江西省高安2021-2022学年高考数学倒计时模拟卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/（x）=e*T+x—2的零点为机，若存在实数〃使f—a-a+3=0且|加一〃区1,则实数a的取值范围

是（）

7"]「7一

A.[2,4]B.2,-C.-,3D.[2,3]

22I.

2.双曲线二-与=1（“>0力>0）的左右焦点为耳，居，一条渐近线方程为/:y=-一无，过点石且与/垂直的直线分

crb-a

别交双曲线的左支及右支于P,Q,满足o「=go[+goC，则该双曲线的离心率为（）

A.MB.3C.75D.2

3.已知£=（2sin丝,cos丝）,B=（gcos丝,2cos丝），函数，（》）=标在区间[0,网]上恰有3个极值点，则正

22223

实数"的取值范围为（）

,85、75、57、7》

A.rf—,—）B.r）C.r）D.（—,2]

5242344

4.已知加，〃是两条不重合的直线，户是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（）

A.若加//a,aII（3,则加〃£或mu。

B.若加〃〃，m//a,n^ta,则"〃a

C.若〃?_!_〃，mLa,ri工B,则a_L/?

D.若/n_L〃，m±a,则〃〃a

5.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，

亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵

爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角

形.设DF=2A尸=2,若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）

c

D3V13

'26

6.已知抛物线C：/=2外（〃>0）的焦点为尸（0,1）,若抛物线C上的点A关于直线/：y=2x+2对称的点8恰好在

射线y=ll（x<3）上，则直线AP被C截得的弦长为（）

91100118127

A.—B.---C.---D.---

9999

22

7.已知月,工分别为双曲线C:=-4=1的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以耳居为直径的圆经过点

a~b~

p,若的面积为名叵/，则双曲线的离心率为（）

3

A.6B.2C.V5D.3

8.在正方体A3CD-4BGA中，点E,F,G分别为棱RD,的中点，给出下列命题：①A£_LEG

TT

②GC〃ED；③BC平面BGG；④■和四成角为“正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

x-y+l>0

9.如果实数人y满足条件｛y+l>0,那么2x-y的最大值为（）

x+y+l<0

A.2B.1C.-2D.-3

2

10.双曲线工-y2=l的渐近线方程是（）

4

A.x±2y=0B.2x±y=0C.4x±y=0D.x±4y=0

11.设0Wx42;r,且Jl-sin2x=sin九一cosx，则（）

八兀，71,，、兀万,，3万

A."B.—C.—WxW—D.—WxW—

444422

12.已知集合A={y|y=|x|-1,x£R},B={x|x>2},则下列结论正确的是（）

A.-3GAB.3史BC.AAB=BD.AUB=B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x-y+2>0

13.若变量x,N满足约束条件3x+y<0,则z=3x+2y的最大值为.

x+y>0

14.已知等差数列｛q｝的前〃项和为S“，且%+%=4+3,则Sg=.

15.已知等边三角形ABC的边长为1.国7=2函，点N、T分别为线段8C、CA上的动点，则

丽•而+及・丽•丽取值的集合为

16.已知sinla+aju一不，那么tana-sina=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)唐诗是中国文学的瑰宝.为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究人员将唐诗分成7

大类别，并从《全唐诗》48900多篇唐诗中随机抽取了500篇，统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的

篇数，得到下表：

爱情婚姻咏史怀古边塞战争山水田园交游送别羁旅思乡其他总计

篇数100645599917318500

含，，山，，字的

5148216948304271

篇数

含，，帘，，字的

2120073538

篇数

含，，花，，字的

606141732283160

篇数

(1)根据上表判断，若从《全唐诗》含“山”字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个类别的可能性最大，属于哪个类

别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率；

(2)已知检索关键字的选取规则为：

①若有超过95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系，贝！某字，，为，，某类别，，的关键字；

②若“某字”被选为“某类别”关键字，则由其对应列联表得到的K?的观测值越大，排名就越靠前;

设“山”，，帘“，，花”和，，爱情婚姻”对应的犬观测值分别为卜,k2,卜.已知Z产0.516,k2«31.962,请完成下面列联

表，并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排名.

