中考数学全面突破：题型7　综合实践题

题型7综合实践题eq\x(题型解读)此类题考查形式多样，但都与实际问题结合，且解决实际问题时一般会用到前面的结论，解题时要多结合前面的问题，大胆猜想．综合性较强，入手简单，但要得满分较难，此类题型是今后中考命题的方向，应引起重视．1.如图①，△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D.(1)求证：eq\f(BC,AB)＝eq\f(EF,DE)；(2)由(1)中的结论可知，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边(即底边BC)与邻边(即腰AB或AC)的比值也就确定，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)＝eq\f(∠A的对边（底边）,∠A的邻边（腰）)＝eq\f(BC,AB).如T(60°)＝1.①理解巩固：T(90°)＝________，T(120°)＝________，若α是等腰三角形的顶角，则T(α)的取值范围是________；②学以致用：如图②，圆锥的母线长为9，底面直径PQ＝8，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到0.1)．(参考数据：T(160°)≈1.97，T(80°)≈1.29，T(40°)≈0.68)2.(1)如图①，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，请你完成图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，并证明：BE＝CD；(2)如图②，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；(3)运用(1)，(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图③，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的长(结果保留根号)．3.问题：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图①证明上述结论．【类比引申】如图②，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足__________关系时，仍有EF＝BE＋FD.【探究应用】如图③，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40(eq\r(3)－1)米，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求这条道路EF的长．(结果取整数，参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)4.理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点D，使BD＝BA，连接AD.图①设AC＝1，则BD＝BA＝2，BC＝eq\r(3).tanD＝tan15°＝eq\f(1,2＋\r(3))＝eq\f(2－\r(3),（2＋\r(3)）（2－\r(3)）)＝2－eq\r(3).思路二利用科普书上的和(差)角正切公式：tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).假设α＝60°，β＝45°代入差角正切公式：tan15°＝tan(60°－45°)＝eq\f(tan60°－tan45°,1＋tan60°tan45°)＝eq\f(\r(3)－1,1＋\r(3))＝2－eq\r(3).思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…思路四…请解决下列问题(上述思路仅供参考)．(1)类比：求出tan75°的值；(2)应用：如图②，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，则得A、C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角(∠CAD)为45°，求这座电视塔CD的高度；(3)拓展：如图③，直线y＝eq\f(1,2)x－1与双曲线y＝eq\f(4,x)交于A、B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．图②图③备用图5.【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“eq\r()”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1.【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么规律？【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程：也可用图象描述：如图①，在x轴上表示出x1，先在直线y＝kx＋b上确定点(x1，y1)，再在直线y＝x上确定纵坐标为y1的点(x2，y1)，然后在x轴上确定对应的数x2，…，依次类推．