正弦交流电路1

第三章正弦交流电路学习目标:1、学会正弦量的相量表示方法。2、会用相量表示方法对RLC电路进行分析。3、掌握三相对称电源星形和三角形联结方式及线电压与相电压、线电流与相电流的关系。

第一节正弦交流电的基本概念一、交流电的概念如果电流或电压每经过一定时间（T）就重复变化一次，则此种电流

、电压称为周期性交流电流或电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波等。记做：u(t)=u(t+T)TutuTt

2.1

正弦交流电的基本概念如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。

二、正弦交流电路Tut正弦交流电也有正方向,一般按正半周的方向假设。交流电路进行计算时，首先也要规定物理量的正方向，然后才能用数字表达式来描述。实际方向和假设方向一致实际方向和假设方向相反ti正弦交流电的正方向iuR

正弦交流电的优越性：

便于传输；便于运算；有利于电器设备的运行；.....三、正弦交流电的三要素

i ：

电流幅值（最大值）：

角频率（弧度/秒）：

初相角三要素:为正弦电流的最大值(幅值)1.幅值与有效值

在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。最大值电量名称必须大写,下标加m。如：Um、Im瞬时值表达式则有（均方根值）可得当

时，交流直流热效应相当电量必须大写如：U、I有效值有效值概念问题与讨论

电器~220V最高耐压=300V

若购得一台耐压为300V的电器，是否可用于220V的线路上?

该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。有效值

U=220V最大值

Um

=220V=311V电源电压1.周期

T：变化一周所需的时间.

单位：秒(s),毫秒(ms)2.周期与频率3.角频率

ω：每秒变化的弧度.单位：弧度/秒(rad/s)2.频率

f：每秒变化的次数.

单位：赫兹(Hz)

千赫兹(KHz)

兆赫兹（

MHz）

iT描述正弦量变化快慢的几种方法：*电网频率：

中国50Hz

美国

、日本60Hz*有线通讯频率：300-5000Hz

*无线通讯频率：30kHz-3×104MHz小常识3.初相位与相位差：

t=0时的相位，称为初相位或初相角。说明：

给出了观察正弦波的起点或参考点，常用于描述多个正弦波相互间的关系。i：正弦波的相位角或相位。

两个同频率正弦量间的相位差(初相差)

t两种正弦信号的相位关系同相位落后于相位落后相位领先领先于

三相交流电路：三种电压初相位各差120

。

tu已知：U=220V，f=50Hz。试写出uA、uB、uC瞬时值表达式。可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。如：结论:因角频率（

）不变，所以以下讨论同频率正弦波时，

可不考虑，主要研究幅度与初相位的变化。幅度、相位变化频率不变例幅度：已知：频率：初相位：

瞬时值表达式

相量必须小写前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。

波形图i

正弦量的表示方法：重点§3.2.正弦交流电的相量表示法

概念

：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的投影值来表示。正弦波的相量表示法矢量长度

=

矢量与横轴夹角

=

初相位ω矢量以角速度

按逆时针方向旋转ω动画3.相量符号

包含幅度与相位信息。有效值1.描述正弦量的有向线段称为相量(phasor)。若其幅度用最大值表示，则用符号：最大值相量的书写方式2.在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：Um·U·Um、Im..U、I..U、I..正弦波的相量表示法举例例1：将u1、u2

用相量表示。相位：幅度：设：U2

.U1.U2>U1U1落后于

U2..或U2超前于U1..同频率正弦波的相量画在一起，构成相量图。例2：同频率正弦波相加--平行四边形法则U=U1+U2

...U.U1.U2.注意：1.只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。2.只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，不同频率不行。新问题提出：平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。故引入相量的复数运算法。相量

复数表示法复数运算相量的复数表示ab+1将复数放到复平面上，可如下表示：UU..U.欧拉公式

代数式

指数式

极坐标形式abU.U.

在第一象限设a、b为正实数在第二象限在第三象限在第四象限U.U.U.U.相量的复数运算1.加、减运算设：则：U=U1+U2...U1.U2.2.乘法运算设：则：设：任一相量则：90°旋转因子。+j逆时针转90°，-j顺时针转90°说明：U1.U2.U=U1·

U2

...A.AA..3.除法运算设：则：U1.U2.U1.U2.复数符号法应用举例解：例1：已知瞬时值，求相量。已知:

求：

i、u

的相量I.U.100AVI.I.220U.U.求：例2：已知相量，求瞬时值。已知两个频率都为1000Hz的正弦电流其相量形式为：解：I1.I2.波形图瞬时值相量图复数符号法小结：正弦波的四种表示法

TiU.I.U.提示计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：U.U.U.U.符号说明瞬时值---小写u、i有效值---大写U、I复数、相量---大写+“.”最大值---大写+下标U.正误判断？瞬时值复数U.正误判断？瞬时值复数U.已知：正误判断？？有效值j45

I.