属于“爱情婚姻”类不属于“爱情婚姻”类总计

含“花”字的篇数

不含“花”的篇数

总计

,“2n(ad-bcY4,

附：K"=-----------------------------，其中〃=a+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k]0.050.0250.010

k3.8415.0246.635

18.(12分)已知函数，(x)='x2-or+(a-l)lnx,g(x)=〃一Hnx的最大值为L

2e

(1)求实数〃的值；

(2)当a>1时，讨论函数/(x)的单调性；

(3)当a=0时，令尸(%)=2〃力+g(x)+21nx+2,是否存在区间[加，〃仁(1,+8),使得函数尸(左)在区间网〃]

上的值域为[刈m+2),左(〃+2)]?若存在，求实数A的取值范围；若不存在，请说明理由.

19.(12分)设函数/(x)=2sinx+|a-3|+|a-l|.

(1)若/(g)>6,求实数”的取值范围；

(2)证明：VxeR,7(x)2|a—3]—工+1恒成立.

a

20.(12分)已知函数f(x)=e*-ln(x+/n)+肛mwR.

(1)若x=0是函数/(x)的极值点，求f(x)的单调区间；

(2)当根W2时，证明：/(%)>m

21.(12分)如图，在四棱柱ABC。—AgGA中，平面ABCD,底面ABC。满足A£>〃3C,且

AB=AD=AA,=2,BD=DC=2垃.

(I)求证:AB，平面ADRA；

(II)求直线AB与平面4cA所成角的正弦值.

22.(10分)设数阵A>=［："其中小、4、%、&e{1,2,…,6}.设5={0,02,…,1…,6},

其中弓<02<…<6，/@N*且/W6.定义变换外为“对于数阵的每一行，若其中有攵或—左,则将这一行中每个数都

乘以一1；若其中没有攵且没有一左，则这一行中所有数均保持不变"(上=4、e2、…、弓).小(4)表示“将4经

过气变换得到A,再将A经过气变换得到42、…，以此类推，最后将AT经过线变换得到4”，记数阵4中四个

数的和为G(4).

fl2),

(1)若4=b5〉写出4经过外变换后得到的数阵A1；

⑵若4=16'S={1,3},求八(4)的值；

(3)对任意确定的一个数阵4,证明：I(4)的所有可能取值的和不超过Y.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

易知/(x)单调递增，由/(I)=0可得唯一零点m=1,通过已知可求得0W〃W2,则问题转化为使方程

f—狈—〃+3=（）在区间［0,2］上有解，化简可得。=x+l+.-2,借助对号函数即可解得实数a的取值范围.

【详解】

易知函数/（X）="T+X-2单调递增且有惟一的零点为加=1,所以|1一〃区1,.••04“<2,问题转化为：使方程

f—奴—。+3=()在区间［0,2］上有解，即a=工=。+1厂-2(x+l)+4=%+1+4一?

x+1X+lX+1

4

在区间［0,2］上有解,在区间的值域为

而根据，，对勾函数，，可知函数i+1+77r2［0,2］［2,3］,.•.ZWaWB.

故选D.

【点睛】

本题考查了函数的零点问题，考查了方程有解问题，分离参数法及构造函数法的应用，考查了利用“对勾函数”求参数取值

范围问题，难度较难.

2.A

【解析】

2ab3a2b4

设p（x,y）,Q（W，%），直线PQ的方程为X=_y—c

联立方程得到X+%(b2-a2)c

根据向量关系化简到b2=9a2，得到离心率.

【详解】

设。(8％),。(々,必)，直线PQ的方程为x=—c.

b

x=-y-c,

a442y24

联立I22(b-a)y-2ahcy+ah=0,

L2b2’

2ab3_a2b&

则%+%(b2-a2)c，y'y2=(b2-a2)c2-

因为O户=go［+goC，所以P为线段QK的中点，所以刈=2乂，

（弘+必）_9_^1.一吟一_伤2

整理得层=9片,

2伍2_。2）-c2a2。4（〃一“2）

故该双曲线的离心率e=JI5.

故选：A.

本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.

3.B

【解析】

TT44

先利用向量数量积和三角恒等变换求出/(x)=2sin(@c+m)+l,函数在区间上恰有3个极值点即为三个最

63

-TTJTJTK7T

值点，。4+2='+攵肛氏wZ解出，x=—+—,keZ,再建立不等式求出攵的范围，进而求得。的范围.

