中考数学全面突破：第十四讲　圆

第十四讲圆命题点分类集训命题点1圆周角定理及其推论【命题规律】1.考查内容：①同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半；②同弧所对圆周角相等；③直径所对圆周角是直角；等弧所对圆心角相等.2.考查形式：①根据圆周角与圆心角关系求角度；②根据圆周角与圆心角结合其他知识求角度；③利用直径所对圆周角为直角并结合圆周角定理求角度．【命题预测】圆周角定理及其推论是圆中求角度问题的重要法宝，也是基础的知识，倍受命题人关注，是命题趋势之一．1.如图，在⊙O中，点C是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝()A.40°B.45°C.50°D.60°1.A【解析】∵OA＝OB，∠A＝50°，∴∠B＝50°，∴∠AOB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－50°＝80°，∵点C是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，∴∠BOC＝∠AOC＝eq\f(1,2)∠AOB＝40°，故选A.第1题图第2题图第3题图2.如图，在⊙O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是()A.40°B.30°C.20°D.15°2.C【解析】如解图，连接CO，∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∴∠AOC＝∠AOB＝40°，∴∠ADC＝eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)×40°＝20°.故选C.3.如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝________度．3.35【解析】∵OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠B，∠C＝∠OAC，∵∠AOB＝40°，∴∠B＝∠OAB＝70°，∵CD∥AB，∴∠BAC＝∠C，∴∠OAC＝∠BAC＝eq\f(1,2)∠OAB＝35°.命题点2垂径定理及其推论【命题规律】1.考查形式：①已知半径、弦长、弦心距中的两个量求另一个量；②结合垂径定理计算角度或线段长.2.利用垂径定理求线段长考查较多，题型多为选择题和填空题．【命题预测】垂径定理及其推论是圆中计算线段长的重要工具，是命题的重点，需对这部分知识做到熟练掌握．4.如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝()A.5B.7C.9D.114.A【解析】∵ON⊥AB，AB＝24，∴AN＝eq\f(AB,2)＝12，∴在Rt△AON中，ON＝eq\r(OA2－AN2)＝eq\r(132－122)＝5.第4题图第5题图第6题图5.如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC等于()A.64°B.58°C.72°D.55°5.B【解析】∵∠D与∠AOC同对弧AC，∴∠AOC＝2∠D＝2×32°＝64°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，在△OAC中，根据三角形内角和为180°，可得∠OAC＝eq\f(1,2)(180°－∠AOC)＝eq\f(1,2)×(180°－64°)＝58°.6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，则BE＝________．6.4－eq\r(7)【解析】如解图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，AB＝8，CD＝6，∴CE＝DE＝3，OC＝OB＝4.在Rt△OCE中，OE＝eq\r(42－32)＝eq\r(7)，∴BE＝OB－OE＝4－eq\r(7).命题点3与圆有关的位置关系【命题规律】考查内容：直线与圆的位置关系；一般考查根据其位置关系，计算某一量的取值范围或已知圆心和半径，求圆与另一直线的位置关系．【命题预测】与圆有关的位置关系是圆中命题点之一，常需判断直线圆的位置关系，值得注意．7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定7.A【解析】如解图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，由勾股定理得AB＝5.过C作CD⊥AB于D，则S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)AB·CD，解得CD＝2.4<2.5，∴直线AB与⊙C相交．8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是()A.1＜r＜4B.2＜r＜4C.1＜r＜8D.2＜r＜88.B【解析】连接AD，则AD＝eq\r(AC2＋CD2)＝eq\r(42＋32)＝5，∵⊙A与⊙D相交，∴3－r<5<3＋r，解得2＜r＜8，又∵点B在⊙D外，∴r<BD，即r<4.∴2<r<4，故选B.命题点4与切线有关的证明与计算【命题规律】1.主要考查：①利用切线性质求角度或线段长；②判定一条线是圆的切线.2.此类问题一般在三大题型中均有涉及，其中小题中常考查利用切线性质求角度或计算线段长问题，解答题中以两问设题居多，考查切线的判定和运用切线性质进行相关计算．【命题预测】切线性质与判定作为圆的重要知识，越来越受命题人的重视，是全国命题主流．9.如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB＝60°，则∠A的大小为()A.15°B.30°C.45°D.60°9.B【解析】∵AB和⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠A＝90°－∠AOB＝90°－60°＝30°.第9题图第10题图第11题图10.如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°.