，+16,

PT2=PC2-TC?=5p2-8p+8,PO2=5p2,

VPT=PO,5/72-8p+8=5/?2,解得p=l,PC2=5p2-8p+16=13,

即PC的长是Ji?.

【答案点睛】

本题考查直线与圆的位置关系，以及求平面两点间的距离，运用了数形结合的思想.

14、2^2

【答案解析】

作出准线，过P，Q作准线的垂线，利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何

知识计算出直线的斜率.

【题目详解】

设/是准线，过尸作于/，过。作QV,/于N,过P作PH上QN于H,如图,

]mj|P^|=|PF|,|e2V|=|eF|,V2PF=FQ,；.\QF\=2\PF\,：.\QN\=2\PM\,

：.\QH\=\NH\=\PM\=|PF|,=J（3产|）2_产/=272\PF\,

PH-

tanN"QF=砺_=2JI,.•.直线尸。斜率为20.

故答案为：2户.

【答案点睛】

本题考查抛物线的焦点弦问题，解题关键是利用抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离转化为该点到准线的距离,

用平面几何方法求解.

15、-1

【答案解析】

利用行列式定义，得到“n与Sn的关系，赋值"=1,即可求出结果。

【题目详解】

（70-1

"1101

由01l=a-）=。（5+2"）+1=0,令〃=1,

”—Ln31—In〃«

1-2nS〃

n

得+2）+l=0,解得q=-l。

【答案点睛】

本题主要考查行列式定义的应用。

16.（-℃,1）

【答案解析】

先确定关于x的方程当a为何值时有4个不相等的实根，再将这四个根的平方和表示出来，利用函数思想

来判断当«为何值时这4个根的平方和存在最小值即可.

【题目详解】

a-logx,0<x<4

叫…40,此时/G）=<此时函数f（x）在（0,4）单调递减,

由题意，当时,a-log（8-x）,4<x<8'

l2

在（4,8）单调递增，方程m最多2个不相等的实根，舍;

当a<2时，函数/(x)图象如下所示:

从左到右方程/G)=m,有4个不相等的实根，依次为X,,X,X,apx<x<x<x,

341234

由图可知"Togx=logx-a,故xx=4“，且尤=8—x,x=S-x.

212212324I

42.(4“

从而X2+X2+X2+冗2=2X2+——-16x+—+128,

123411X21

'17

40

令个+工，显然，>"

#+号+与+3=》-⑹+128-4叫要使该式在，〉4〃时有最小值，则对称轴"4>4“，解得"L

综上所述，实数a的取值范围是(3°』).

【答案点睛】

本题考查了函数和方程的知识，但需要一定的逻辑思维能力，属于较难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1

17、(1)见解析；(2).

7O

【答案解析】

(1)利用中位线的性质得出PA//MN,然后利用线面平行的判定定理可证明出胡〃平面脑VC；

(2)以点。为坐标原点，D4、DC、0P所在直线分别为％、z轴建立空间直角坐标系，设4)=2,利用空

间向量法可求得直线如与平面MNC所成角的正弦值.

【题目详解】

(1)因为M、N分别为A。、叨的中点，所以PA//MN.

又因为PAcZ平面MNC,MNu平面MNC,所以24〃平面MNC；

（2）以点。为坐标原点，D4、DC、OP所在直线分别为％、丫、z轴建立空间直角坐标系O-孙z,设A£>=2,

则B（2,2,0）,C（0,2,0）,P（0,0,4）,M（1,0,0）,N（0,0,2）,

PE=（2,2,-4）,NC=（0,2,-2）,MV=（-1,0,2）,

设平面MNC的法向量为方=（x,y,z）,

n-MN=0-x+2z=0

所以方（』」）.

则4—，即〈2y-2.0'令【1'则"2y=i,=2

n-NC=0

<H,PB>|=Mi

设直线PB与平面MNC所成角为a,所以sina=^os

I|俨|6

因此，直线PB与平面MNC所成角的正弦值为

6

【答案点睛】

本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成的角，考查推理能力与计算能力，属于

中等题.

5

18、（1）见解析；（H）委

【答案解析】

（I）要证明线面平行，需先证明线线平行，所以连接8。，交々C于点M,连接ME,证明ME//AQ；

（II）由题意可知点V到平面A5C的距离等于点。到平面ABC的距离，根据体积公式剩余部分的体积是

V-V

ABC-A^C1B-BCE,

【题目详解】

(I)如图，连接3q,交4C于点连接ME,则

因为Aq仁平面BCE,MEU平面qCE,所以AC//平面々CE.

(II)因为qq平面A5C,所以点4到平面A5c的距离等于点q到平面A5C的距离.

如图，设。是AC的中点，连接。q,OB.因为为正三角形，所以。q_LAC,

又平面ABC1平面AACC^,平面ABCQ平面AACC=AC,所以0Q,平面ABC.

所以点C到平面ABC的距离。。=小,故三棱锥B-BCE的体积为

111

V=~SOC=-XL-BECEOC=lxlxlxJ3XJ3=l

B〕BCE3aBCE132I322

而斜三棱柱ABC—ABC的体积为V=S-OC=—•AB-CE-OC=!x2x串x=3.