则：已知：正误判断？？

U.三、电容电路§3.3单一参数的交流电路电路参数——电阻（R）、电感（L）、电容（C）二、电感电路一、电阻电路电阻元件：u=Ri

电容元件：i

==C

dqdtdudt电感元件：u=

－eL

=

L

didt教材94页~100页电阻元件、电感元件和电容元件的特征注意：瞬时值关系式中u、i的正方向是一致的，否则式中有一负号。R、L、C都是线性元件，即R、L、C都是常数。R=u/iL=NΦiC=

qu

uiR根据欧姆定律tIwsin2=twsinRU2=twsinUu2=设Rui=则一、电阻电路1.频率相同2.相位相同3.

有效值关系：电阻电路中电流、电压的关系

tui4.

相量关系：设U.U

.I.

则

I.或U=IR.

.电阻电路中的功率

uiR1.瞬时功率

p：瞬时电压与瞬时电流的乘积小写=UmImsin2ωt=UmIm/2(1-cos2ωt)=UI(1-cos2ωt)1.（耗能元件）结论：2.随时间变化3.与

成比例ωtuipωtUI(1-cos2ωt)2.平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值

大写

uiR

基本关系式：iuL设则二、电感电路电感电路中电流、电压的关系

1.频率相同2.相位相差

90°

（u

领先

i

90

°）iu设：3.有效值感抗（Ω）定义：则：4.相量关系I.U.I.U.则：U.I.U=Iω..I.感抗（XL=ωL

）是频率的函数，

表示电感电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。ωXLω=0时XL=0关于感抗的讨论e+_LR直流E+_RXL=ωL电感电路中的功率1.瞬时功率

p

iuL储存能量可逆的能量转换过程iuLP<0释放能量+P>0P<0uiuiuiui+PP>0iu储存能量释放能量

2.平均功率

P

（有功功率）结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐）。3.无功功率QQ

的单位：乏、千乏(var、kvar)

Q

的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用以衡量电感电路中能量交换的规模。基本关系式:设：uiC则：三、电容电路

1.频率相同2.相位相差90°

（u落后

i

90°

）电容电路中电流、电压的关系iuU.I.3.有效值或容抗（Ω）定义：则：I

4.相量关系则：I.U.设：U.I.IU..U.I.jIXc.E+-ωe+-关于容抗的讨论直流是频率的函数，

表示电容电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。容抗ω＝0时电容电路中的功率ui1.瞬时功率p充电p放电放电P<0释放能量充电P>0储存能量uiuiuiuiiuωtuiC

2.平均功率P瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）3.无功功率Q（电容性无功取负值）已知：C＝1μF求：I

、i例uiC解：电流有效值求电容电路中的电流瞬时值i领先于u90°电流有效值U.30°60°I.I.U.1.单一参数电路中的基本关系电路参数R基本关系复阻抗U.I.电路参数基本关系复阻抗LI.U.复阻抗电路参数基本关系CU.I.小结在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗（)表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相似。2.单一参数电路中复数形式的欧姆定律U、I..U=IR..U=I(jXL)U=I(-jXc)....电阻电路电感电路电容电路复数形式的欧姆定律单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数电路图（正方向）复数阻抗电压、电流关系瞬时值有效值相量图相量式功率有功功率无功功率Riu设则u、i

同相0LiuCiu设则设则u领先i90°u落后i90°00基本关系U=IR..若则一、电流、电压的关系uRLCi§3.4

R、L、C元件串联的交流电路1.瞬时值关系:RLCUI..URULUC...UL.UC

.UR.UL+UC..U.I.2.相量图相量模型电压三角形先画出参考相量总电压与总电流的关系式3.相量关系:设（参考相量）相量方程式：U=UR+UL+UC....I.UR=IRUL=I(jXL)UC=I(-jXC)....

..U=IR+I(jXL)+I(-jXC)=I[R+j(XL-XC)]

.....RLCUI..URULUC...Z：复数阻抗实部为阻虚部为抗容抗感抗令则4.复数形式的欧姆定律：复数形式的欧姆定律U=I[R+j(XL-XC)]..[R+j(XL-XC)]Z的单位：Ω、KΩU=IZ..RLCUI..URULUC...在正弦交流电路中，只要物理量用相量表示,元件参数用复数阻抗表示，则电路方程式的形式与直流电路相似。

是一个复数，但并不是正弦交流量，上面不能加点。Z在方程式中只是一个运算工具。

Z说明：

U=IZ..二、关于复数阻抗Z

的讨论由复数形式的欧姆定律可得：结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比，而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。1.Z和总电流、总电压的关系U=IZ..UI..2.Z