【解决问题】研究输入实数x1时，随着运算次数n的不断增加，运算结果xn怎样变化．(1)若k＝2，b＝－4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；(2)若k>1，又得到什么结论？请说明理由；(3)①若k＝－eq\f(2,3)，b＝2，已在x轴上表示出x1(如图②所示)，请在x轴上表示x2，x3，x4，并写出研究结论；②若输入实数x1时，运算结果xn互不相等，且越来越接近常数m，直接写出k的取值范围及m的值(用含k，b的代数式表示)．6.问题提出(1)如图①，已知△ABC.请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2.是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决(3)如图③，有一矩形板材ABCD，AB＝3米，AD＝6米．现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG＝90°，EF＝FG＝eq\r(5)米，∠EHG＝45°.经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件．试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．1.(1)证明：∵AB＝AC，DE＝DF，∴eq\f(AB,DE)＝eq\f(AC,DF)，又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，∴eq\f(BC,EF)＝eq\f(AB,DE)，∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(EF,DE).(2)解：①eq\r(2)，eq\r(3)，0<T(α)<2.【解法提示】①如解图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝∠C＝45°，∴设AB＝AC＝x，由勾股定理得BC＝eq\r(2)x，∴T(90°)＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(\r(2)x,x)＝eq\r(2)；第1题解图①第1题解图②如解图②，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，过点A作AD⊥BC，∴∠BAD＝60°，BD＝eq\f(1,2)BC，设AD＝y，在Rt△ABD中，∠BAD＝60°，∴BD＝AD·tan60°＝eq\r(3)y，AB＝2AD＝2y，∴BC＝2BD＝2eq\r(3)y，∴T(120°)＝eq\f(2\r(3)y,2y)＝eq\r(3)；∵∠A<180°，当∠A＝180°时，此时AB＝AC＝eq\f(1,2)BC即T(A)＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(BC,\f(1,2)BC)＝2，∵要构成三角形，∴T(A)<2，∵T(A)＞0，∴0<T(α)<2.第1题解图②如解图，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵圆锥的底面圆周长＝圆锥展开图扇形的弧长，即2πr＝eq\f(nπl,180)，∴eq\f(r,l)＝eq\f(n,360)，∵r＝4，l＝9，∴n＝160.∵T(80°)≈1.29，∴蚂蚁爬行的最短距离＝T(80°)×l≈1.29×9≈11.6.2.解：(1)作图如解图①，第2题解图①证明：∵△ABD和△ACE为等边三角形，则AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，又∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE＝CD.(2)BE＝CD.理由如下：∵四边形ABFD和四边形ACGE为正方形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝90°，又∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE＝CD.(3)如解图②，以AB为边，作等腰直角三角形ABD，∠BAD＝90°，第2题解图②则AD＝AB＝100米，∠ABD＝45°，∴BD＝100eq\r(2)米，连接CD，则由(2)可得，BE＝CD，∵∠ABC＝45°，∴∠DBC＝90°，在Rt△DBC中，BC＝100米，BD＝100eq\r(2)米，由勾股定理得CD＝eq\r(1002＋（100\r(2)）2)＝100eq\r(3)米，则BE＝CD＝100eq\r(3)米．3.【发现证明】证明：如解图①，将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADG，则AB与AD重合，第3题解图①∴∠BAE＝∠DAG，∠B＝∠ADG，BE＝GD，AE＝AG，∴∠GAF＝∠DAF＋∠GAD＝∠BAE＋∠DAF＝45°，在正方形ABCD中，∠B＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＋∠ADF＝180°，即G、D、F在一条直线上，∵∠EAF＝45°，在△EAF和△GAF中，AE＝AG，∠EAF＝∠GAF＝45°，AF＝AF，∴△EAF≌△GAF(SAS)，∴EF＝GF，∴EF＝FG＝FD＋DG＝FD＋BE.