过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是()A.25°B.40°C.50°D.65°10.B【解析】∵∠A＝25°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝65°.如解图，连接OC.∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠BCO＝65°.∵CD是⊙的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠BCD＝90°－∠BCO＝25°，∴∠D＝∠ABC－∠BCD＝65°－25°＝40°.11.在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为________．11.24【解析】设AB切⊙O于点E，如解图，连接EO并延长交CD于点M，∵C⊙O＝26π＝2πr，∴r＝13，∵AB∥CD，且AB与CD之间的距离为18，∴OM＝18－r＝5，∵AB为⊙O的切线，∴∠CMO＝∠AEO＝90°，∴在Rt△CMO中，CM＝eq\r(OC2－OM2)＝12，∴CD＝2CM＝24.12.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E.则⊙O的半径为________．12.eq\f(25,4)【解析】如解图，连接EO并延长交AD于点F，连接OD、OA，则OD＝OA.∵BC与⊙O相切于点E，∴OE⊥BC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴EF⊥AD，∴DF＝AF＝eq\f(1,2)AD＝6，在Rt△ODF中，设OD＝r，则OF＝EF－OE＝AB－OE＝8－r，在Rt△ODF中，由勾股定理得DF2＋OF2＝OD2，即62＋(8－r)2＝r2，解得r＝eq\f(25,4).∴⊙O的半径为eq\f(25,4).13.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.(1)求证：DE与⊙O相切；(2)若BF＝2，DF＝eq\r(10)，求⊙O的半径．13.(1)证明：如解图，连接DO，∴∠BOD＝2∠BCD＝∠A，又∵∠DEA＝∠CBA，∴∠DEA＋∠DOE＝∠CAB＋∠CBA，又∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠ACB＝90°，∴OD⊥DE，又∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．(2)解：如解图，连接BD，可得△FBD∽△DBO，∴eq\f(BD,BO)＝eq\f(DF,OD)＝eq\f(BF,BD)，∴BD＝DF＝eq\r(10)，∴OB＝5，即⊙O的半径为5.命题点5扇形的相关计算【命题规律】1.考查内容：①弧长的计算(含圆的周长)；②扇形的面积计算；③求弧所在圆的半径.2.考查形式：①已知扇形圆心角和半径求弧长；②已知扇形圆心角和半径求面积；③已知扇形圆心角和弧长求半径．【命题预测】扇形的相关计算是全国命题趋势之一．14.120°的圆心角所对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是()A.3B.4C.9D.1814.C【解析】由扇形的弧长公式l＝eq\f(nπr,180)可得：6π＝eq\f(120π·r,180)，解得r＝9.15.半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是()A.3πB.6πC.9πD.12π15.D【解析】由扇形的面积公式可得：S＝eq\f(120×π×62,360)＝12π.命题点6圆锥的相关计算【命题规律】考查内容与形式：结合圆和扇形的知识求圆锥的底面圆周长、半径以及圆锥的母线长或圆心角．【命题预测】圆锥的相关计算的考查结合圆和扇形的性质，能够考查学生的实践操作能力，在这方面更贴近新课标的要求．16.若一个圆锥的底面圆半径为3cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是________cm.16.9【解析】由n＝eq\f(360r,l)得120＝eq\f(360×3,l)，解得l＝9.17.若一个圆锥的底面圆的半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是________°.17.120【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设扇形的圆心角为n°，则2π×2＝eq\f(nπ·6,180)，解得n＝120.命题点7阴影部分面积的计算【命题规律】阴影部分面积的计算常通过两种方法求解：①通过等积转换，把不规则的图形变换成规则图形的面积计算；②和差法，把阴影部分面积转化为几个规则图形面积和或差的形式计算，这是做阴影部分面积计算题的一般思路．【命题预测】阴影部分面积的计算综合知识较多，考查学生识图能力、分析能力和理解能力，是全国命题趋势之一．18.如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝eq\r(2)，则图中阴影部分的面积是()A.eq\f(π,4)B.eq\f(1,2)＋eq\f(π,4)C.eq\f(π,2)D.eq\f(1,2)＋eq\f(π,2)18.A【解析】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC＝eq\r(2)，∴AB＝2，则半径OA＝OB＝1，∵△AOC≌△BOC，∴△AOC的面积与△BOC的面积相等，∴阴影部分的面积刚好是四分之一圆的面积，即为eq\f(1,4)π×12＝eq\f(π,4).