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文档简介

第一节导数的概念一、导数概念的引出本节要点二、导数的定义三、函数的可导性和连续性的关系某一时刻的速度为平均速度的极限.一、导数概念的引出

引例1速度问题

在第一章中,我们知道,非匀速的直线运动中质点在从而质点在时刻时的瞬时速度为

，则在时间段中的平均速度为即：若位移函数为

引例2曲线的切线问题

设

M

的坐标为，N的坐时,如果割线

MN

趋向某一极限位置MT

时,MT

称为曲线

C

在点

M

处的切线.另取一点N,作割线MN，

设曲线C，方程，M为曲线上的点,标为，则割线

MN

的斜率为当N

沿曲线C趋向于点M则直线在C上

在上面的两个例中,我们看到两个不同的问题,最终当时,如果上式的极限存在,记其为

k，即即,k

为曲线

C

在点

M

处的切线斜率.均归结为同一个极限形式若记分别称为自变量的增量和函数的增量,或从而上式可写成二、导数的定义1．函数在一点的导数与导函数数,定义设函数

在点的某个邻域内有定义,在比当时的极限存在,记为，即

点处，若函数的增量与自变量的增量之则称函数在处可导,并称这个极限为函数在点处的导注(1)函数在点处的导数的记号:处不可导.(2)如果上式中的极限不存在,则称函数

在点(3)导数的几何意义

由引例知道:若平面曲线C

的方程为，点因而相应的切线方程为法线方程为

在曲线C

上,且函数在处可导，则曲线在点处的切线斜率为切线法线(4)如果函数

在区间

I

内的每一点可导,则称函数在区间

I

内可导;区间

I

内的可导函数的全体所构成的集合记为内的导函数,记为

容易知道(5)如果函数

在区间

I

内可导,由此定义了区间I

内的一个新的函数,称其为函数在区间I2．求导举例解例1求函数（C

为常数）的导数.即，常数的导数为0.例2求幂函数的导数.解当为正整数时，由二项展开式，得当为任意实数时,故注意到时，解因为即例3求的导数.所以同样可以证明解即例4求指数函数

的导数.特别地,当时，有即例5求曲线上平行于直线的切线解设切点为则斜率为已知直线平行,得斜率方程.从而切线方程为又切线与由此得例6设函数在点的导数为A，求极限解因为函数在点处可导,故所以3．单侧导数是否存在，

在第一目中,我们看到,函数在处是否可导,依赖于极限并相等.由此得到左右导数的概念.而极限存在的充分必要条件是左右极限存在定义，且极限

设函数

在

的某个右邻域中有记为即存在，则称这个极限为函数在处的左导数,处的左右导数存在并相等.类似可定义函数

在

处的右导数

:定理函数在处可导函数在因故不存在.解注意到在

处的导数.例7求函数导数.解因为所以在处的例8求函数的连续性和可导性.例9讨论函数在处解注意到所以又即不存在，在处连续.三、函数的可导性与连续性的关系存在,因此连续

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