高中数学必修一复习

2020必修一：集合与函数目录集合函数的基本概念

基本初等函数

函数的应用1234ADDYOURTITLEHERE集合PARTONE一、集合的含义与表示1、集合：把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合2、元素与集合的关系：3、元素的特性：确定性、互异性、无序性（一）集合的含义一、集合的含义与表示1、集合：把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合2、元素与集合的关系：3、元素的特性：确定性、互异性、无序性（一）集合的含义集合的三个特性确定性

互异性无序性。特殊集合的表示非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R全集U空集Ø集合之间的基本关系

包含相等(二)集合的表示1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，并放在{}内2、描述法：用文字或公式等描述出元素的特性，并放在{x|}内3.图示法Venn图,数轴二、集合间的基本关系1、子集：对于两个集合A，B如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们称A为B的子集.

若集合中元素有n个，则其子集个数为真子集个数为非空真子集个数为2、集合相等：3、空集：规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2n交集(记作A∩B)：A∩B表示的是A集合与B集合所有相同元素组成的集合并集(A∪B)：A∪B表示的是A,B所有元素合并组在一起的集合补集(∁UA)：表示在全集U中所有不属于A集合的元素组成的集合

集合之间的运算三、集合的并集、交集、全集、补集全集：某集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，用U表示AB【2011.1题

1】设集合() A.{1} B.{3}C.{1,2} D.{1,2,3}【2015.7题

1】已知全集，集合，则（

）A.

B.

C.

D.，则下列关系正确的是()【2014.1题

1】设集合，B.C.D.A.1234567ACCBDAB│02ADDYOURTITLEHERE函数的基本概念PARTTWOBCx1x2x3x4x5y1y2y3y4y5y6A函数的三要素：定义域，值域，对应法则A.B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数。一、函数的概念：思考:函数值域与集合B的关系

设A、B是非空数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x),x∈A函数的一般概念:x叫做自变量,

x的取值范围集合A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。值域是集合B的子集。17下列可作为函数y=f(x)的图象的是ＡＢＣＤxxxxyyyyOOOO√能使函数式有意义的实数x的集合求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3）对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合(即各集合的交集)(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义定义域当定义域确定后，代入函数求得y的取值范围即为值域值域增函数：对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，x1<x2,都有f(x1)<f(x2)【复合函数的单调性：同增异减】单调性是函数的局部性质，不能把单调性相同的区间写在一起单调性偶函数的图像关于y轴对称，奇函数关于原点对称判定：1.先判定函数定义域是否关于原点对称2.确定f(x)与f(-x)的关系奇偶性可以用集合和区间表示，区间有开区间，闭区间，半开半闭，无穷（一）函数的定义域1、具体函数的定义域1.【-1,2）∪（2，+∞）2.（-∞，-1）∪（1，+∞）3.（3∕4,1】增函数、减函数、单调函数是对定义域上的某个区间而言的。注意三、函数单调性定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)

，那么就说函数在区间上是增函数。区间D叫做函数的增区间。如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)

，那么就说函数在区间上是减函数。区间D叫做函数的减区间。Practice相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）②定义域一致(两点必须同时具备)A(-∞，0]DB(0,+∞)[-1,1]奇函数()(0,+∞)CDACC②四、函数的奇偶性1.奇函数:对任意的,都有2.偶函数:对任意的,都有3.奇函数和偶函数的必要条件:注:要判断函数的奇偶性,首先要看其定义域区间是否关于原点对称!定义域关于原点对称.4、函数的奇偶性(1)根据图像判断函数的奇偶性奇函数：关于原点对称偶函数：关于y轴对称例：判断下列函数的奇偶性①y=sinx②y=x³③y=cosx④y=|x|奇函数奇函数偶函数偶函数奇(偶)函数的一些特征1.若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.2.奇函数图像关于原点对称,且在对称的区间上不改变单调性.3.偶函数图像关于y轴对称,且在对称的区间上改变单调性5、函数的单调性(1)根据图像判断函数的单调性单调递增：图像上升单调递减：图像下降答案：A03ADDYOURTITLEHERE基本初等函数PARTThree指数函数y=a^x函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R对数函数