623(oCD

【详解】

解：f(x)=A/3sin<yx+2cos^^-=>/3sina>x+cosa>x+1

TT

-2sin(ox+不)+1

^cox+-=-+k7v,keZ,解得对称轴1=二+且，AwZ,/(0)=2,

623coco

又函数在区间［0,?］恰有3个极值点，只需^+—<—<^-+—

33(DCD3JCDCD

75

解得一《©<一.

42

故选：B.

【点睛】

本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.

⑴利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成)=40!!(5+0)+，或)，=ACOS(5+O)+，的形式;⑵根据

自变量的范围确定cox+(p的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.

4.D

【解析】

根据线面平行和面面平行的性质，可判定A；由线面平行的判定定理，可判断B；C中可判断a,£所成的二面角为

90°;D中有可能“ua,即得解.

【详解】

选项A：若“〃a,an/3,根据线面平行和面面平行的性质，有〃7〃力或机u/7,故A正确;

选项B：若加〃"，mHa,n（za,由线面平行的判定定理，有〃〃a,故B正确；

选项C：若〃?_!_〃，加，。，n±/3,故a,4所成的二面角为90。，则故C正确；

选项D,若〃mLa,有可能“ua,故D不正确.

故选：D

【点睛】

本题考查了空间中的平行垂直关系判断，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题.

5.A

【解析】

根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可.

【详解】

在中，AD=3,BD=1,乙位小=120°，由余弦定理，得AB=J4）2+_2AD•6。cos1200=比5，

DF2

所以而

V13,

所以所求概率为2些=[-1=]=—.

^^ABC\V13）13

故选A.

【点睛】

本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题.

6.B

【解析】

由焦点得抛物线方程，设A点的坐标为（加，9加2）,根据对称可求出点A的坐标，写出直线A/方程，联立抛物线求

4

交点，计算弦长即可.

【详解】

抛物线C：x2=2py（P>0）的焦点为尸（0，D,

则"=1,即p=2,

2

设A点的坐标为（相，1根2）,6点的坐标为（〃，11），n<3,

4

如图:

34

m=----

m=63

解得或，35(舍去)，

n=2

n=一

9

A(6,9)

4

工直线AF的方程为y=§x+l,

设直线AF与抛物线的另一个交点为D,

2

3+1x-——

yx=63

由3,解得

21

x二

4yy=一

•9

,何-O

・'I皿=J(6+?+(*1j100

9

故直线AF被C截得的弦长为坐.

9

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的标准方程，简单几何性质，点关于直线对称，属于中档题.

7.B

【解析】

根据题意，设点P（面,%）在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论.

【详解】

由题意，设点P（%,%）在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为y=

所以，y（）=-x（），

a

又以耳鸟为直径的圆经过点P,贝ij|OP|=c,即片+火”2,解得/=*y.=b9

1=c2-

所以，SAPFF=工•2c・y（）=c•/?=2°b?,即c=2"b,BPc~（，

所以，双曲线的离心率为e=2.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出。与c的关系，属于基础题.

8.C

【解析】

建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.

【详解】

设正方体边长为2,建立空间直角坐标系如下图所示，A（2,0,0），G（0,2,2）,G（2,l,2）,

C（0,2,0）,E（l,0,2）,D（0,0,0）,B1（2,2,2）,F（0,0,l）,B（2,2,0）.

①，Xq=（-2,2,2）,£G=（1,1,0）,A^-£G=-2+2+0=0,所以AG，EG,故①正确.

②，GC=（-2,1,-2）,£D=（-1,0,-2）,不存在实数■使文=4诙，故GC7/ED不成立，故②错误.

③，丽=（一2,-2,-1）,筋=（0,-1,2）,国'=（-2,0,2）,即由=0斑画=2M,故平面8GC；不

成立，故③错误.

④，丽=（-1,0,—1）,瓯=（0,0,2）,设M和Bq成角为氏则cos）=—=-f—=三,由于

\EF\,\BB}V2x22

7T

,所以e=7故④正礁

综上所述，正确的命题有2个.

故选：C

X

【点睛】

本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.

