《同济大学高等数学》课件

《同济大学高等数学》PPT课件绪论函数与极限导数与微分积分学多元函数微积分学无穷级数绪论01高等数学的定义、意义和重要性总结词高等数学是数学的一个重要分支，它研究的是变量、函数、极限、连续性、可微性和积分等概念，是许多学科的基础。高等数学在科学、工程、经济等领域中有着广泛的应用，对于培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。详细描述高等数学的定义与重要性总结词高等数学的研究对象和特点详细描述高等数学的研究对象是函数，它研究函数的极限、连续性、可微性和积分等性质。高等数学的特点是高度的抽象性和严密的逻辑性，它强调对概念的理解和掌握，注重推理和证明的严密性。高等数学的研究对象与特点高等数学的发展历程高等数学的发展历程总结词高等数学的发展经历了漫长而曲折的过程，其起源可以追溯到古代数学。随着科学技术的发展，高等数学得到了广泛的应用，并逐渐形成了许多分支和领域。在现代，高等数学已经成为科学研究和技术创新的重要工具，对于推动人类文明进步具有重要意义。详细描述函数与极限02总结词理解函数的基本定义，掌握函数的性质详细描述函数是数学中的基本概念，表示两个数集之间的对应关系。函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性等，这些性质对于研究函数的形态和变化规律非常重要。函数的定义与性质VS掌握极限的定义，理解极限的性质详细描述极限是高等数学中的核心概念，表示函数在某一点处的变化趋势。极限的性质包括唯一性、有界性、局部保号性等，这些性质在研究函数的极限行为和证明相关定理时起到关键作用。总结词极限的概念与性质掌握极限的四则运算法则，理解极限运算的基本技巧极限的四则运算法则包括加减乘除的运算法则，这些法则在计算函数的极限时非常有用。此外，还需要掌握一些基本的极限运算技巧，如等价无穷小替换、洛必达法则等，这些技巧可以帮助我们更快速地计算复杂的极限表达式。总结词详细描述极限的运算与法则导数与微分03导数的定义单侧导数导数的几何意义导数的物理意义导数的概念与性质01020304导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。在函数定义域的端点处，函数值的变化率称为单侧导数。导数在几何上表示函数图像在该点的切线斜率。在物理中，导数可以表示物理量随时间的变化率，如速度、加速度等。导数的运算与法则链式法则若$y=f(u)$和$u=g(x)$都可导，则复合函数$y=f(g(x))$的导数为$[f(g(x))]'=f'(g(x))cdotg'(x)$。乘积法则两个可导函数的乘积的导数为$(uv)'=u'v+uv'$。商的导数公式$frac{u'v-uv'}{v^2}$。常数倍法则常数倍的导数为$k[f(x)]'=kcdotf'(x)$。微分是函数在某一点的变化率的近似值，表示函数在该点的切线误差。微分的定义微分的几何意义微分的物理意义微分在几何上表示函数图像在该点的切线误差的面积。在物理中，微分可以表示物理量随时间的变化率的近似值，如速度、加速度等的近似值。030201微分的概念与性质积分学04定积分的定义定积分是积分学中的基本概念，表示一个函数在某个区间上的积分和。它可以通过极限的思想来定义，将积分区间分成若干个小区间，并在每个小区间上取一个代表点，再求这些代表点上函数值的和的极限。定积分的性质定积分具有一些重要的性质，如线性性质、可加性、区间可加性、比较定理等。这些性质在后续的积分计算和证明中有着广泛的应用。定积分的概念与性质定积分的运算定积分的运算包括积分的基本运算和复合运算。基本运算包括加法、减法、乘法和除法，而复合运算包括乘法和除法的复合以及绝对值运算等。在进行定积分运算时，需要注意运算的优先级和运算顺序。要点一要点二定积分的法则定积分的法则包括交换律、结合律和分配律等。这些法则可以帮助我们在计算定积分时简化计算过程，提高计算的准确性和效率。定积分的运算与法则反常积分的概念反常积分分为无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分两种类型。反常积分与定积分的不同之处在于，反常积分的积分区间可能是无穷大或者函数在某个点处无定义。定积分的应用定积分在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。例如，在物理学中，定积分可以用来计算物体的质量、重心、压力等；在经济学中，定积分可以用来计算总成本、总收益等。此外，定积分还可以用来解决一些几何问题，如求曲线的长度、面积等。反常积分与定积分的应用多元函数微积分学05理解多元函数的定义、表示方法以及基本性质，包括连续性、可微性等。总结词介绍多元函数的定义，如何用几何图形、表格和公式表示多元函数，以及多元函数的基本性质，如连续性和可微性等。这些性质对于后续学习多元函数的微积分学非常重要。详细描述多元函数的定义与性质总结词掌握偏导数和全微分的概念、计算方法及其几何意义。详细描述介绍偏导数的定义、计算方法以及几何意义，阐述全微分的概念、计算方法以及全微分与偏导数的关系。通过具体的例子和练习题，帮助学生理解和掌握偏导数和全微分的计算方法。偏导数与全微分掌握二重积分和三重积分的概念、计算方法及其几何意义。总结词介绍二重积分的定义、计算方法以及几何意义，阐述三重积分的概念、计算方法以及三重积分与二重积分的关系。通过具体的例子和练习题，帮助学生理解和掌握二重积分和三重积分的计算方法。详细描述二重积分与三重积分无穷级数06无穷级数的定义无穷级数是无穷多个数按照一定的顺序排列的数列，它可以有一个或多个无穷的项。无穷级数的性质无穷级数具有连续性、可加性、可乘性和可微性等性质，这些性质在数学分析中有着广泛的应用。无穷级数的表示方法无穷级数可以用数学符号表示，如$sum_{n=0}^{infty}a_n$，其中$a_n$是级数的通项，$n$是项数。无穷级数的概念与性质收敛的定义如果无穷级数的和存在，则称该级数收敛。收敛的条件无穷级数收敛的条件包括柯西收敛准则、阿贝尔定理等。收敛的判定方法无穷级数的收敛性可以通过比较判别法、柯西判别法、拉贝判别法等方法进行判定。无穷级数的收敛性判定无穷级数的乘除法无穷级数的乘除法可以通过逐项相乘除的方式进行，同样需