幂函数对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。它是一个函数，而不是几个函数e.g.f(x)=|x-1|+|x+1|复合函数复合函数的基本形式为y=f[g(x)]，【复合函数的单调性：同增异减】分段函数幂函数的一般形式幂函数的一般形式是，其中，a可为任何常数。a为奇数时，幂函数为奇函数，a为偶数时，幂函数为偶函数01nn一、指对数计算指数函数与对数函数函数y=ax(a＞0且a≠1)y=logax(a＞0且a≠1)图象a

＞10＜a

＜1a＞10＜a

＜1性质定义域定义域值域值域定点定点xy01xy011xyo1xyo在R上是增函数在R上是减函数在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数(1,0)(0,1)二、比较大小1、借助函数的单调性比较大小2、借助中间量0和1规律：①正数的任何次方都是正数(>0)②对于对数，如果a和b一个大于1一个小于1，则<0>>例：答案：C答案：a<b<c

图象

性质yx0y=1(0,1)y=ax(a>1)yx(0,1)y=10y=ax(0<a<1)定义域

:

值域

:恒过点：

在R

上是单调在R

上是单调a>10<a<1R(0,+∞)(0,1)

,即x=0

时,y=1

.增函数减函数指数函数的图像及性质当x>0时，y>1.当x<0时，.0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1。奇偶性：非奇非偶函数三、指对幂函数01011、指数函数a>10<a<1记作：一、对数的定义：一般地,如果,那么数叫做以为底N的对数其中

叫做对数的底数，N叫做真数指数式与对数式的互化指数对数幂真数底数底数对数函数y=logax(a＞0且a≠1)的图象与性质图象性质a＞10＜a＜1定义域:值域:定点:在(0,+∞)上是：在(0,+∞)上是(0,+∞)R(1,0),

即当x＝1时,y＝0增函数减函数yX

O

x=1

(1,0)

yX

O

x=1

(1,0)1、过定点______________

过定点_____________2、例：(0,2)(2,4)1<a<2

一般地,函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.幂函数与指数函数的区别:自变量在底数位置；指数为常数.自变量在指数位置；底数为常数.一、幂函数定义:

解：因为是幂函数，所以解，得:练习2：

已知函数是幂函数，则.四、幂函数例：

解：因为是幂函数，所以解，得:练习2：

已知函数是幂函数，则.幂函数的一般性质：（3）过定点（1,1）.（1）当为奇数时，函数为奇函数，当为偶数时，函数为偶函数；

当0时，函数在上单调递减；(0,﹢∞)（2）在区间上都有意义，当0时，函数在上单调递增，(0,﹢∞)(0,﹢∞)（图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近）(4)当α>1时图像下凸（立式）；当0<α<1时，图像上凸（趴式）第四部分函数的零点要求：1、求零点2、判断零点所在的区间3、判断零点个数4、二分法零点：使f(x)=0的x的值函数f(x)的零点方程f(x)=0的根函数图像与x轴交点的横坐标2、有关函数与方程的三个等价关系：函数y=f(x)的图象与x轴有交点1、零点的定义：

对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x

叫做函数

y=f(x)

的零点。函数y=f(x)有零点一、基础知识讲解思考：零点是不是一个点？方程f(x)=0有实数根由此可见:确定函数y=f(x)的零点的两种途径(1)解方程f(x)=0；(2)画图求与x轴的交点的横坐标零点不是点，是实数零点不是点，是数三、基础知识讲解A、B、C、练习：D、三、基础知识讲解函数y=x2-2x-3区间(a,b)有没零点f(a)×f(b)的符号（+或-）结论图象(-2,0)(0,2)(2,4)(4,5)有没有有没有-+-+则函数在区间(a,b)内有零点f(a)×f(b)<0思考：能充分保证有零点吗？连续不断xyOxyOab123-2-13、零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。三、基础知识讲解x-2-1012f(x)则在下列哪个区间内函数f(x)一定存在零点（）确定函数零点途径：(1)解方程f(x)=0(2)画图求与x轴交点的横坐标(3)利用零点存在性定理判断一、求零点答案：ln4+1答案：8二、判断零点所在的区间ＣＢ四、例题分析五、基础知识讲解二分法对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。注:不是所有的函数的零点都能