9.B

【解析】

解：当直线2x—y=z过点A（O,—1）时，z最大，故选B

【解析】

2

试题分析：渐近线方程是1-y2=l,整理后就得到双曲线的渐近线.

4

2c

解：双曲线工一y2

4y1

2

其渐近线方程是工-y2=l

4

整理得x±2y=l.

故选A.

点评：本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“1”即可求出渐进方程.属于基础题.

11.C

【解析】

将等式变形后，利用二次根式的性质判断出sincos］，即可求出工的范围.

【详解】

•/Vl-sin2x=Vsin2x+cos2x—2sinxcosx

=J(sinx-cos©2

=|sinx-cosx|

=sinx-cosx

sinx-cosx.O,即sinx..cosx

Oxxlk21

・•・生瓢—

44

故选：C

【点睛】

此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据sinx,cosx的关系即可求解，属于简单题目.

12.C

【解析】

试题分析：集合A={y|yN—l}.-.ScA.-.AnB=B

考点：集合间的关系

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-

2

【解析】

37

根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线y=在y轴截距最大的问题的求解，通过数形结合的

方式可确定过-g,'ll时，z取最大值，代入可求得结果.

【详解】

由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示:

3z3z

将z=3x+2y化为y=—二x+一，则z最大时，直线y=—二x+—在），轴截距最大;

'2222

33z

由直线y=—2x平移可知，当丁=一二x+一过3时，在y轴截距最大，

222

0

由K；-1身

3

故答案为：

2

【点睛】

本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y轴截距的最值的求解问题，通过数形结合的

方式可求得结果.

14.27

【解析】

根据等差数列的性质求得«5，结合等差数列前«项和公式求得S9的值.

【详解】

因为｛。,,｝为等差数列，所以4+%=4+。5=4+3,解得%=3,

所以59=9（"；佝）=生毕=9%=27.

故答案为：27

【点睛】

本小题考查等差数列的性质，前〃项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，应用意识.

15.{-6}

【解析】

根据题意建立平面直角坐标系,设三角形各点的坐标，依题意求出NT,fM，MN，的表达式，再进行数量积的运算,最后求

和即可得出结果.

【详解】

解：以3c的中点。为坐标原点,8c所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为）’轴建立平面直角坐标系，如图所示,

则川0,6）,3（-1,0）,0（1,0）/

则通6），陇=（2,0）,凶=（-1,6）,

设N(f,O),AT=AAC,

OT=OA+AT=OA+AAC=(0,y/3)+^,-^)=(A,y/3(l-A)),

即点T的坐标为（A,73（1-乃）,

2273、

则祈=(丸_乙6(1_;1)),加=->/3(l-2),MN=,+2,

3力3J

337

所以而初+觉而+Ei・丽

——lx(A—/)+(—,\/3)x>/3(1—A)+2x^———AJ+Ox

--73(1-2)+

3

（一1）十+|卜

百X=-6

故答案为：{-6}

【点睛】

本题考查平面向量的坐标表示和线性运算，以及平面向量基本定理和数量积的运算，是中档题.

一9

16.

20

【解析】

由已知利用诱导公式可求cos«,进而根据同角三角函数基本关系即可求解.

【详解】

14

(2J5

.4.,169

..cos«=——，sin-2a=1-cos2-a=1-----=—,

52525

9

.sin-a759

tana•sina=-------==-----.

cosa_420

5

9

故答案为：一二.

20

【点睛】

本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)该唐诗属于“山水田园”类别的可能性最大，属于“其他”类别的可能性最小；属于“山水田园”类别的概率约为

694

—；属于“其他”类别的概率约为一(2)填表见解析；选择“花”，“帘”作为“爱情婚姻”类别的关键字，且排序为“花”,

271271

“帘”

【解析】

(1)根据统计图表算出频率，比较大小即可判断；

(2)根据统计图表完成列联表，算出K?观测值，查表判断.

