上海第二工业大学附属龚路中学2024届高一数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

上海第二工业大学附属龚路中学2024届高一数学第一学期期末学业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．已知函数，若，则的值为A. B.C.-1 D.12．已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.3．如图，在中，为边上的中线，，设，若，则的值为A. B.C. D.4．已知定义在上的奇函数满足当时，，则关于的函数，（）的所有零点之和为（）A. B.C. D.5．设函数的值域为R，则实数a的取值范围是（）A.(-∞，1] B.[1，+∞)C.(-∞，5] D.[5，+∞)6．已知，，，则A. B.C. D.7．如图所示，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.8．给出下列四个命题：①底面是正多边形的棱柱是正棱柱；②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体；③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱；④直角三角形绕其一条边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥其中正确的命题个数是（）A.0 B.1C.2 D.39．在正方体中，异面直线与所成的角为（）A.30° B.45°C.60° D.90°10．当时，在同一坐标系中，函数与的图像是（）A. B.C. D.11．已知函数，则的零点所在区间为A. B.C. D.12．已知函数，则的解析式是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．在正三角形中，是上的点，，则________14．若，且，则上的最小值是_________.15．对于定义在上的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：①在区间上是单调递增的；②当时，函数的值域也是，则称是函数的一个“递增黄金区间”.下列函数中存在“递增黄金区间”的是：___________.（填写正确函数的序号）①；②；③；④.16．在正三棱柱中，为棱的中点，若是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为__________三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，D为AC中点（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A118．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，该四棱锥的正视图和侧视图均为腰长为6的等腰直角三角形.（1）画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；（2）求证：；（3）求四棱锥外接球的直径.19．已知函数.（1）若，求的最大值;（2）若，求关于不等式的解集.20．如图，四棱锥的底面为矩形，，.（1）证明：平面平面.（2）若，，，求点到平面的距离.21．有三个条件：①；②且；③最小值为2且.从这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数满足_________，.（1）求的解析式；（2）设函数，求的值域.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．已知函数.（1）判断的奇偶性；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）若关于x的方程在R上有四个不同的根，求实数t的取值范围.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、D【解析】,选D点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.2、B【解析】根据二次函数的图象与性质，可知区间在对称轴的右面，即，即可求得答案.【详解】函数为对称轴开口向上的二次函数，在区间上是单调增函数，区间在对称轴的右面，即，实数的取值范围为.故选B.【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，明确二次函数的对称轴、开口方向与函数的单调性的关系是解题关键.3、C【解析】分析：求出，，利用向量平行的性质可得结果.详解：因为所以，因为，则，有，，由可知，解得．故选点睛：本题主要考查平面向量的运算，属于中档题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）4、B【解析】作函数与的图象，从而可得函数有5个零点，设5个零点分别为，从而结合图象解得【详解】解：作函数与的图象如下，结合图象可知，函数与的图象共有5个交点，故函数有5个零点，设5个零点分别为，∴，，，故，即，故，故选B【点睛】本题考查了函数零点与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用，属于常考题型.5、B【解析】分段函数中，根据对数函数分支y=log2x的值域在(1，+∞)，而函数的值域为R，可知二次函数y=-x2+a的最大值大于等于1，即可求得a的范围【详解】x>2时，y=log2x>1∴要使函数的值域为R，则y=-x2+a在x≤2上的最大值a大于等于1即，a≥1故选：B【点睛】本题考查了对数函数的值域，由函数的值域及所得对数函数的值域，判断二次函数的的值域范围进而求参数范围6、D【解析】容易看出，，从而可得出a，b，c的大小关系．【详解】，，；．故选D．【点睛】考查指数函数和对数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义,两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.7、A【解析】根据文氏图表示的集合求得正确答案.【详解】文氏图表示集合为，所以.