多目标决策分析

第六章多目标决策分析广西大学数学与信息科学学院运筹管理系第六章多目标决策分析在决策分析中，决策问题要到达的目的称为决策目标，用数值表示决策方案实现某个目标程度的标准和法那么，称为决策准那么。前面讨论的问题都只有一个决策目标和一个评价准那么〔如收益最大、效用最大〕，属单目标、单准那么决策。 单目标决策的关键：合理选择决策准那么。实际问题常常有多个决策目标，每个目标的评价准那么往往也不是只有一个，而是多个—多目标、多准那么决策问题。§6.1多目标决策的目标准那么体系多目标决策问题的目标往往相互联系、相互制约，有的甚至相互矛盾。在多目标决策问题中，有的目标可以用一个或几个决策准那么直接进行评价和比较，有的目标那么难以进行直接评价和比较。 如何解决这一问题？通常将难以进行直接评价和比较的目标分解为假设干子目标，直至这些子目标能用一个或几个决策准那么进行评价和比较。例：某经济特区方案兴建一个大型海港 港址的选择需要综合考虑经济、技术、环境以及社会四个方面。决策目标有四个：经济、技术、环境、社会 这四个目标均不能直接用一个或几个准那么进行评价，要根据决策主体和实际情况的要求，逐级分解为假设干子目标。如：经济目标可以分解成直接经济效益和间接经济效益两个一级子目标。直接经济效益又可以继续分解为投资额、投资回收期和利税总额等三个二级子目标…海港港址经济技术环境社会直接效益间接效益投资额投资回收期利税总额海运收益国际贸易收益国内贸易收益航道海滩建筑运行城市关系交通关系资源环保政策军事……

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§6.1多目标决策的目标准那么体系目标准那么体系的意义目标准那么体系 指依据决策主体要求和实际情况需要，对目标经过逐层分解形成的多层次结构的子目标系统。目标准那么体系的最低一层子目标可以用单一准那么进行评价。多目标决策问题的关键就是合理地选择和构造目标准那么体系。目标准那么体系的意义构造目标准那么体系应注意的原那么系统性原那么 各子目标要反映所有因素的整体影响，具有层次性和相关性。可比性原那么 不同系统的横向比较；同一系统的纵向动态比较。可操作性原那么 各子目标含义明确，便于数据采集和计算。目标准那么体系的结构1、单层次目标准那么体系 各个目标都属于同一层次，每个目标无须分解就可以用单准那么给出定量评价。图6-2单层次目标准则体系总目标目标m目标m-1目标2目标1……目标准那么体系的结构2、序列型多层次目标准那么体系目标准那么体系的各个目标，均可以按序列分解为假设干个低一层次的子目标；各子目标又可以继续分解；这样一层层按类别有序地进行分解，直到最低一层子目标可以按某个准那么给出数量评价为止。特点：各子目标可按序列关系分属各类目标，不同类别的目标准那么之间不发生直接联系；每个子目标均由相邻上一层的某个目标分解而成。目标准那么体系的结构3、非序列型多层次目标准那么体系某一层次的各子目标，一般不单是由相邻上一层次某子目标分解而成，各子目标也不能按序列关系分属各类；相邻两层次子目标之间，仅按自身的属性建立联系，存在联系的子目标之间用实线连结，无实线连结的子目标之间，不存在直接联系。3、非序列型多层次目标准那么体系G............c1c2cn-1cn…g11g12g1n-1g1n…最高层中间层准那么层…g21g22g1k-1g1k评价准那么和效用函数在多目标决策中，制定了目标准那么体系后，不同的目标通常用不同的评价准那么衡量。问题：如何从总体上给出方案对于目标准那么体系中的全部目标的满意度？必须将不同度量单位的准那么，化为无量纲统一的数量标度，并按特定的法那么和逻辑过程进行归纳与综合，才能建立各可行方案之间具有可比性的数量关系。效用函数正是一种统一的数量标度。评价准那么和效用函数多目标决策中，任何一个方案的效果均可以由目标准那么体系的全部结果值所确定。可行方案在每一个目标准那么下，确定—个结果值，对目标准那么体系，就得到一组结果值，并经过各目标准那么的效用函数，得出一组效用值。这样，任何一个可行方案在总体上对决策主体的满意度，可以通过这些效用值按照某种法那么并合而得，满意度是综合评价可行方案的依据。6.1.4目标准那么体系风险因素的处理单目标风险型决策中，各备选方案看成是在整体上处于同一类状态空间的。多目标决策中，风险因素可能只涉及某些目标准那么，备选方案不宜在整体上视为处于同一类状态空间。多目标决策的风险因素，应该在目标准那么体系中对涉及风险因素的各子目标分别加以处理。将风险型多目标问题转化为确定型多目标问题。§6.2目标规划方法目标规划模型多目标线性规划问题问题：能否化为单目标线性规划问题求解？ 如何处理各目标的主次、轻重？§6.2目标规划方法例6.1某厂生产甲、乙两种产品，每件产品的单位利润、所消耗的原材料及设备工时、材料和设备工时的限额如下表所示。甲乙限额原材料（公斤）设备（工时）23322426利润（元/件）42产品消耗原料例6.1 决策者根据市场需求等一系列因素，提出以下目标〔依重要程度排列〕：首要目标是保证乙产品的产量大于甲产品产量；尽可能充分利用工时，但又不希望加班；确保到达方案利润30元。 试对厂家生产作出决策分析。设甲、乙产品的产量分别为x1、x2件。§6.2目标规划方法目标规划是求解多目标线性规划的方法之一。目标规划的根本方法对每一个目标函数引进一个期望值；引入正、负偏差变量，表示实际值与期望值的偏差，并将目标函数转化为约束条件，与原有约束条件构成新的约束条件组；引入目标的优先等级和权系数，构造新的单一的目标函数，将多目标问题转化为单目标问题求解。§6.2目标规划方法1、目标函数的期望值ek对于多目标线性规划的每一个目标函数值Zk(k=1,2,…,K)，根据实际情况和决策者的希望，确定一个期望值ek。在例6.1中乙产品与甲产品产量之差的目标值可定为0；生产工时的目标值为26〔工时〕；利润的目标值为30〔元〕。§6.2目标规划方法2、正负偏差变量 对每一个目标函数值，分别引入正、负偏差变量