【详解】

(1)由上表可知，

该唐诗属于“山水田园”类别的可能性最大，属于“其他”类别的可能性最小

694

属于“山水田园”类别的概率约为——；属于“其他”类别的概率约为一；

271271

(2)列联表如下:

属于“爱情婚姻”类不属于“爱情婚姻”类共计

含“花”的篇数60100160

不含“花”的篇数40300340

共计100400500

计算得：&=—50°X140Q02_845.037；

3100x400x340x160

因为右,匕>3.841,kx<3.841,所以有超过95%的把握判断“花”字和“帘”字均与“爱情婚姻”有关系，故“花”和“帘”

是“爱情婚姻''的关键字，而“山”不是；

又因为%>网，故选择“花”，“帘”作为“爱情婚姻''类别的关键字，且排序为“花”，“帘”.

【点睛】

本题主要考查统计图表、频率与概率的关系、用样本估计总体、独立性检验等知识点.考查了学生对统计图表的识读与

计算能力，考查了学生的数据分析、数学运算等核心素养.

18.(1)I=0;(2)a=2时，/(x)在(0,+oo)单调增；l<a<2时，f(x)在(a-U)单调递减，在(0,。一1),。,+»)

单调递增；a>2时洞理”X)在(1,。一1)单调递减，在(0』),(。一1,心)单调递增；(3)不存在.

【解析】

分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当x=L时，g(x)取得极大值，也是最大值，

e

由=：+人=：,可得结果；⑵求出尸(X),分三种情况讨论a的范围，在定义域内，分别令尸(力>0求得x

的范围，可得函数/(x)增区间，/(x)<0求得x的范围，可得函数/(x)的减区间；(3)假设存在区间

［加,〃仁(l,+oo),使得函数/7(力在区间［巾,〃］上的值域是因利+2),左(〃+2)］,贝！J

产(777、——ij7F17-I-_1_0A

{2In—1/^(m1，问题转化为关于x的方程f-xlnx+2=Z(x+2)在区间(1,+8)内是否存在两

个不相等的实根，进而可得结果.

详解：(1)由题意得g'(x)=-lnx—l,

令g'(x)=0,解得x=L

当时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增；

当xe(：,+oo)时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减.

所以当x时，g(x)取得极大值，也是最大值，

所以=L+=解得〃=0.

\e)ee

(2)/(x)的定义域为(O,+⑹.

a-\x1-ax+a1(X—1)(X+1-Q)

/'(x)=x-a-\-

XXX

①a—1=1即a=2,则r(x)=(M,,故/(x)在(。，物)单调增

②若a-l<l,而a>l,故l<a<2,则当xe(a-l,l)时，f\x)<0；

当xe(O,a-l)及xe(l,4w)时，/'(x)>0

故在(a-1,1)单调递减，在(0,。一1),(1,+8)单调递增.

③若a-l>l,即a>2,同理/(x)在单调递减，在(0,1),(1,+oo)单调递增

(3)由(1)知F(x)=x2-xlnx+2,

所以F(x)=2x-lnx+l,令/(彳)=1(%)=2%-10¥+1,则〃(％)=2-，>0对忆¥6(1,+0。)恒成立，所以尸(x)

在区间(I,+8)内单调递增，

所以F(x)>产'⑴=1>0恒成立,

所以函数尸(x)在区间(1,+8)内单调递增.

假设存在区间［加,〃仁(1,心)，使得函数尸(X)在区间上〃,〃］上的值域是四机+2)，M"+2)］,

F(/?7)=m2-mlnm+2-k^m+2^

则｛

F(n)=rT-nlnn+2=/:(n+2)

问题转化为关于x的方程f-Mnx+2=Z(x+2)在区间(1,M)内是否存在两个不相等的实根,

即方程左=匚独竺土工在区间。,+8)内是否存在两个不相等的实根,

x+2

/r2—rlnr+2/、.\X2+3x—4—21nx

令〃(x~xeO,+co),则〃(X)=--5——，

''x+2(x+2)

设p(x)=x2+3x—4—21nx,XG(1,+CO),则p(x)=2x+3-2=©~1)卜+2)>()对Vxe(l,+co)恒成立,所

以函数p(x)在区间(1,+8)内单调递增，

故p(x)>p(l)=0恒成立，所以〃")>0,所以函数h(x)在区间(1,+8)内单调递增，所以方程k=1二限+2在

尤+2

区间(1,+c。)内不存在两个不相等的实根.

综上所述，不存在区间［/〃，〃仁（1,斗8）,使得函数尸（x）在区间［加,〃］上的值域是囱加+2）/（"+2）］.