故选：A8、B【解析】利用几何体的结构特征，几何体的定义，逐项判断选项的正误即可【详解】解：①底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱是正棱柱；所以①不正确；②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体；满足多面体的定义，所以②正确；③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱；不满足直棱柱的定义，所以③不正确；④直角三角形绕直角边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥．所以④不正确；故选：B9、C【解析】首先由可得是异面直线和所成角，再由为正三角形即可求解.【详解】连接因为为正方体，所以，则是异面直线和所成角．又,可得为等边三角形，则，所以异面直线与所成角为，故选：C【点睛】本题考查异面直线所成的角，利用平行构造三角形或平行四边形是关键，考查了空间想象能力和推理能力，属于中档题.10、D【解析】根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项.【详解】由于，所以为上的递减函数，且过；为上的单调递减函数，且过，故只有D选项符合.故选：D.【点睛】本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性判断，考查函数图像的识别，属于基础题.11、B【解析】根据函数的零点判定定理可求【详解】连续函数在上单调递增，，，的零点所在的区间为，故选B【点睛】本题主要考查了函数零点存在定理的应用，熟记定理是关键，属于基础试题12、A【解析】由于，所以.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、【解析】根据正三角形的性质以及向量的数量积的定义式，结合向量的特点，可以确定，故答案为考点：平面向量基本定理，向量的数量积，正三角形的性质14、【解析】将的最小值转化为求的最小值，然后展开后利用基本不等式求得其最小值【详解】解：因为，且，，当且仅当时，即，时等号成立；故答案为：15、②③【解析】由条件可得方程有两个实数解，然后逐一判断即可.【详解】∵在上单调递增，由条件②可知，即方程有两个实数解；∵x+1=x无实数解，∴①不存在“递增黄金区间”；∵的两根为：1和2，不难验证区间[1，2]是函数的一个“递增黄金区间”；在同一坐标系中画出与的图象如下：由图可得方程有两个根，∴③也存在“递增黄金区间”；在同一坐标系中画出与的图象如下：所以没有实根，∴④不存在.故答案为：②③.16、【解析】由题，设，截面是面积为6的直角三角形，则由得，又则故答案为三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）连接交于点，连接，可得为中位线，，结合线面平行的判定定理，得平面；（2）由底面，得,正三角形中，中线，结合线面垂直的判定定理，得平面，最后由面面垂直的判定定理，证出平面平面.【详解】（1）连接交于点，连接，则点为的中点为中点，得为中位线，，平面平面，∴直线平面；（2）证明：底面，，∵底面正三角形，是中点，平面，平面，∴平面平面【点睛】本题考查了直三棱柱的性质，线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.18、(1)见解析；（2）见解析；（3）.【解析】（1）该四棱锥的俯视图为边长为6cm的正方形（内含对角线），如图，即可得出面积(2)设法证明面即可；（3）由侧视图可求得即为四棱锥外接球的直径试题解析：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为6的正方形，如图，其面积为36.(2)证明：因为底面，底面，所以，由底面为正方形，所以,，面，面，所以面，面，所以（3）由侧视图可求得由正视图可知，所以在Rt△中，.所以四棱锥外接球直径为.19、（1）（2）答案见解析【解析】（1）由题得，利用基本不等式可求；（2）不等式即，讨论的大小可求解.【小问1详解】由，得.，，即(当且仅当时“”成立.).故的最大值为；【小问2详解】，即.当时，即时，不等式的解集为当时，即时，不等式的解集为;当时，即时，不等式的解集为.综上，当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接，交于点，连接，证明平面，即可证明出平面平面.（2）用等体积法，即，即可求出答案.【小问1详解】连接，交于点，连接，如图所示，底面为矩形，为，的中点，又，，，，又，平面，平面，平面平面【小问2详解】，，，，在中，，，在中，，在中，，，，，，设点到平面的距离为，由等体积法可知，又平面，为点到平面的距离，，，即点到平面的距离为21、（1）；（2）.【解析】（1）若选择①，设代入，根据恒等式的思想可求得，得到的解析式；若选择②，设由，得，由，得出二次函数的对称轴即，再代入，解之可得的解析式；若选择③，设由，得，又恒成立，又，得出二次函数的对称轴解之即可；（2）由（1）知，根据二次函数的对称轴分析出上的单调性，可求得的值域.【详解】解：（1）若选择①，设则又因为即解得，又，所以解得，所以的解析式为；若选择②，设由，得，又，所以二次函数的对称轴即，又，所以解得所以的解析式为；若选择③，设由，得，又恒成立，又，所以二次函数的对称轴即，且解得所以的解析式为；（2）由（1）知，所以，因为对称轴所以在上单调递减，在上单调递增，故在上的值域为.【点睛】方法点睛：求函数解析式的方法：一．换元法：已知复合函数的解析式，求原函数的解析式，把看成一个整体t，进行换元，从而求出的方法，注意所换元的定义域的变化.二．配凑法：使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.三．待定系数法：己知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据己知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法.四．消去法(方程组法)：方程组法求解析式的关键是根据己知方程中式子的特点，构造另一个方程.五．特殊值法：根据抽象函数的解析式的特征，进行对变量赋特殊值.22、（1）是偶函数（2）在上单调递增，证明见解析（3）【解析】（1）利用函数奇