数学九年级上册专题22.2 二次函数的图象与性质（二）-重难点题型（人教版）（教师版）

专题22.2二次函数的图象与性质（二）-重难点题型【人教版】【知识点1二次函数的配方法】y=ax2=ax=ax+=ax+二次函数的一般形式y=ax2+bx+ca≠0配方成顶点式【题型1二次函数的配方法】【例1】用配方法将下列函数化成y＝a（x+h）2+k的形式，并指出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．（1）y=−12x2+6（2）y＝（2﹣x）（1+2x）．【解题思路】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；（2）化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答过程】解：（1）y=−12x2+6x﹣17=−12（x2﹣12x+36）+18﹣17=−1∵a=−1∴开口向下，对称轴为直线x＝6，顶点坐标为（6，1）；（2）y＝（2﹣x）（1+2x）＝﹣2x2+3x+2＝﹣2（x2−32x+916）+98+∵a＝﹣2＜0，∴开口向下，对称轴为直线x=34，顶点坐标为（34【变式1-1】用配方法确定下列函数的对称轴和顶点坐标，（1）y＝2x2﹣12x+3（2）y＝﹣5x2+80x﹣319（3）y＝2（x−12）（（4）y＝3（2x+1）（2﹣x）【解题思路】（1）、（2）先把二次项系数转化为1，然后利用完全平方公式进行转化．（3）先利用多项式乘以多项式的法则将括号内的式子展开，然后利用完全平方公式进行解答．（4）先转化为一般式方程，然后利用配方法进行解答．【解答过程】解：（1）y＝2x2﹣12x+3＝2（x2﹣6x）+3＝2（x﹣3）2﹣15；则该函数的对称轴是直线x＝3，顶点坐标为（3，﹣15）；（2）y＝﹣5x2+80x﹣319＝﹣5（x2﹣16x）﹣319＝﹣5（x﹣8）2+1．则该函数的对称轴是直线x＝8，顶点坐标为（8，1）；（3）y＝2（x−12）（x﹣2）＝2（x2−52x）+2＝2（x−则该函数的对称轴是直线x=54，顶点坐标为（54（4）y＝3（2x+1）（2﹣x）＝3（﹣2x2+3x+2）＝﹣6（x2−32x）+6＝﹣6（x−34则该函数的对称轴是直线x=34，顶点坐标为（34【变式1-2】用配方法把下列函数化成y＝a（x﹣h）2的形式，并写出函数图象的顶点坐标、开口方向及对称轴．（1）y＝4x2﹣4x+1；（2）y=12x2+2（3）y=−13x2+【解题思路】（1）直接利用配方法得出二次函数顶点坐标和对称轴即可；（2）直接利用配方法得出二次函数顶点坐标和对称轴即可；（3）直接利用配方法得出二次函数顶点坐标和对称轴即可．【解答过程】解：（1）y＝4x2﹣4x+1＝4（x2﹣x+1＝4（x−12）函数图象的顶点坐标为：（12，0）、开口方向向上，对称轴为：x=（2）y=12x2+2=12（x2+4=12（x+2）函数图象的顶点坐标为：（﹣2，0）、开口方向向上，对称轴为：x＝﹣2；（3）y=−13x2+=−13（x2﹣23=−13（x−3函数图象的顶点坐标为：（3，0）、开口方向向下，对称轴为：x=3【变式1-3】利用配方法，把下列函数写成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出它们图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）y＝﹣x2+6x+1（2）y＝2x2﹣3x+4（3）y＝﹣x2+nx（4）y＝x2+px+q．【解题思路】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；（2）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；（3）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；（4）直接利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答过程】解：（1）y＝﹣x2+6x+1＝﹣（x2﹣6x）+1＝﹣（x﹣3）2+10，对称轴x＝3，顶点坐标为：（3，10），开口向下；（2）y＝2x2﹣3x+4＝2（x2−32x）+4＝2（x−34对称轴x=34，顶点坐标为：（34（3）y＝﹣x2+nx＝﹣（x−n2）2对称轴x=n2，顶点坐标为：（n2（4）y＝x2+px+q＝（x+p2）2对称轴x=−p2，顶点坐标为：（p2【知识点2二次函数的五点绘图法】利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.【题型2二次函数的五点绘图法】【例2】（2020秋•番禺区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象；【解题思路】求出与x轴的交点坐标，然后再利用配方法把函数解析式化为顶点式找出顶点坐标与函数的对称轴直线，即可作出大致图象；【解答过程】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x＝1，图象如图所示：；【变式2-1】（2020秋•虹口区期末）已知二次函数的解析式为y=12x2﹣2（1）用配方法把该二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式；（2）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系xOy内描点，画出该函数的图象．x……y……【解题思路】（1）利用配方法把将二次函数y＝x2﹣4x﹣1的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式；（2）根据对称轴为x＝2，可在对称轴两侧取整数点，描点画出图象即可．【解答过程】解：（1）y=12x2=12（x2﹣4=12（x2﹣4=12（x﹣2）（2）列表：x…01234…y…0−3﹣2−30…描点、连线画出函数图象如图：．【变式2-2】（2020秋•岑溪市期中）已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）下表是y与x的部分对应值，请补充完整；x…01234…y…00…（2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象；（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．【解题思路】（1）把x＝1，x＝2，x＝3分别代入函数解析式，求出y的值即可；（2）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；（3）根据函数图象即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵当x＝1时，y＝﹣1+4×1＝3；当x＝2时，y＝﹣4+4×2＝4；当x＝3时，y＝﹣9+4×3＝3．