正负偏差变量分别表示实际目标值超过和低于期望值的数值。引入偏差变量之后，目标就变成了约束条件，成为约束条件组的一局部。§6.2目标规划方法在例6.1中，令： d1+,d1-分别表示乙产品与甲产品产量之差超过和达不到目标值的偏差变量； d2+,d2-分别表示生产工时超过和达不到目标值的偏差变量； d3+,d3-分别利润超过和达不到目标值的偏差变量；那么三个目标可化为含有偏差变量的约束条件§6.2目标规划方法3、优先因子〔优先等级〕和权系数 如何区别不同目标的主次轻重？凡要求第一位到达的目标赋于优先因子P1，次位的目标赋于优先因子P2，…，并规定Pk＞＞Pk+1〔表示Pk比Pk+1有更大的优先权，Pk+1级目标是在保证Pk级目标实现的根底上才能考虑的〕〔k＝1,2，…，K〕为区别具有相同优先因子的两个目标的差异，可分别赋于它们不同的权系数ωj 优先等级及权数的赋值由决策者确定。§6.2目标规划方法4、达成函数(准那么函数)—目标规划模型的目标函数准那么函数由各目标约束的正、负偏差变量及相应的优先因子和权系数构造而成。注：目标规划模型的目标函数是对各目标的偏差的综合〔将多目标化为单目标〕，在目标函数中不包含原决策变量，且一定是极小型的〔偏差最小〕。4、达成函数(准那么函数)当每一目标值确定后，决策者的要求是偏差变量尽可能小，因此其目标函数只能是极小形式，具体有以下三种根本形式：要求恰好到达目标值(正、负偏差都要尽可能小)要求不超过目标值(正偏差应尽可能小)要求不低于目标值(负偏差应尽可能小)§6.2目标规划方法在例6.1中， 首要目标是保证乙产品的产量大于甲产品产量，赋于优先因子P1，目标为d1-尽可能小； 次级目标是生产工时恰好到达目标值，赋于优先因子P2，目标为d2-和d2＋都要小； 最后的目标是利润不低于30元，赋于优先因子P3，目标为d3-尽可能小；因此，可构造准那么函数如下：§6.2目标规划方法例6.1的目标规划模型为：§6.2目标规划方法目标规划的一般模型§6.2目标规划方法目标规划的建模步骤〔1〕假设决策变量；〔2〕建立约束条件；〔3〕建立各个目标函数；〔4〕确定各目标期望值，引入偏差变量，将目标函数化为约束方程；〔5〕确定各目标优先级别和权系数，构造准那么函数。§6.3化多为少方法对单层次多目标决策模型其中f1(x),f2(x),…,fm(x)表示m个目标函数，X表示满足某些约束条件的n维点集。处理方法：〔1〕化为一个单目标问题 〔2〕化为多个单目标问题。例6.5某厂在方案期内生产甲、乙两种产品。产品资源甲乙资源限额原材料A（公斤）原材料B（公斤）设备C（工时）4594310200240300价格（元/件）400600利润（元/件）70120污染32例6.5设产品能全部销售出去问：方案期应如何安排生产，才能使利润和产值都到达最大，而造成的污染最小？解：设方案期分别生产甲、乙产品x1、x2件，那么问题的数学模型为：§6.3化多为少方法主要目标法主要目标—所有决策目标中，重要程度最高和最为关键的目标。主要目标要求到达最优。其余目标作为非主要目标，满足一定条件即可〔满意〕。设f1(x)为主要目标，那么由：可以得到〔6.3〕的一个有效解。例6.5 决策者确定以利润最大为主要目标并要求：总产值至少应到达20000元，污染量那么应控制在90个单位以下。由主要目标法可得到单目标规划问题：§6.3化多为少方法线性加权和法给目标fi(x)赋以权系数λi〔i=1,2,…,m〕然后作新的目标函数构成单目标决策问题：难点：如何使多个目标用同一尺度统一起来〔多种方法在下一章中介绍，可以将各目标统一作效用值度量〕；如何选择合理的权系数。线性加权和法1.α—法 以两个目标的多目标决策问题为例记：〔即x(1)、x(2)分别为以f1(x)和f2(x)目标的单目标问题的最优解〕线性加权和法1.α—法 化作单目标决策问题要求：c1是任意的非零常数。即可确定权系数。假设进一步要求α1+α2=1，可得：例6.7

设有多目标决策问题其中：试用α—法化为单目标决策问题。解：先分别求解得：x(1)=(0,0)T，x(2)=(1,2)T例6.7

x(1)=(0,0)T，x(2)=(1,2)T那么：对目标进行线性加权：化为单目标问题：线性加权和法2.λ—法对多目标决策问题取：化为单目标决策问题：适用条件：fi*≠0§6.3化多为少方法平方和加权法要求目标fi(x)与规定值fi*相差尽量小〔i=1,2,…,m〕，可构造目标函数：构成单目标决策问题：λi—权系数，可按要求的相差程度分别给出。§6.3化多为少方法理想点法记：称为理想点。假设所有x(i)都相同，记为x(0)，那么x(0)就是所求的多目标决策问题的最优解；假设不然，那么考虑求解下面的单目标决策问题：例6.7

x(1)=(0,0)T，x(2)=(1,2)T用理想点法化为单目标决策问题构造目标函数§6.3化多为少方法步骤法〔STEM法〕是逐步迭代的方法，也称逐步进行法、对话式方法。在求解过程中，每进行一步，分析者就把计算结果告诉决策者，决策者对计算结果作出评价。假设认为已满意了，那么迭代停止；否那么分析者再根据决策者的意见进行修改和再计算，如此直到求得决策者认为满意的解为止。步骤法〔STEM法〕设有多目标线性规划问题：其中步骤法〔STEM法〕STEM法的求解步骤：分别求解k个单目 标线性规划问题 得到的最优解记为x(i)，其相应的目标函数值记为fi*〔i=1,2,…,k〕，并x(i)代入其它目标函数：结果可列表给出〔称为支付表〕。STEM法支付表x(i)f1f2…fj…fkx(1)z11z21…zj1…zk1…………………x(i)z1iz2i…zji…zki…………………x(k)z1kz2k…zjk…zkk步骤法〔STEM法〕STEM法的求解步骤：求权系数：从支 付表中得到 为找出目标值的偏差以及消除不同目标值的量纲不同的问题，进行如下处理：归一化后得权系数：步骤法〔STEM法〕STEM法的求解步骤：求解〔使目标与理想值的最大加权偏差λ最小〕该线性规划问题的最优解记为x0。步骤法〔STEM法〕STEM法的求解步骤：将x0