【类比引申】∠EAF＝eq\f(1,2)∠BAD.【解法提示】如解图②，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM，在△ABM和△ADF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD,∠ABM＝∠D,BM＝DF))，第3题解图②∴△ABM≌△ADF(SAS)，∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF＋∠BAE＝∠EAF＝eq\f(1,2)∠BAD，∴∠EAB＋∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，在△FAE和△MAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AE,∠FAE＝∠MAE,AF＝AM))，∴△FAE≌△MAE(SAS)，∴EF＝EM，又∵EM＝BE＋BM＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.【探究应用】解：如解图③，连接AF，延长BA、CD交于点O，∵∠BAD＝150°，∠ADC＝120°，∴∠OAD＝30°，∠ODA＝60°，∴△OAD是直角三角形．∵AD＝80，∴AO＝40eq\r(3)，OD＝40，∵OF＝OD＋DF＝40＋40(eq\r(3)－1)＝40eq\r(3)，∴AO＝OF，第3题解图③∴∠OAF＝45°，∵∠OAD＝30°，∴∠DAF＝15°，∵∠EAD＝90°，∴∠EAF＝∠EAD－∠DAF＝75°＝eq\f(1,2)∠BAD，又∠B＋∠ADC＝180°，由(2)知EF＝BE＋DF.∠BAE＝∠BAD－∠EAD＝150°－90°＝60°＝∠B，∴△ABE为等边三角形，∴BE＝AB＝80，∴EF＝BE＋DF＝80＋40(eq\r(3)－1)≈109(米)．4.解：(1)如解图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点D，使BD＝BA，连接AD.第4题解图①设AC＝1，则BD＝BA＝2，BC＝eq\r(3)，tan∠DAC＝tan75°＝eq\f(DC,AC)＝eq\f(BD＋BC,AC)＝eq\f(2＋\r(3),1)＝2＋eq\r(3).【一题多解】tan75°＝tan(45°＋30°)＝eq\f(tan45°＋tan30°,1－tan45°·tan30°)＝eq\f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝eq\f(3＋\r(3),3－\r(3))＝2＋eq\r(3).第4题解图②(2)如解图②，在Rt△ABC中，AB＝eq\r(AC2－BC2)＝eq\r(602－302)＝30eq\r(3)，sin∠BAC＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(30,60)＝eq\f(1,2)，即∠BAC＝30°，∵∠DAC＝45°，∴∠DAB＝45°＋30°＝75°.在Rt△ABD中，tan∠DAB＝eq\f(DB,AB)＝2＋eq\r(3)，∴DB＝AB·tan∠DAB＝30eq\r(3)·(2＋eq\r(3))＝60eq\r(3)＋90，∴DC＝DB－BC＝60eq\r(3)＋90－30＝60eq\r(3)＋60.(米)答：这座电视塔CD的高度为(60eq\r(3)＋60)米.第4题解图③(3)直线AB能与双曲线相交，点P的坐标为(－1，－4)或(eq\f(4,3)，3)，理由如下：若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P1、P2，如解图③，过点C作CD∥x轴，过点P1作P1E⊥CD于点E，过点A作AF⊥CD于点F.解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x－1,y＝\f(4,x)))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝1))，或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2,y＝－2))，∴点A(4，1)，点B(－2，－2)．对于y＝eq\f(1,2)x－1，当x＝0时，y＝－1，则C(0，－1)，OC＝1，∴CF＝4，AF＝1－(－1)＝2，∴tan∠ACF＝eq\f(AF,CF)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，∴tan∠P1CE＝tan(∠ACP1＋∠ACF)＝tan(45°＋∠ACF)＝eq\f(tan45°＋tan∠ACF,1－tan45°·tan∠ACF)＝eq\f(1＋\f(1,2),1－\f(1,2))＝3，即eq\f(P1E,CE)＝3.设点P的坐标为(a，b)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＝4,\f(b＋1,a)＝3))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝－4))，或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(4,3),b＝3))，∴点P的坐标为(－1，－4)或(eq\f(4,3)，3)；(ii)若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G，如解图④.