第18题图第19题图第20题图19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2eq\r(3)，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是()A.2eq\r(3)－eq\f(2,3)πB.4eq\r(3)－eq\f(2,3)πC.2eq\r(3)－eq\f(4,3)πD.eq\f(2,3)π19.A【解析】设BC＝x，∵D为AB的中点，∴AB＝2BC＝2x,∴在Rt△ABC中，由勾股定理有(2x)2－x2＝(2eq\r(3))2，解得x＝2，又∵sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(1,2)，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴S阴影＝S△ABC－S扇形BCD＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)－eq\f(60×π×22,360)＝2eq\r(3)－eq\f(2,3)π.20.如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是________．20.3π【解析】∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝2∠C＝2×60°＝120°，∵⊙O的半径为3，∴阴影部分的面积S扇形OAB＝eq\f(120×π×32,360)＝3π.21.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E、F.(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若BD＝2eq\r(3)，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．21.(1)解：BC与⊙O相切．理由如下：如解图，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD.又∵∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA.∴OD∥AC，∴∠BDO＝∠C＝90°，又∵OD是⊙O的半径，∴BC与⊙O相切．(2)解：设⊙O的半径为r，则OD＝r，OB＝r＋2，由(1)知∠BDO＝90°，∴在Rt△BOD中，OD2＋BD2＝OB2，即r2＋(2eq\r(3))2＝(r＋2)2.解得r＝2.∵tan∠BOD＝eq\f(BD,OD)＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3)，∴∠BOD＝60°.∴S阴影＝S△OBD－S扇形ODF＝eq\f(1,2)·OD·BD－eq\f(60πr2,360)＝2eq\r(3)－eq\f(2,3)π.命题点8圆与正多边形的相关计算【命题规律】考查内容：①圆内接正多边形的性质；②圆内接正多边形与圆的面积结合．【命题预测】圆与多边形结合类题目的考查形式比较固定，将圆的面积与多边形的相关性质结合起来进行考查，这个知识点将成为一种常态的命题形式．22.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于________．22.2π【解析】由题意得，正方形的边长AB＝2，则⊙O的半径为2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，∴⊙O的面积是(eq\r(2))2π＝2π.第22题图第23题图23.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为________．23.8【解析】∵六边形ABCDEF为正六边形，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(EF,\s\up8(︵))＝eq\o(ED,\s\up8(︵))＝eq\o(AF,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∴eq\o(BE,\s\up8(︵))的长是圆周长的一半，则BE是圆的直径，∴BE＝2×4＝8.

中考冲刺集训一、选择题1.如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为()A.70°B.35°C．20°D.40°第1题图第2题图第3题图2.如图，AP为⊙O的切线，P为切点，若∠A＝20°，C、D为圆周上两点，且∠PDC＝60°，则∠OBC等于()A.55°B.65°C.70°D.75°3.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)4.如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则eq\o(FE,\s\up8(︵))的长为()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,2)C．πD．2π第4题图第5题图第6题图5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是eq\o(CD,\s\up8(︵))上一点，且eq\o(DF,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为()A.45°B.50°C.55°D.60°6.如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD＝30°，CD＝4eq\r(3)，则S阴影＝()A.2πB.eq\f(8,3)πC.eq\f(4,3)πD.eq\f(3,8)π7.如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为()A.3eq\r(3)B.4eq\r(3)C.5eq\r(3)D.6eq\r(3)第7题图第8题图8.如图所示的扇形纸片半径为5cm，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4cm，则该圆锥的底面周长是()A.3πcmB.4πcmC.5πcmD.6πcm二、填空题9.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB＝12eq\r(3)，OP＝6，则劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))的长为________．