和电路性质的关系

一定时电路性质由参数决定

阻抗角当

XL＞XC

时，φ＞0

表示u

领先i

－－电路呈感性当

XL＜XC

时，φ＜0

表示u

落后i

－－电路呈容性当

XL=XC

时，

=0

表示u、i同相－－电路呈电阻性假设R、L、C已定，电路性质能否确定？（阻性？感性？容性？）不能！当ω不同时，可能出现：

XL

>

XC

，或XL

<

XC,或XL=XC

。

思考3.阻抗（Z）三角形阻抗三角形4.阻抗三角形和电压三角形的关系电压三角形阻抗三角形相似U=UR+UL+UC=I[R+j(XL-XC)].....UR.UL.UC

.U.UL+UC..I.在RLC串联交流电路中，R=15Ω，

L=12mH,C=5μF,电源电压求:⑴电路中的电流i和各部分电uR

,uL,uC;(2)画相量图。例1、解：=60Ω=5000×12×10－3XL=ωL=40Ω=1／5000×5×10－6XC=1/ωC2015)(jXXjRZCL+=-+=1520201522arctanÐ+=

o

1353.25

Ð=oOoZUI13.53413.53250100-Ð=ÐÐ==··oRRIU13.5360-Ð==··ooLLIXjU13.534×60×90-ÐÐ==··o8.36240Ð=ooCCIXjU13.534×40×90-Ð-Ð=-=··o13.143160-Ð=（2）相量图如图：·CU·LU三、R、L、C

串联电路中的功率计算1.瞬时功率

2.平均功率

P

（有功功率）

uRLCi总电压总电流u与i

的夹角平均功率P与总电压U、总电流

I

间的关系：-----功率因数

其中：

UR.U.UL+UC

..φ在R、L、C串联的电路中，储能元件L、C

虽然不消耗能量，但存在能量吞吐，吞吐的规模用无功功率来表示。其大小为：3.无功功率Q：UR.U.UL+UC

..φ4.视在功率S：电路中总电压与总电流有效值的乘积。单位：伏安、千伏安PQ（有助记忆）S注：S＝UI

可用来衡量发电机可能提供的最大功率（额定电压×额定电流）视在功率5.功率三角形无功功率有功功率SQP功率三角形R阻抗三角形RLCUI..URULUC...电压三角形UR.U.UL+UC..AXBYCZ转子●SN定子一、三相电动势的产生三相交流发电机示意图(尾端)+eAeBeCXABYCZ(首端)++––

–++__eeAX•§3.7三相电源••YCBZSN•AX定子转子

三线圈空间位置各差120o转子是直流励磁的电磁铁，当它以

的速度旋转时，定子的三个线圈中便产生三个单相电动势。三相交流发电机示意图工作原理：动磁生电1.瞬时表示式2.相量表示EA.EC.EB.3.相量图二、三相电动势的表示3.

波形图

tuAeBeCe相量图波形图e0eAeBeC2

120°240°360°相量表示EBEA..120°120°120°EC.三相电动势瞬时表示式对称三相电动势的瞬时值之和为0三相交流电到达正最大值的顺序称为相序。供电系统三相交流电的相序为A

B

C三个正弦交流电动势的特征：大小相等，频率相同，相位互差120º。称为对称的三相电动势.三、三相电源的星形联结(1)联接方式中性点YBCZNXA中性线(零线、地线)端线(相线、火线)在低压系统,中性点通常接地，所以也称地线。端线(相线、火线)端线(相线、火线)相电压：相线与零线间（发电机每相绕组）的电压线电压：两相线间的电压用Up表示XYZNBCAeA+–eC+–eB+––+–+–++––++–用Ul表示

三相电源星形接法时的两组电压(2)

线电压与相电压的关系根据KVL定律由相量图可得相量图30°UAB超前UA30°..UAB=√3UA

同理：UA.UB.UC.UAB.UBC.UCA.特点：线电压=相电压A•AXYCBZBC••EA.EB.EC.UAB=UA..UBC=UB..UCA=UC..Ul=Up..四.三相电源的三角形联结短路+–E三个电源串接能否造成短路？直流电源行吗？A•XYZBC••问题讨论•••+++---EEE直流电源串接不行，三相交流电源可以，为什么？A•XYZBC••Em三相交流电源中三个电源可以串接的原因在于：