故答案为：3，4，3；（2）如图所示；（3）如图所示，当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．【变式2-3】（2020秋•浑源县期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）将二次函数表达式y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出其顶点坐标；（2）完成下列表格并在如图所示的直角坐标系内画出该函数的大致图象；x…01234…y＝x2﹣4x+3……【解题思路】（1）y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，即可求解；（2）计算出根据表格数据，描点连线绘制函数图象即可；【解答过程】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，所以顶点坐标为（2，﹣1）；（2）当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，当x＝1时，y＝x2﹣4x+3＝0，同理可得：x＝2时，y＝﹣1，x＝3时，y＝0，x＝4时，y＝3，故答案为：3，0，﹣1，0，3；根据表格数据，描点连线绘制函数图象如下：【知识点3二次函数的图象与各系数之间的关系】①二次项系数：总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．②一次项系数：在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置，对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”③常数项：总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．【题型3二次函数的图象与各系数之间的关系】【例3】（2020秋•远安县期末）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【解题思路】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【解答过程】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣a的图象应该开口向上，图象的两交点在坐标轴上，故A正确；B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣a的图象应该开口向下，图象的两交点不在坐标轴上，故B错误；C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣a的图象应该开口向上，图象的两交点不在坐标轴上，故C错误．D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣a的图象应该开口向下，图象的两交点不在坐标轴上，故D错误；故选：A．【变式3-1】（2020秋•莱州市期末）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【解题思路】可先根据一次函数的图象判断a、c的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【解答过程】解：A、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向下，不可能；B、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＞0，c＞0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向上，交于y轴的正半轴同一点，不可能；C、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＞0，c＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向上，交于y轴的负半轴同一点，有可能．D、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＜0，c＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向下，与一次函数的图象交于y轴同一点，不可能；故选：C．【变式3-2】（2020•菏泽）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【解题思路】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致．【解答过程】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．故选：B．【变式3-3】（2020春•市中区校级月考）设m、n是常数，且n＜0，抛物线y＝mx2+nx+m2﹣m﹣6为下图中四个图象之一，则m的值为（）A．6或﹣1 B．3或﹣2 C．3 D．﹣2【解题思路】可根据函数的对称轴，以及当x＝0时，y的值来确定符合题意的函数式，进而确定m的值．【解答过程】解：∵y＝mx2+nx+m2﹣m﹣6，∴x=−n因为n＜0，所以对称轴不可能是x＝0，所以第一个图，第二个图不正确．三，四两个图都过原点，∴m2﹣m﹣6＝0，即（m﹣3）（m+2）＝0，∴m＝3或﹣2．第三个图中m＜0，开口才能向下．对称轴为：x=−n所以m可以为﹣2．第四个图，m＞0，开口才能向下，x=−n2m＞故选：D．【知识点4二次函数图象的平移变换】（1）平移步骤：①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：（2）平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．【题型4二次函数图象的平移变换】【例4】（2020秋•淅川县期末）将抛物线y＝x2﹣4x+6向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2+1 C．y＝（x﹣5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+1【解题思路】根据“上加下减，左加右减”的法则解答．【解答过程】解：将抛物线y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后所得新抛物线的表达式为y＝（x﹣2+3）2+2+1，即y＝（x+1）2+3．故选：A．【变式4-1】（2020秋•广西月考）把抛物线y＝﹣2x2+4x+1平移得到抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+7，是怎样平移得到的（）A．