和相应的目标值交给决策者判断。 决策者把这些目标值与理想值进行比较后，假设认为满意了，那么可停止计算；假设认为相差太远，那么考虑适当修正。 如：考虑对第r个目标让一点步，降低一点目标值△fr。步骤法〔STEM法〕STEM法的求解步骤：求解 求得解后，再与决策者对话，如此重复，直至决策者认为满意了为止。例6.9 某公司考虑生产甲、乙两种太阳能电池，生产过程会在空气中引起放射性污染，因此决策者有两个目标：极大化利润与极小化总的放射性污染。在一个生产周期内，每单位甲产品的收益是1元，每单位乙产品的收益是3元；每单位甲产品的放射性污染是1.5单位，每单位乙产品的放射性污染是1单位，由于机器能力〔小时〕、装配能力〔人时〕和可用的原材料〔单位〕的限制，约束条件是〔x1、x2分别为甲、乙产品的产量〕：例6.9该问题的目标函数为：例6.9STEM法求解先分别求解得：x(1)=(7.25,12.75)T， x(2)=(0,0)T

f1*=45.5， f2*=0例6.9STEM法支付表f1f2x(1)=(7.25,12.75)T45.5－23.625x(2)=(0,0)T00例6.9STEM法求解求权系数：从 支付表中得到归一化后得权系数：例6.9STEM法求解求解最优解为x0=(0,9.57)T,f1(x0)=28.71,f2(x0)=-9.57例6.9STEM法求解将x0=(0,9.57)T,f1(x0)=28.71,f2(x0)=-9.57 交给决策者判断。 决策者将其与理想值〔45.5,0〕进行比较后，认为f2是满意的， 但利润太低。且认为 可以接受污染值为10 个单位。修改约束集求解得x1=(0,10)T,f1(x1)=30,f2(x0)=-10决策者认为满意，停止迭代。

§6.4多维效用并合方法6.4.1多维效用并合模型多目标决策问题其目标属性的特点：目标间的不可公度性 即：对各目标的评价没有统一的量纲，不能用同一标准评价。目标间的矛盾性 提高某一目标值，可能会损害另一目标值。多维效用并合方法是解决目标间的不可公度性和矛盾性的一种有效途径。6.4.1多维效用并合模型 设多目标决策方案有m个可行方案： a1，a2，...，am 有s个评价准那么，测定和计算s个评价准那么的效用函数为： u1，u2，...，us 得到这m个可行方案在s个评价准那么下的效用值分别是： u1(ai)，u2(ai)，...，us(ai) (i=1，2，...，m)6.4.1多维效用并合模型多维效用并合方法为了从总体上表示可行方案ai的总效用，需要通过某种特定的方法和逻辑程序，将s个分效用合并为总效用，并依据各可行方案的总效用对其进行排序。这一多目标决策方法称为多维效用并合方法。主要用于序列型多层次目标准那么体系Hv1w2w1v2w4w3vlwkwk-1u2u1ulul-1..............................usus-1...图6.6序列型多层次目标准那么体系6.4.1多维效用并合模型图6.6中：H表示可行方案的总效用值，即满意度；v1，v2，...，vl表示第二层子目标的效用值；如此类推，w1，w2，...，wk表示倒数第二层各子目标的效用值；u1，u2，...，us表示最低一层各准那么的效用值。6.4.1多维效用并合模型效用并合过程从下到上，逐层进行。最低一层各准那么的效用，经过并合得到：符号“●〞表示按某种规那么和逻辑程序进行的效用并合运算。6.4.1多维效用并合模型 多维效用并合的最满意方案为a*，其满意度满足：第三层子目标的效用并合得到第二层各目标的并合效用值：最后，可得可行方案ai的满意度为：6.4.2多维效用并合规那么在多目标决策中，根据决策目标的不同属性，效用并合采取不同方式进行。多维效用合并规那么可由二维效用合并规那么导出，故先讨论二维效用合并规那么。二维效用函数与二维效用曲面 设效用u1，u2分别在区间［0，1］上取值，二元连续函数W=W(u1，u2)称为二维效用函数，其定义域是坐标平面u1，u2上的一个正方形，称为二维效用平面，其值域是W轴上的区间［0，1］，曲面W=W(u1，u2)称为二维效用曲面。6.4.2多维效用并合规那么多维效用函数与多维效用曲面设效用u1，u2，...，un分别在区间［0，1］上取值，n元连续函数W=W(u1，u2，...，un)称为n维效用函数。其定义域是n维效用空间u1，u2，...，un上有2n个顶点的凸多面体。其值域是［0，1］。曲面W=W(u1，u2，...，un)称为n维效用曲面。6.4.2多维效用并合规那么1.距离规那么 称满足以下条件的并合规那么为距离规那么：当二效用同时到达最大值时，并合效用到达最大值1，即：W(1，1)=1；当二效用同时取最小值时，并合效用取零效用值(最小值)，即：W(0，0)=0；二效用之一到达最大值，均不能使并合效用到达最大值，即： 0<W(u1，1)<1，0≤u1<1 0<W(1，u2)<1，0≤u2<11.距离规那么二维效用平面上其余各点效用值，与该点与并合效用最大值点的距离d成正比例。即：