1iiABCi2i2

【答案点睛】

本题考查证明线面平行，计算体积，意在考查推理证明，空间想象能力，计算能力，属于中档题型，一般证明线面平

行的方法1.证明线线平行，则线面平行，2.证明面面平行，则线面平行，关键是证明线线平行，一般构造平行四边形,

则对边平行，或是构造三角形中位线.

19、(1)[-3,11(2)证明见解析

【答案解析】

⑴法一：k1|+|无一叫G+1)-(XT，=2"平0,<|x+l|+|x|+|x-l|>2,M|m+l|<2,由此可得答案;

法二：由题意忸+1尸]-1|+卜|+卜+1|),令/(xlk+U+kl+lx-1|,易知/G)是偶函数，且尤whzo)时

min

为增函数，由此可得出答案；

(2)由(1)知，"=1,即a+2b+3c=l,结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明结论.

【题目详解】

解~1)法一：卜+1|+,一联,+1)-(%—"=2(当且仅当—IWXWI时取等号)，

又卜|20（当且仅当x=0时取等号），

所以|x+l|+|x|+|x—1|22（当且仅当尤=0时取等号）,

由题意得|〃?+1仔2,则一2Wm+lW2,解得一34加41,

故加的取值范围是

法二：因为对于任意xeR恒有卜+1|+卜|+卜-1|2何+1|成立，即忸+1仔卜一1|+丹+卜+1|）

min

令/（x）=|x+l|+|x|+|x-l|,易知/（X）是偶函数，且XJo,40。）时为增函数，

所以/（X）=/（0）=2,即卜?+1恪2,则一2W/"+l<2,解得一3<加41,

min

故〃？的取值范围是

(2)由(1)知，M=\,即。+2Z?+3c=l,

—?—+—!—=(a+2b+3c)-[—I—+―!—

2a+bb+2c\2a+bb+2c

(2a+b)+3(b+2c)(11]

2'[2a+h+~h+2cJ

lf43a+2c)2a+b

=_4+--------+-----

22a+bb+2c

>苴4+2向=2+4,

11

故不等式-----+----2-2+用成立.

2a+h/?+2c

【答案点睛】

本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题.

20、(1)a=〃；(2)-7.

n

【答案解析】

（1）由a-5=!〃-1〃2可得出“-S=l（n+l）-l（n+l>,两式作差可求得数列｛a｝的通项公式；

（2）求得b=2“-5〃，利用数列的单调性的定义判断数列G｝的单调性，由此可求得数列G｝的最小项的值.

nnn

【题目详解】

(1)对任意的〃wN*,由〃-S一]〃2得a-S=^-G+l)-^-G+l)2,

〃〃22〃+1〃+i22

两式相减得。=〃，

因此，数列｛。｝的通项公式为。=〃；

nn

(2)由(1)得b=2»-5n,则〃—b=「2”+i—5(〃+1)]—Q—5〃)=2”-5.

当时，b—匕<0,即匕<b,:.b>b>b.

n*1nn+1nI23

当〃23时，b-b>0,即人>b,:.b<b<h<....

〃十】nn+1n345

所以，数列G｝的最小项为b=23-5X3=-7.

n3

【答案点睛】

本题考查利用S“与””的关系求通项，同时也考查了利用数列的单调性求数列中的最小项，考查推理能力与计算能力，

属于中等题.

21、(1)史(2)：，1

2L2J

【答案解析】

(1)根据3=1，得到函数/(x)=sinx+cos(x++,然后，直接求解/(；)的值；

(2)首先，化简函数/(x)=sin(sx+；),然后，结合周期公式，得到3=2,再结合xe0,1,及正弦函数的性

质解答即可.

【题目详解】

(1)因为3=1,所以/(x)=sinR+cos[x+g

(2)因为/(x)=sincox+cos3x+—

I6

=sincox+coscoxcos--sincoxsin—

66

1.O

=—sinco%+cos3x

22

.(吟

=sincox+—

I3J

即fM=sin(CdA：+y

lit

因为T兀,所以(0=2

co

所以7(x)=sin2犬+5|

n

因为xeOy

c71r71571

所以2x+q£

3L3o

所以当X=0时，f(x)=R.当尢=得［3寸，/(x)=1(最大值)

n1

当x=4时，f(x)=-

八兀］「兀兀

"X)在0,_是增函数，在—是减函数.

•・•/(X)的值域是

【答案点睛】

本题主要考查了简单角的三角函数值的求解方法，两角和与差的正弦、余弦公式，三角函数的图象与性质等知识，考

查了运算求解能力，属于中档题.

22、(1)y=ex-4e；(2)(5,+«)；(3)-4.

【答案解析】

(1)利用导数的几何意义计算即可；

(2)y=———(。+4)卜+3“+4］＜：0在14,5〕上恒成立,只需心-(。+4)x+3a+&0,注意到。任［4,5］；

(a-x)2

(3)1-4—4)0-4=0在(0,+8)上有两根，令机(x)=Q—4x+4)e*-a,求导可得机(*)在(。，2)上单调递减,