向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 B．向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度【解题思路】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+7的顶点坐标为（3，7），然后通过点顶点平移的情况来判断抛物线平移的情况．【解答过程】解：抛物线y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+7的顶点坐标为（3，7），∵点（1，3）向右平移2个单位，再向上平移4个单位可得到（3，7），∴将抛物线y＝﹣2x2+4x+1向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+7．故选：A．【变式4-2】（2021秋•鄄城县期末）抛物线y＝x2+bx+c图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣4x+3，则b+c的值为．【解题思路】根据图象平移的规律：左加右减，上加下减，可得答案．【解答过程】解：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，所以将该函数图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的函数解析式为：y＝（x﹣2+3）2﹣1+2＝x2+2x+2，所以b＝2，c＝2，所以b+c＝4．故答案是：4．【变式4-3】（2021秋•潮南区月考）把二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=12（x+1）（1）试确定a、h、k的值；（2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标．【解题思路】（1）利用逆向思维的方法求解：把二次函数y=12（x+1）2﹣1的图象先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象，然后利用顶点的平移情况确定原二次函数解析式，然后写出a、h、（2）根据二次函数的性质求解．【解答过程】解：（1）二次函数y=12（x+1）所以原二次函数的解析式为y=12（x﹣1）所以a=12，h＝1，二次函数y＝a（x﹣h）2+k，即y=12（x﹣1）2﹣5的开口向上，对称轴为直线x【知识点5二次函数图象的对称变换】（1）关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是；（2）关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是；（3）关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是；（4）关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是．【题型5二次函数图象的对称变换】【例5】（2020•琼海一模）抛物线y＝（x﹣1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3【解题思路】抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，将二次项系数变为原抛物线二次项系数的相反数，用顶点式写出新抛物线的解析式即可．【解答过程】解：∵y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），∴关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，∴所求抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣3．故选：D．【变式5-1】（2020春•海淀区校级期末）将抛物线y＝（x﹣3）（x﹣5）先绕原点O旋转180°，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣4x﹣3 B．y＝﹣x2﹣12x﹣35 C．y＝x2+12x+35 D．y＝x2+4x+3【解题思路】先求出抛物线的解析式，先根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移的性质求得平移后抛物线的顶点坐标；最后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可．【解答过程】解：y＝（x﹣3）（x﹣5）＝（x﹣4）2﹣1．此时，该抛物线顶点坐标是（4，﹣1）．将该抛物线绕坐标原点O旋转180°后的顶点坐标是（﹣4，1）．再向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（﹣2，1）．所以此时抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+1＝﹣x2﹣4x﹣3．故选：A．【变式5-2】在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）A．m=57，n=−187 B．mC．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣2【解题思路】根据关于y轴对称，a，c不变，b变为相反数列出方程组，解方程组即可求得．【解答过程】解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，∴2m−1=3m+n2m−4=n，解之得m=1∴则符合条件的m，n的值为m＝1，n＝﹣2，故选：D．【变式5-3】（2020秋•汉阳区校级月考）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式为．【解题思路】把抛物线y＝x2+2x+3整理成顶点式形式并求出顶点坐标，再求出与y轴的交点坐标，然后求出所得抛物线的顶点，再利用顶点式形式写出解析式即可．【解答过程】解：∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴原抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），令x＝0，则y＝3，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），∵抛物线绕与y轴的交点旋转180°，∴所得抛物线的顶点坐标为（1，4），∴所得抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3[或y＝﹣（x﹣1