由(i)可知∠ACP＝45°，P(eq\f(4,3)，3)，则CP⊥CG.过点P作PH⊥y轴于H，则∠GOC＝∠CHP＝90°，∠GCO＝90°－∠HCP＝∠CPH，第4题解图④∴△GOC∽△CHP，∴eq\f(GO,CH)＝eq\f(OC,HP).∵CH＝3－(－1)＝4，PH＝eq\f(4,3)，OC＝1，∴eq\f(GO,4)＝eq\f(1,\f(4,3))＝eq\f(3,4)，∴GO＝3，G(－3，0)．设直线CG的解析式为y＝kx＋b，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3k＋b＝0,b＝－1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,3),b＝－1))，∴直线CG的解析式为y＝－eq\f(1,3)x－1.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,3)x－1,y＝\f(4,x)))，消去y，得eq\f(4,x)＝－eq\f(1,3)x－1，整理得x2＋3x＋12＝0，∵b2－4ac＝32－4×1×12＝－39<0，∴方程没有实数根，∴直线绕点C顺时针旋转45°，与双曲线无交点．(综上所述，直线AB绕点C逆时针旋转45°后，能与双曲线相交，交点P的坐标为(－1，－4)或(eq\f(4,3)，3)．5.解：(1)若k＝2,b＝－4，①x1＝3时，x2＝2×3－4＝2，x3＝2×2－4＝0，x4＝2×0－4＝－4，x5＝2×(－4)－4＝－12；②x1＝4时，x2＝2×4－4＝4，x3＝2×4－4＝4，x4＝2×4－4＝4，x5＝2×4－4＝4；③x1＝5时，x2＝2×5－4＝6，x3＝2×6－4＝8，x4＝2×8－4＝12，x5＝2×12－4＝20，由上面的特殊值可得，y＝2x－4与y＝x交点的横坐标为4，所以当输入的值x>4时，xn的值会随着运算次数的增大而增大；当输入的值x＝4时，xn的值不变；当输入的值x<4时，xn的值会随着运算次数的增大而减小．(2)当k>1时，y＝kx＋b与y＝x的交点坐标横坐标为x＝－eq\f(b,k－1)，所以当输入的值x>－eq\f(b,k－1)时，xn的值会随着运算次数的增大而增大；当输入的值x＝－eq\f(b,k－1)时，xn的值不变；当输入的值x<－eq\f(b,k－1)时，xn的值会随着运算次数的增大而减小．理由如下：直线y＝kx＋b与直线y＝x的交点坐标为(eq\f(b,1－k)，eq\f(b,1－k))，当x＞eq\f(b,1－k)时，对于同一个x的值，kx＋b＞x，∴y1＞x1，∵y1＝x2，∴x1＜x2，同理x2＜x3＜…＜xn，∴当x1＞eq\f(b,1－k)时，随着运算次数n的增加，xn越来越大，同理，当x1＜eq\f(b,1－k)时，随着运算次数n的增加，xn越来越小，当x＝eq\f(b,1－k)时，随着运算次数n的增加，xn保持不变．(3)①画如解图，第5题解图结论：通过画图可得，xn的值越来越靠近两个函数图象交点的横坐标即eq\f(6,5)；②|k|<1且k≠0时，m＝－eq\f(b,k－1).即－1＜k＜1且k≠0，【解法提示】两个函数图象的交点的横坐标满足kx＋b＝x，解得x＝－eq\f(b,k－1)，且k≠0，由(1)得|k|＜1.6.(1)【思路分析】要作对称图形，先要考虑对称的性质，即对应点关于对称轴对称，只需作出点B关于直线AC的对称点D，连接AD，CD即可．第6题解图①解：如解图①，△ADC即为所求作三角形．【作法提示】(1)过点B作直线AC的垂线，垂足为点O；(2)在垂线上截取OD＝OB，连接AD，CD，则△ADC即为所要求作的三角形．(2)【思路分析】四边形EFGH的周长＝EF＋FG＋GH＋HE，由题意可知AF和AE的长均为定值，利用勾股定理可求得EF的长为定值，所以要求四边形周长的最小值，只需令FG＋GH＋HE最小即可，利用作对称线段将所求线段和转化到三角形中进行求解，进而利用直角三角形三边关系求出线段和最小值．第6题解图②解：存在．理由如下：如解图②，作点E关于CD的对称点E′，作点F关于BC的对称点F′，连接E′F′，交BC于点G，交CD于点H，连接FG、EH，则F′G＝FG，E′H＝EH，所以此时四边形EFGH的周长最小．这是因为：在BC上任取一点G′，在CD上任取一点H′，则FG′＋G′H′＋H′E＝F′G′＋G′H′＋H′E′≥E′F′.由题意得：BF′＝BF＝AF＝2，DE′＝DE＝2，∠A＝90°，∴AF′＝6，AE′＝8.∴E′F′＝10，EF＝2eq\r(5).∴四边形EFGH周长的最小值为EF＋FG＋GH＋HE＝EF＋E′F′＝2eq\r(5)＋10.∴在BC、CD上分别存在满足条件的点G、H，使四边形EFGH的周长最小，最小值是2eq\r(5)＋10.(3)【思路分析】要使四边形EFGH面积最大，因为E、F、G的位置确定，即△EFG的面积是固定的，只要求以EG为底边的△EGH最大面积即可，且∠EHG为45°，作△EFG关于EG的对称图形，以点F的对称点O为圆心，作以EG为弦的圆，根据圆的基本性质，即EG的中垂线与圆的交点即为所求的点H′，然