W=W(u1，u2)的取值与d成正比。有：1.距离规那么距离规那么下的二维效用函数为：公式(6.9)可以推广到多维情形：如：本钱和效益的效用并合可以按距离规那么进行，并合效用函数2.代换规那么 二维效用并合的代换规那么适合如下情况：二效用对决策主体具有同等重要性，只要其中一个目标的效用取得最大值，无论其它效用取何值，即使取得最低水平，并合效用也到达最高水平，与二效用均到达最高水平一样。即： W(1，1)=1，W(0，0)=0 W(u1，1)=1，0≤u1≤1 W(1，u2)=1，0≤u2≤12.代换规那么代换规那么下的二维效用函数为：推广到多维情形，n维效用并合的代换规那么公式为：3.加法规那么 二维效用并合的加法规那么适用于如下情况：二效用的变化具有相关性，对并合效用的奉献没有本质差异，并且可以互相线性地补偿，即一目标效用的减少可以由另一目标效用值的增加得到补偿。即： W(1，1)=1，W(0，0)=0假设： W(1，0)=ρ1，W(0，1)=ρ2那么有： ρ1+ρ2=13.加法规那么推广到多维情形，n维效用并合的加法规那么公式为：加法规那么下的二维效用函数为：4.乘法规那么 乘法规那么适用于如下情况：二目标效用对于并合效用具有同等重要性，相互之间完全不能替代，只要其中任意一个目标效用值为0，无论另一个目标效用取值多大，并合效用值均为0。即： W(1，1)=1，W(0，0)=0 W(1，0)=W(0，1)=04.乘法规那么推广到多维情形，n维效用并合的乘法规那么公式为：乘法规那么下的二维效用函数为：更一般地：4.乘法规那么更一般地，乘法规那么下的n维效用函数为：或表示成对数形式：5.混合规那么混合规那么适用于各目标效用之间较为复杂的关系，是比代换、加法和乘法三规那么更为一般的情况。混合规那么的二维效用并合公式：其中，γ≥－1称为形式因子。γ的不同取值分别表示代换、加法和乘法三规那么之一。推广到多维情形，n维效用并合的混合规那么公式为：5.混合规那么当γ≠0时，(6.20)可以化为较为标准的形式：当γ=-1时，化为代换规那么形式；当γ=0，且c1+c2=1时，化为加法规那么形式；当γ>>0时，近似于乘法规那么形式：6.4.3多维效用并合方法应用实例 多维效用并合方法是多目标决策的一种实用方法，在经济管理、工程评价、能源规划、人口控制等方面有着广泛的应用。例：“我国总人口目标〞实例 经过统计分析测算，我国人口开展周期应是人均寿命70年，制定控制人口目标，宜以100年为时间范围。需要确定100年内，我国人口控制最合理的总目标是多少。例：“我国总人口目标〞方案： 对我国总人口目标的14个方案进行决策分析，即我国总人口分别控制为2亿、3亿、4亿、5亿、6亿、7亿、8亿、9亿、10亿、11亿、12亿、13亿、14亿、15亿14个人口方案，分别记为ai(i=1,2,…,14),其满意度分别为Hi(i=1,2,…,14)。例：“我国总人口目标〞各国对比u9我国人口总目标HV1V2吃用v1实力v2用w2吃w1粮食u1鱼肉u2空气u4水u5能源u6土地u3最低总和生育率u8GNPu7目标准那么体系例：“我国总人口目标〞效用并合1、u1〔粮食〕、u2〔鱼肉〕并合为w1宜用乘法规那么：w1＝u1·u22、u3〔土地〕、u4〔空气〕、u5〔水〕并合为w2宜用乘法规那么w2＝u3·u4·u53、u6〔能源〕、u7〔GNP〕并合为v2宜用乘法规那么v2＝u7·u84、u8〔βmin〕、u9〔各国比照〕并合为V2宜用乘法规那么V2＝u8·u9例：“我国总人口目标〞效用并合5、w1〔吃〕、w2〔用〕并合为v1宜用加法规那么：v1＝ρ·w1+(1-ρ)·w26、v1〔吃用〕、v2〔实力〕并合为V1宜用加法规那么：V1＝α·v1+(1-α)·v27、V1、V2并合为H宜用乘法规那么： H＝V1·V2得：§6.5层次分析方法AHP方法是美国运筹学家于20世纪70年代提出的，AHP决策分析法是AnalyticHierarchyProcess的简称。是一种定性与定量相结合的多目标决策分析方法。AHP决策分析法，能有效地分析非序列型多层次目标准那么体系，是解决复杂的非结构化的经济决策问题的重要方法，是计量经济学的主要方法之一。例6.10科研课题的综合评价综合评价科研课题成果奉献人才培养可行性开展前景实用价值科技水平优势发挥难易程度研究周期财政支持经济效益社会效益AHP方法的根本原理首先要将问题条理化、层次化，构造出能够反映系统本质属性和内在联系的递阶层次模型。1.递阶层次模型根据系统分析的结果，弄清系统与环境的关系，系统所包含的因素，因素之间的相互联系和隶属关系等。将具有共同属性的元素归并为一组，作为结构模型的一个层次，同一层次的元素既对下一层次元素起着制约作用，同时又受到上一层次元素的制约。1.递阶层次模型 AHP的层次结构既可以是序列型的，也可以是非序列型的。一般将层次分为三种类型：最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，也称为总目标层。中间层：包含假设干层元素，表示实现总目标所涉及到的各子目标，也称为目标层。最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。1.递阶层次模型H............A1A2An-1An…G11G12G1n-1G1n…最高层中间层最低层…G21G22G1k-1G1k层次结构图1.递阶层次模型相邻两层元素之间的关系用直线标明，称之为作用线，元素之间不存在关系就没有作用线。假设某元素与相邻下一层次的所有元素均有关系，那么称此元素与下一层次存在完全层次关系；如果某元素仅与相邻下一层次的局部元素有关系，那么称为不完全层次关系。实际中，模型的层次不宜过多，每层元素一般不宜超过9个。目的：防止模型中存在过多元素而使主观判断比较有困难。2.层次元素排序的特征向量法构建了层次结构模型，决策就转化为待评方案〔最低层〕关于具有层次结构的目标准那么体系的排序问题。AHP方法采用优先权重作为区分方案的优劣程度的指标，优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣程度，数值介于0－1之间，数值越大，方案越优，反之越劣。方案层各方案关于目标准那么体系整体的优先权重，是通过递阶层次从下到上逐层计算的。这一过程称为递阶层次权重解析过程。递阶层次权重解析过程(1)测算每一层次关于上一层次某元素的优先权重〔相邻两层次间的权重解析〕方法： 构造判断矩阵； 计算判断矩阵的最大特征值和特征向量； 以特征向量各分量表示该层次元素的优先权重〔？〕，得到层次单排序。(2)进行组合加权，得到该层次元素对于相邻上一层次整体的组合优先权重—层次总排序(3)最后计算得到方案层各方案关于目标准那么体系整体的优先权重。物体测重问题 设有m个物体，其重量分别为W1,W2,…,Wm〔未知〕，为测出各物体的重量，现将每一物体的重量与其它物体的重量作两两比较，其重量比值构成了一个m阶方阵A物体测重问题 记各物体重量组成的向量〔未知〕为 W＝(W1,W2,…,Wm)T有：由线性代数知：m是A的最大特征值，W是矩阵A属于特征值m的特征向量。物体测重问题的启示假设一组物体无法直接测出其重量，但可以通过两两比较判断，得到每对物体相对重量的判断值，那么可构造判断矩阵(A),求解判断矩阵的最大特征值和向量对应的特征向量，就可以得到这组物体的相对重量。类似地，对于社会、经济和管理领域的决策问题，可以通过建立层次结构模型，在相邻两层次之间构造两两元素比较的判断矩阵，用特征向量法求出层次单排序，最终完成递阶层次解析过程。物体测重问题的启示从对物体测重问题的分析中可以看出，判断矩阵A的元素aij＞0