(结果保留π)第9题图第10题图第11题图10.如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，则∠BOC＝________°.11.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD＝________．12.如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为________cm.三、解答题13.已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过D点的直线交AC于E点，交AB于F点，且△AEF为等边三角形．(1)求证：△DFB是等腰三角形；(2)若DA＝eq\r(7)AF，求证CF⊥AB.14.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长．15.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F.(1)求证：DF⊥AC；(2)若⊙O的半径为5，∠CDF＝30°，求eq\o(BD,\s\up8(︵))的长．(结果保留π)1.D第2题解图2.B【解析】连接OP，如解图，则OP⊥AP.∵∠D＝60°，∴∠COP＝120°，∵∠A＝20°，∠APO＝90°，∴∠AOP＝70°，∴∠AOC＝50°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝eq\f(180°－50°,2)＝65°.3.A【解析】如解图，连接OC，∵EC切⊙O于C，∴∠OCE＝90°，∵OA＝OC，第3题解图∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COE＝∠ACO＋∠A＝30°＋30°＝60°，∴∠E＝180°－∠OCE－∠COE＝180°－90°－60°＝30°，∴在Rt△COE中，sin∠E＝sin30°＝eq\f(1,2).第4题解图4.C【解析】如解图，连接OE、OF，∵AB为⊙O的直径，AB＝12，∴AO＝OB＝6，∵⊙O与DC相切于点E，∴∠OEC＝90°，∵在▱ABCD中，∠C＝60°，AB∥DC，∴∠A＝∠C＝60°，∠AOE＝∠OEC＝90°，∵在△AOF中，∠A＝60°，AO＝FO，∴△AOF是等边三角形，即∠AOF＝∠A＝60°，∴∠EOF＝∠AOE－∠AOF＝90°－60°＝30°，弧EF的长＝eq\f(30π×6,180)＝π.5.B【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝75°，∵DF⌒＝BC⌒，∴∠BAC＝∠DCF＝25°，∴∠E＝∠ADC－∠DCF＝50°.第6题解图6.B【解析】如解图，连接OC，设CD与OB交于点E，∵在⊙O中，弦CD⊥AB，∴CE＝DE＝2eq\r(3)，∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝2∠BCD＝60°，在Rt△EOD中，OE＝eq\f(DE,tan60°)＝2，∴OD＝4，∴BE＝OB－OE＝4－2＝2，在△DOE和△CBE中，CE＝DE，∠CEB＝∠DEO，OE＝BE，∴△DOE≌△CBE，∴S阴影＝S扇形OBD＝eq\f(60×π×42,360)＝eq\f(8,3)π.第7题解图7.B【解析】如解图，延长CO交⊙O于点A′，连接A′B.设∠BAC＝α，则∠BOC＝2∠BAC＝2α，∵∠BAC＋∠BOC＝180°，∴α＋2α＝180°，∴α＝60°.∴∠BA′C＝∠BAC＝60°，∵CA′为直径，∴∠A′BC＝90°，则在Rt△A′BC中，BC＝A′C·sin∠BA′C＝2×4×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3).8.D【解析】如解图，由题意可知，OA＝4cm，AB＝5cm，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求得OB＝3cm，∴该圆锥的底面周长是6πcm.第8题解图第9题解图9.8π【解析】∵AB是小圆的切线，∴OP⊥AB，∴AP＝eq\f(1,2)AB＝6eq\r(3).如解图，连接OA，OB，∵OA＝OB，∴∠AOB＝2∠AOP.在Rt△AOP中，OA＝eq\r(OP2＋AP2)＝12，tan∠AOP＝eq\f(AP,OP)＝eq\f(6\r(3),6)＝eq\r(3)，∴∠AOP＝60°.∴∠AOB＝120°，∴劣弧AB的长为eq\f(120π·12,180)＝8π.10.125【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠OBC＋∠OCB＝eq\f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)＝eq\f(1,2)(70°＋40°)＝55°.∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－55°＝125°.11.2eq\r(2)【解析】如解图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝3×2＝6，AC＝2，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(62－22)＝4eq\r(2)，∵∠D＝∠A，∴tanD＝tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(4\r(2),2)＝2eq\r(2).第11题解图第12题解图12.25【解析】如解图，取圆心为O，连接OA、OC，OC交AB于点D，则OC⊥AB.设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝r，又∵CD＝10，∴OD＝r－10，∵AB＝40，OC⊥AB，∴AD＝20.在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝202＋(r－