三个电源的电压任何瞬间相加均为零。§3.7.2

三相负载的星形联结三相负载不对称三相负载：

不满足ZA=ZB

=

ZC

如由单相负载组成的三相负载对称三相负载：ZA=ZB=

ZC

如三相电动机1.三相负载单相负载：只需一相电源供电

照明负载、家用电器负载分类三相负载：需三相电源同时供电

三相电动机等星形接法ACB

NZZZ三角形接法ACBZZZ•••三相负载的联接

三相负载也有Y和两种接法，至于采用哪种方法，要根据负载的额定电压和电源电压确定。三相负载连接原则：三相四线制380/220伏AB电源C保险丝N

额定相电压为220伏的单相负载

额定线电压为380伏的三相负载Y:三相三线制Y0：三相四线制（1）电源提供的电压=负载的额定电压；（2）单相负载尽量均衡地分配到三相电源上。2.负载星形联结的三相电路线电流：流过端线的电流相电流：流过每相负载的电流(1)联结形式+ZBZCZAN'N++–––N电源中性点N´负载中性点中线电流CABN(2)负载Y联结三相电路的特点1)负载端的线电压＝电源线电压3)线电流＝相电流Y

联结时：4)中线电流+ZBZCZAN'N++–––2)负载的相电压＝电源相电压ACBNZAZBZC解题思路：一般电压up或

为已知，然后根据电压和负载求电流。+_UC.UB.+_UA.+_=UP.IP.Il.=ZAI.BI.NI.CI.BI.AI.CI.3.负载Y

联结,有中线时的计算相电流=IA.UA.ZA=IB.UB.ZB=IC.UC.ZC=IN.IA.++IC.IB.中线电流：(1)负载不对称时，各相单独计算。负载Y联结带中性线时,可将各相分别看作单相电路计算+ZBZCZAN'N++–––已知：三相负载R、L、C其中R=2XL=2XC

以及三相相电压：求：各相、各线及中线电流并画相量图。

CRA

B

NLCIA.IB.IC.IC.IB.IA.IN.UB.=UB∠－120°UA.=UA∠0°UC.=UC∠120°例11)相电流IA.IB.IC.IC.IB.IA.

CRA

B

NLC=IA.UA.ZA=IB.UB.ZB=IC.UC.ZC=UA∠0°R=jXLUB∠－120°=-jXCUC∠120°UC.UA.UB.IB.IN.IA.IC.2)中线电流3)各电压、电流的相量图2)负载对称时，只需计算一相。如：则：据此可直接得出另两相电流：=IA.UA.ZA=IB.IA.∠－120°=IC.IA.∠－240°IA.UA.UB.UC.IB.IC.三相负载对称三相电流对称三相电压对称（中线电流为0）IB.IA.=IN.++=0IC.φ由阻抗性质决定例2：N+++–––N

RARBRCACB若RA=RB=RC=5，求线电流及中性线电若RA=5,RB=10,RC=20,求线电流及一星形联结的三相电路，电源电压对称。设电源线电压。负载为电灯组，流IN;中性线电流IN。例2中性线电流解：已知：N+++–––N

RARBRCACB(1)线电流三相对称(2)三相负载不对称（RA=5、RB=10、RC=20）

分别计算各线电流中性线电流负载对称时问题及讨论零线是否可以取消？答：三相完全对称时，零线可以取消。称为三相三线制。ACBZZZ=IN.IA.++IC.IB.=0三相四线制380/220伏AB电源C保险丝N

正确接法:每层楼的灯相互并联,然后分别接至各相电压上。则每盏灯上都可得到额定的工作电压220V。零线上不能加刀闸和保险照明电路的一般画法应用实例照明电路讨论讨论照明电路能否采用三相三线制供电方式？ACB.........一层楼二层楼三层楼N不加零线会不会出现问题?应用实例照明电路设线电压为380V。A相断开后，B、C两相串连，电压UBC

（380V）加在B、C负载上。如果两相负载对称，则每相负载上的电压为190V。ACB.........一层楼二层楼三层楼分析：结果二、三楼电灯全部变暗，不能正常工作。问题1：若一楼全部断开，二、三楼仍然接通,

情况如何?

问题2：若一楼断开，二、三楼接通。但两层楼灯的数量不等（设二楼灯的数量为三层的1/4）结果如何？结果：二楼灯泡上的电压超过额定电压，灯泡被烧毁；三楼的灯不亮。ACBR2R3分析

NRARCRBABNC

此时A相短路电流很大，将A相熔断丝熔断，而B相和C相未受影响，其相电压仍为220V,正常工作。A相短路:照明系统故障分析

(1)中性线未断时，求各相负载电压；此情况下，B相和C相的电灯组由于承受电压上所加的电压都超过额定电压（220V)，这是不允许的。

此时负载中性点N´即为A,因此负载各相电压为

ABNCN´iAiCiB+++–––

(2)中性线断开时，求各相负载电压。A相短路:（2)中性线断开

B、C相灯仍承受220V电压,正常工作。（1)中性线未断变为单相电路，如图(b)所示,

IBCU´AU´B+––+(b)

NRARCRBABNC(a)A相断路:结论