(i,j=1,2,…,m)，且满足以下条件：

aii=1,i=1,2,…,m

aij=1/aji,i,j=1,2,…,m

aij=aik/ajk

,

i,j,k=1,2,…,m

满足条件①~③的矩阵A称为互反的一致性正矩阵。3.互反正矩阵与一致性矩阵定义1：设有矩阵A＝(aij)m×m〔1〕假设aij≥0(i,j=1,2,…,m)，那么称A为非负矩阵，记作A≥0；〔2〕假设aij＞0(i,j=1,2,…,m)，那么称A为正矩阵，记作A＞0。定义2：设有m维列向量X＝(x1,x2,…,xm)T〔1〕假设xj≥0(j=1,2,…,m)，那么称X为非负向量，记作X≥0；〔2〕假设xj＞0(j=1,2,…,m)，那么称X为正向量，记作X＞0。3.互反正矩阵与一致性矩阵定理1：设有矩阵A＝(aij)m×m＞0，那么：〔1〕A有最大特征值λmax，且λmax是单根，其余特征值的模均小于λmax；〔2〕A的属于λmax的特征向量X＞0；〔3〕λmax由下面的等式给出：其中：3.互反正矩阵与一致性矩阵定义3：设有矩阵A＝(aij)m×m＞0，假设A满足：〔1〕aii=1,i=1,2,…,m〔2〕aij=1/aji,i,j=1,2,…,m 那么称A为互反正矩阵。定义4：设有矩阵A＝(aij)m×m＞0，假设A满足： aij=aik/ajk,i,j,k=1,2,…,m 那么称A为一致性矩阵。一致性矩阵的性质一致性正矩阵是互反正矩阵；假设A是一致性矩阵，那么A的转置矩阵AT也是一致性矩阵；A的每一行均为任意指定一行的正整数倍；A的最大特征值λmax＝m，其余特征值为0；假设A的属于特征值λmax的特征向量为： X＝(x1,x2,…,xm)T 那么：aij=xi/xj,i,j=1,2,…,m互反正矩阵的性质 一致性正矩阵是互反正矩阵，反之，互反正正矩阵不一定是一致性矩阵。定理2：设A＝(aij)m×m是互反正矩阵，λmax是A的最大特征值，那么λmax≥m。定理3：设A＝(aij)m×m是互反正矩阵，λ1，λ2，…，λm是A的特征值，那么：定理4：互反正矩阵A是一致性矩阵的充要条件是：

λmax＝m6.5.2判断矩阵1.判断矩阵的构造设m个元素(方案或目标)对某一准那么存在相对重要性，根据特定的标度法那么，第i个元素(i＝1，2，…，n)与其它元素两两比较判断，其相对重要程度为aij(i,j＝1,2,…,n),这样构造的m阶矩阵用以求解各元素关于某准那么的优先权重，称为权重解析判断矩阵，简称判断矩阵，记作A=(aij)m×m构造判断矩阵的关键，在于设计一种特定的比较判断两元素相对重要程度的标度法那么，使得任意两元素相对重要程度有一定的数量标准。1—9标度方法标度定义含义1同样重要两元素对某属性，一元素比另一元素同样重要3稍微重要两元素对某属性，一元素比另一元素稍微重要5明显重要两元素对某属性，一元素比另一元素明显重要7强烈重要两元素对某属性，一元素比另一元素强烈重要9极端重要两元素对某属性，一元素比另一元素极端重要2、4、6、8相邻标度中值表示相邻两标度之间折中时的标度上列标度倒数反比较元素i对元素j的标度为aij，元素j对元素i的标度为1/aij2.判断矩阵的一致性检验1—9标度方法构造的判断矩阵A一定是互反正矩阵；但A不一定是一致性矩阵，实际中，很难构造出具有完全一致性的矩阵；只有判断矩阵A具有完全的一致性时，才有唯一非零的最大特征值，其余特征值为0，层次单排序才能归结为判断矩阵A的最大特征值及其特征向量，才能用特征向量的各分量表示优先权重。实际中，我们希望判断矩阵具有满意的一致性，这样计算出的层次单排序结果才合理。2.判断矩阵的一致性检验判断矩阵A是互反正矩阵，故λmax≥m；当A是一致性矩阵时：λmax＝m，且其余的特征值为0；A具有满意的一致性：λmax略大于m，其余的特征值接近于0；设λ1，λ2，…，λm是A的全部特征值，那么： λ1＋λ2＋…＋λm＝tr(A)=m设λ1=λmax，那么：2.判断矩阵的一致性检验一般来说，C.I