点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值，属于难题.求函数极值、最值的步骤：（1）确定函

数的定义域；（2）求导数；（3）解方程求出函数定义域内的所有根；（4）列表检查在的根左右两侧值的符号，如果

左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个

极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.

19.（1）（YO,0）U（4,+8）（2）证明见解析

【解析】

（D将不等式化为|a-3|+|。一1|>4,利用零点分段法，求得不等式的解集.

（2）将要证明的不等式转化为证VxeR,2sinxN-|a-+1恒成立，由2sinx的最小值为-2,得到只要证

a

—2>—|47-1|----F1,即证|a-1|-1---F1>2,利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立.

aa

【详解】

(1),:fj>6,:.2+|a—31+1iz—11>6,即一31+1n—11>4

。-3+a—1>4

当aN3时，不等式化为《°a>4

a>3

(3-a)+(«-l)>4

当l<a<3时，不等式化为此时a无解

l<a<3

(3-。)+(1-。)>4

当aWl时，不等式化为<:.QV0

a<\

综上，原不等式的解集为（-8,（））U（4,-8）

(2)要证VXER,/(幻2|。一3|-'+1恒成立

a

即证X/xcR,2sinxN-|a-1|一，+1恒成立

a

即证I。—1|+'+1>2

■:25后了的最小值为一2,，只需证一22一|〃一1|----F1

aa

.•.|“一1|+」+122成立，.♦.原题得证

a

【点睛】

本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分

类与整合思想.

20.(1)递减区间为(-1,0),递增区间为(0,+8)(2)见解析

【解析】

(1)根据函数解析式，先求得导函数，由x=0是函数f(x)的极值点可求得参数机.求得函数定义域，并根据导函数

的符号即可判断单调区间.

(2)当mW2时，ln(x+M«ln(x+2).代入函数解析式放缩为/(x)=eX—ln(x+〃2)+〃2N/-ln(x+2)+〃2,代入

证明的不等式可化为，-ln(x+2)〉0,构造函数/?(x)=e'-ln(x+2),并求得"(x),由函数单调性及零点存在定

理可知存在唯一的看,使得"(%)=0*。-*^=0成立，因而求得函数力。)的最小值〃(Xo)=e*-ln(Xo+2),由对

数式变形化简可证明〃(x°)>0,即〃(尤)>〃(尤0)>0成立，原不等式得证.

【详解】

(1)函数/(幻=6]-1口(1+〃2)+九〃2£/?

可求得f\x)=e'一——,贝!|f(0)=l--=0

x-vmm

解得m=1,

所以/(x)=ev-ln(x+1)+1,定义域为(―1,+8)

r(X)=4一一[在(―1,+助单调递增，而r(o)=o,

.•.当XG(—l,0)时，/'(x)<0,f(x)单调递减,

当xe(0,+8)时，f'(x)>0,f(x)单调递增,

此时X=0是函数./'(X)的极小值点,

・•・/。)的递减区间为(一1，0),递增区间为(0,+8)

(2)证明：当机<2时，ln(x+m)Wln(x+2)

/.f(x)=ex-ln(x+m)+m>ex-ln(x+2)+w,

因此要证当机<2时，/(x)>m,

只需证明e'-ln(x+2)+m>m,

即eA-ln(x+2)>0

令h(x)=ex-ln(x+2),

贝小)=e*-——,

x+2

・・・〃(幻在(-2,”)是单调递增，

而厅(—I)=1—1<0,6(0)」>o,

e2

,存在唯一的与,使得/7'(x())=e*—金5=0,xoe(-l,O),

当xe(-2,Xo),/z'(x)<O,/z(x)单调递减，当xe(xo，+8),"(x)>0,单调递增,

因此当x=/时，函数h(x)取得最小值〃*o)=e*-ln(x0+2),

泊=——,ln(x0+2)=-xQ,

/+2

故//(x0)=e*-ln(x0+2)=-+x0=(>+?->0,

玉)+2XQ+2

从而(无o)>(),即/—ln(x+2)>0,结论成立.

【点睛】

本题考查了由函数极值求参数，并根据导数判断函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立，构造函数法的综合应

用，属于难题.

21.(I)证明见解析；(U)J

6

【解析】

(I)证明441A