越大，偏离一致性越大，反之，偏离一致性越小。此外，判断矩阵的阶数m越大，判断的主观因素造成的偏差越大，偏离一致性也就越大。反之，偏离一致性越小。当阶数m≤2时，C.I=0，判断矩阵具有完全的一致性。〔1〕判断矩阵的一致性指标2.判断矩阵的一致性检验〔2〕平均随机一致性指标R.I：是足够多个根据随机发生的判断矩阵计算的一致性指标的平均值〔表6.15〕。〔3〕一致性比率C.R=C.I/R.I用一致性比率C.R检验判断矩阵的一致性，当C.R越小时，判断矩阵的一致性越好。一般认为，当C.R≤0.1时，判断矩阵符合满意的一致性标准，层次单排序的结果是可以接受的，否那么，需要修正判断矩阵，直到检验通过。判断矩阵一致性检验的步骤〔2〕查表6.15得到平均随机一致性指标R.I〔3〕计算一致性比率C.R=C.I/R.I 假设C.R≤0.1，接受判断矩阵； 否那么，修改判断矩阵。〔1〕求出判断矩阵的一致性指标C.I3.判断矩阵的求解构造了判断矩阵，就要求解出判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，才能进行一致性检验。由于判断矩阵是决策者主观判断的定量描述〔不精确〕，因此在求解时可采用简化计算的方法，求出近似解即可。简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。3.判断矩阵的求解1、和法——取列向量的算术平均将判断矩阵A的元素按列作归一化处理，得矩阵Q=(qij)m×m将Q的元素按行相加，得到向量α＝(α1,α2,…,αm)T

〔三〕判断矩阵的求解1、和法——取列向量的算术平均对向量α作归一化处理得特征向量W＝(w1,w2,…,wm)T

求最大特征值

②③即对矩阵Q各行求算术平均得特征向量W。列向量归一化行算术平均精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010一致性检验：C.I＝0.005，R.I＝0.52，C.R＝0.01＜0.13.判断矩阵的求解2、根法——取列向量的几何平均计算判断矩阵A的每一行元素之积计算Mi的m次方根得到向量α＝(α1,α2,…,αm)T

〔三〕判断矩阵的求解2、根法——取列向量的几何平均对向量α作归一化处理得特征向量W＝(w1,w2,…,wm)T

求最大特征值

每行元素之积归一化一致性检验：C.I＝0.0055，R.I＝0.52，C.R＝0.011＜0.1三次方根3.判断矩阵的求解3、幂法——逐步迭代的方法 经过假设干次迭代计算，按照规定的精度，求出判断矩阵A的最大特征值及其对应的特征向量。幂法是依据下面的定理提出的。定理：设矩阵A＝(aij)m×m>0，那么：其中：W是A的最大特征值对应的特征向量，C为常数，向量e＝(1,1,…,1)T3、幂法——步骤1〕任取初始正向量W(0),k=0，设置精度2〕计算3〕归一化5〕计算4〕假设3.判断矩阵的求解停止；否那么，k=k+1,转2〕3.判断矩阵的求解 为了克服随着判断矩阵阶数的增加而产生精确求解最大特征值的困难，还可其他近似方法确定方案的权重。问题：对一致阵A＝(aij)m×m>0,其权向量为W=(w1,…,wm)T，那么应有：aij=wi/wj 实际中A不一定是一致阵,对于正互反矩阵，在求解权向量时，应选权向量W使wi/wj与aij相差尽量小〔对所有i，j〕。3.判断矩阵的求解最小二乘法〔LSM〕：对正互反矩阵，通过以下最优化问题导出排序向量的方法称为最小二乘法。这是一个非线性规划问题。3.判断矩阵的求解对数最小二乘法〔LLSM〕：对正互反矩阵，通过以下最优化问题导出的排序向量的方法称为对数最小二乘法。目标函数关于lnwi是线性的，该方法结果与根法相同。3.判断矩阵的求解梯度特征向量法〔GEM〕：设正互反判断矩阵为A，其伪〔拟〕互反矩阵为由下面的递推公式导出排序向量的方法称为梯度特征向量法。其中：3.判断矩阵的求解最小偏差法〔LDM〕：对正互反矩阵，由以下最优化问题导出的排序向量的方法称为最小偏差法。F(w)有唯一的极小点w*，且w*是以下方程组的唯一解：3.判断矩阵的求解目标规划法(LGP)：目标规划法是由Brynon

提出的，Brynon考虑了人们认识的差异性，通过引进正、负偏差变量，建立判断矩阵的元素与权重的关系：3.判断矩阵的求解目标规划法(LGP)

通过求解下面优化模型，确定方案的权重。递阶层次结构权重解析过程 讨论用AHP方法对一般非序列型目标准那么体系问题进行决策。G总目标n层子目标准那么层方案层递阶层次结构权重解析过程递阶权重解析：AHP方法的目的，在于求出各方案对总目标G的优先权重，求解过程从上到下，在相邻层次之间逐层进行，故称为递阶权重解析。注意：不完全层次关系 如：方案ai与准那么cj不存在关系，构造方案层对准那么cj的判断矩阵时，应将方案ai除外，得到m－1阶矩阵，解得m－1维特征向量，再将方案ai关于准那么cj的权重0补进去，得到m维特征向量。完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联不完全层次结构第3层对第2层权向量：w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T贡献O教学C1科研C2P2

P1P3P4例:评价教师奉献的层次结构P1,P2只作教学,P4只作科研,P3兼作教学、科研。C1,C2支配元素的数目不等递阶层次结构权重解析过程1.递阶权重解析公式首先，讨论相邻两层次间的权重解析。 设已计算第k-1层子目标关于总目标G的组合优先权重向量为： W(k-1)=(w1(k-1),w2(k-1),…,wnk-1(k-1))T 第k层子目标的个元素对以第k-1层的第j个元素为准那么的优先权重向量为： Pj(k)=(p1j(k),p2j(k),…,pnkj(k))T令： P(k)=(p1(k),p2(k),…,pnk-1(k))T P(k)是第k层子目标nk个元素关于第k-1层nk-1个元素的优先权重向量构成的nk×nk-1矩阵。递阶层次结构权重解析过程1.递阶权重解析公式首先，讨论相邻两层次间的权重解析。 那么第k层子目标关于总目标G的组合优先权重向量为： W(k)=(w1(k),w2(k),…,wnk(k))T 其中：递阶层次结构权重解析过程1.递阶权重解析公式其次，用公式将递阶权重解析过程表示出来，给出方案层关于总目标G的优先权重向量。W

(1)：表示第一层子目标关于总目标G的优先权重向量；P(k)=(p1(k)

,p2(k)

,

…,pnk-1(k))T

：表示第k层子目标 关于第k-1层各元素的优先权重向量，k=2,…,n；递阶层次结构权重解析过程P(c)=(p1(c),p2(c),…,ps(c))T：表示准那么层s个准那么 关于第n层nn个子目标的优先权重向量；P(a)=(p1(a),p2(a),…,ps(a))T：表示方案层m个方 案关于准那么层s个准那么的优先权重向量；最后，计算方案层各方案关于总目标G的优

先权重

。这个优先权重记为： W(a)=(w1(a),w2(a),…,wm(a))T计算公式为：递阶层次结构权重解析过程2.AHP方法的根本步骤〔总结〕建立层次结构模型 将目标准那么体系所包含的因素划分为不同层次，如目标层、准那么层、方案层等，构建递阶层次结构模型。构造判断矩阵 按照层次结构模型，从上到下逐层构造判断矩阵。层次单排序及其一致性检验 根据实际情况，用不同方法求解判断矩阵最大特征值相对应的特征向量，经过归一化处理，即得层次单排序权重向量。2.AHP方法的根本步骤〔总结〕层次总排序及其一致性检验

层次总排序是从上到下逐层进行的。在实际计算中，一般按表格形式计算较为简便。

层次A层次BA1

A2…Am层次B总排序权值w1

w2…wmB1b11

b12…b1mB2b21

b22…b2m┇┇┇┇┇┇Bnbn1

bn2…bnm权重2.AHP方法的根本步骤〔总结〕4.层次总排序及其一致性检验

层次总排序检验的一致性指标，平均随机一致性指标和一致性比率指标分别是：3.AHP方法应用实例例6.14某市中心有一座商场，由于街道狭窄，人员车辆流量过大，经常造成交通堵塞。市政府决定解决这个问题．经过有关专家会商研究，制定出三个可行方案：

a1：在商场附近修建一座环形天桥；

a2：在商场附近修建地下人行通道；

a3：搬迁商场。决策的总目标是改善市中心交通环境。〔三〕AHP方法应用实例 专家组拟定5个子目标作为对可行方案的评价准那么： C1：通车能力； C2：方便群众； C3：基建费用不宜过高； C4：交通平安； C5：市容美观。 试对该市改善市中心交通环境问题作出决策分析。例6.14改善交通环境天桥a1地道a2搬迁a3通车能力C1方便群众C2基建费用C3交通安全C4市容美观C5图6.16层次结构模型解：(1)建立层次结构模型；例6.14(2)以总目标为准那么，构造判断矩阵计算判断矩阵的最大特征值λmax=5.206及对应的特征向量w=(0.461,0.195,0.091,0.195,0.059)T,计算C.R＝0.046<0.1,例6.14同理以C1，C2，C3，C4，C5为准那么构造判断矩阵，并计算其最大特征值及对应的特征向量。例5-2〔3〕层次总排序及一致性检验注意:如果去掉C5与a3的连线，在准那么C5下的判断矩阵是2×2阶，计算最大特征值对应的特征向量是二维的，此时应在对应的位置添加零，使得其变为三维向量。改善交通环境天桥a1地道a2搬迁a3通车能力C1方便群众C2基建费用C3交通安全C4市容美观C5§6.6DEA方法 在社会、经济和管理领域中，常常需要对具有相同类型的部门、企业或者同一企业不同时期的相对效率进行评价。决策单元—待评价的部门、企业或时期。评价的依据—是决策单元的一组投入指标数据和一组产出指标数据。投入指标—是指决策单元在社会、经济和管理活动中需要消耗的经济量。产出指标—是指决策单元在某种投入要素组合下，说明经济活动产生成效的经济量。§6.6

DEA方法常见的投入指标：固定资产原值、流动资金平均余额、自筹技术开发资金、职工人数、占用土地等。 常见的产出指标：总产值、销售收人、利税总额、产品数量、劳动生产率、产值利润率等。问题：如何根据投入指标数据和产出指标数据评价决策单元的相对效率，即评价部门、企业或时期之间的相对有效性？§6.6

DEA方法常见的投入指标：固定资产原值、流动资金平均余额、自筹技术开发资金、职工人数、占用土地等。DEA〔DataEnvelopmentAnalysis〕方法又称为数据包络分析方法，是对多指标投入和多指标产出的相同类型部门，进行相对有效性综合评价的一种新方法，也是研究多投入多产出生产函数的有力工具。DEA方法就是根据输入数据和输出数据来评价决策单元的优劣，即所谓评价部门〔或单位〕间的相对有效性的方法。§6.6

DEA方法DEA模型1.DEA模型概述DEA方法是美国著名运筹学家查思斯和库伯教授于1978年首先提出的，适用于多指标投入和多指标产出决策单元的相对有效性评价，以相对效率概念为根底。在国外，该方法已经成功地应用于银行、城市、医院、学校及军事工程等方面效率评价，在对相互之间存在剧烈竞争的私营企业和公司的效率评价中，也有巨大的优越性。§6.6

DEA方法DEA模型1.DEA模型概述DEA模型特点：以最优化为工具，以多指标投入和多指标产出的权系数为决策变量，在最优化的意义上进行评价，防止了在统计平均意义上确定指标权系数，具有内在的客观性。不需要确定投入和产出之间关系的具体形式，具有黑箱类型研究方法的特色。2.C2R模型及其根本性质 设有n个部门或企业〔决策单元〕，每个决策单元都有m种投入和p种产出。xij：第j个决策单元第i种投入指标的投入量，xij>0，是数据；yrj：第j个决策单元第r种产出指标的产出量，yrj>0，是数据；vi：第i种投入指标的权系数(待定)，vi≥0；ur：第r种产出指标的权系数(待定)，ur≥0； i=1，2，…，m；j=1，2，…，n r=1，2，…，p2.C2R模型及其根本性质投入产出决策单元2.C2R模型及其根本性质对每个决策单元，都定义一个效率评价指标hj表示第j个决策单元所取得的经济效率，可以适中选择权系数，使得hj≤1。其中：u=(u1,u2,…,up)T,v=(v1,v2,…,vm)T,

xj=(x1j,x2j,…,xmj)T,yj=(y1j,y2j,…,yrj)T2.C2R模型及其根本性质设第j0个决策单元的投入和产出向量分别为：

xj0=(x1j0,x2j0,…,xmj0)T,yj0=(y1j0,y2j0,…,yrj0)T效率指标h0=hj0评价第j0个决策单元有效性〔相对于其它决策单元而言〕的模型为：称为CCR模型〔C2R〕2.C2R模型及其根本性质是一个分式规划，令t=1/vTx0，ω=tv,μ=tu，那么可化为一个等价的线性规划问题：2.C2R模型及其根本性质

线性规划(P)的对偶问题为：其中：s-

=(s1-,s2-,…,sm-)T,s+=(s1+,s2+,…,sm+)T,

为松驰变量向量。3.决策单元的DEA有效性定义6.6：假设线性规划(P)的最优解ω0,μ0满足： VP＝(μ0)Ty0＝1那么称决策单元j0为弱DEA有效。定义6.7：假设线性规划(P)的最优解ω0,μ0满足： VP＝(μ0)Ty0＝1，且ω0＞0，μ0＞0那么称决策单元j0为DEA有效。决策单元j0为DEA有效的含义：指决策单元j0相对于其它决策单元，其效率评价指标取得最优值，即在多指标投入和多指标产出的情况下，取得了最正确经济效率。C2R模型的根本性质定理6.6：假设线性规划(P)及其对偶问题(D)都有可行解，那么(P)和(D)都有最优解，且最优值 VP＝VD≤1 因此，也可利用对偶规划判定决策单元的DEA有效性。定理6.7：关于对偶规划(D)有：(1)假设(D)的最优值VD＝1，那么决策单元j0为弱DEA有效。(2)假设(D)的最优值VD＝1，且每个最优解λ0=(λ10,λ20,…,λn0)T,s0+，s0-,θ0都满足s0+＝s0-=0，那么决策单元j0为DEA有效。C2R模型的根本性质 实际中，评价系统的投入、产出指标均有不同的量纲。定理6.8：决策单元的最优效率指标VP与投入指标xij及产出指标yrj的量纲选取无关。 实际应用中，无论利用线性规划(P)根据定义1、2，或利用对偶规划(D)根据定理2判定决策单元是否DEA有效都不是容易的。 为使判定决策单元是否DEA有效更简便、实用，查思斯和库伯引用了非阿基米德无穷小ε，带有ε的C2R模型能用单纯形法求解。带有ε的C2R模型其中：〔Pε〕的对偶规划为决策单元的DEA有效性 利用带有ε的C2R模型Dε，容易判断决策单元的DEA有效性。定理6.9：设ε为非阿基米德无穷小，线性规划Dε的最为优解λ0,s0+，s0-,θ0，有：(1)假设θ0＝1，那么决策单元j0为弱DEA有效。(2)假设θ0＝1，且s0+＝s0-=0，那么决策单元j0为DEA有效。 利用模型Dε一次计算即可判定决策单元是否DEA有效，实际操作中，只要取ε足够小就可以了。例6.15 设有4个决策单元，2个投入指标和1个产出指标的评价系统，其数据如以下图所示。试写出评价每个决策单元相对效率的C2R模型并判定其DEA有效性。产出决策单元例6.15解 评价第1个决策单元相 对效率C2R模型的线性 规划〔P〕，对偶规划 〔D〕分别为解得：故决策单元1为DEA有效。例6.15解 评价第2个决策单元相 对效率C2R模型的线性 规划和对偶规划分别 为：

解得：故决策单元2为DEA有效。例6.15解 评价第3个决策单元相 对效率C2R模型的线性 规划和对偶规划分别 为：

解得：故决策单元3不是弱DEA有效。例6.15解 评价第4个决策单元相 对效率C2R模型的线性 规划和对偶规划分别 为：

解得：故决策单元4不是弱DEA有效。4.DEA有效决策单元的构造定义6.8：设λ0，s0-,s0+,θ0是对偶问题(Dε)的最优解。令：

称为决策单元j0对应的(x0,y0)在DEA的相对有效面上的投影。定理6.10：设为决策单元j0对应的(x0,y0)在DEA的相对有效面上的投影。则新决策单元相对于原来的n个决策单元来说，是DEA有效的。

例6.15解决策单元2、4均不是DEA有效的决策单元2对应的对偶线性规划〔D2〕的解为构造新的决策单元：新决策单元相对于原有的4个决策单元是DEA有效的。例6.15解决策单元2、4均不是DEA有效的决策单元4对应的对偶线性规划〔D4〕的解为构造新的决策单元：新决策单元相对于原有的4个决策单元是DEA有效的。§6.6DEA方法

DEA有效性的经济意义1．生产函数和生产可能集

生产函数:

y=f(x)表示理想的生产状态，即(在单投入和单产出的情况下)投入量x所能获得的最大产出量y。技术有效：当企业用现有的投入无法得到更大的产出，或无法以更少的