高考数学总复习 第三章第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数课时闯关（含解析）

第三章第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数课时闯关（含答案解析）一、选择题1．角α的终边过点P(－1,2)，则sinα＝()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(2\r(5),5)C．－eq\f(\r(5),5) D．－eq\f(2\r(5),5)解析：选B.由三角函数的定义得sinα＝eq\f(2,\r(－12＋22))＝eq\f(2\r(5),5).2．(2012·保定质检)已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m等于()A．－eq\f(11,4) B.eq\f(11,4)C．－4 D．4解析：选C.由题意可知，cosα＝eq\f(m,\r(m2＋9))＝－eq\f(4,5)，又m＜0，解得m＝－4，故选C.3．在直角坐标平面内，对于始边为x轴正半轴的角，下列命题中正确的是()A．第一象限中的角一定是锐角B．终边相同的角必相等C．相等的角终边一定相同D．不相等的角终边一定不同解析：选C.第一象限角是满足2kπ＜α＜2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z的角，当k≠0时，它都不是锐角，与角α终边相同的角是2kπ＋α，k∈Z；当k≠0时，它们都与α不相等，亦即终边相同的角可以不相等，但不相等的角终边可以相同．4．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3)C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：选C.设圆半径为R，由题意可知：圆内接正三角形的边长为eq\r(3)R.∴圆弧长为eq\r(3)R.∴该圆弧所对圆心角的弧度数为eq\f(\r(3)R,R)＝eq\r(3).5．已知角2α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，2α∈[0,2π)，则tanα＝()A．－eq\r(3) B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3) D．±eq\f(\r(3),3)解析：选B.由角2α的终边在第二象限，知tanα＞0，依题设知tan2α＝－eq\r(3)，所以2α＝120°，得α＝60°，tanα＝eq\r(3).二、填空题6．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1按逆时针方向运动eq\f(2π,3)弧长到达点Q，则点Q的坐标为________．解析：由弧长公式l＝|α|r，l＝eq\f(2π,3)，r＝1得点P按逆时针方向转过的角度为α＝eq\f(2π,3)，所以点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)，sin\f(2π,3)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))7．若α是第三象限角，则180°－α是第________象限角．解析：∵α是第三象限角，∴k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，∴－k·360°－270°＜－α＜－k·360°－180°，－(k＋1)·360°＋270°＜180°－α＜－(k＋1)·360°＋360°，其中k∈Z，所以180°－α是第四象限角．答案：四8．已知角α的终边上一点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)，cos\f(2π,3)))，则角α的最小正值为________．解析：∵tanα＝eq\f(cos\f(2,3)π,sin\f(2,3)π)＝eq\f(－\f(1,2),\f(\r(3),2))＝－eq\f(\r(3),3)，且sineq\f(2,3)π＞0，coseq\f(2,3)π＜0，∴α在第四象限，由tanα＝－eq\f(\r(3),3)，得α的最小正值为eq\f(11,6)π.答案：eq\f(11,6)π三、解答题9．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ的值．解：∵θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，∴tanθ＝－eq\f(1,x)，又tanθ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.当x＝1时，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(\r(2),2)；当x＝－1时，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝－eq\f(\r(2),2).10．已知α＝eq\f(π,3).(1)写出所有与α终边相同的角；(2)写出在(－4π，2π)内与α终边相同的角；(3)若角β与α终边相同，则eq\f(β,2)是第几象限的角？解：(1)所有与α终边相同的角可表示为{θ|θ＝2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}．(2)由(1)，令－4π<2kπ＋eq\f(π,3)<2π(k∈Z)，则有－2－eq\f(1,6)<k<1－eq\f(1,6).又∵k∈Z，∴取k＝－2，－1,0.故在(－4π，2π)内与α终边相同的角是－eq\f(11π,3)、－eq\f(5π,3)、eq\f(π,3).(3)由(1)有β＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，则eq\f(β,2)＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)．∴eq\f(β,2)是第一、三象限的角．11．已知sinα＜0，tanα＞0.(1)求α角的集合；(2)求eq\f(α,2)终边所在的象限；(3)试判断taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)的符号．解：(1)由sinα＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tanα＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为{α|(2k＋1)π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z}．(2)由(2k＋1)π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，得kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，故eq\f(α,2)终边在第二、四象限．(3)当eq\f(α,2)在第二象限时，taneq\f(α,2)＜0，sineq\f(α,2)＞0，coseq\f(α,2)＜0，所以taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)取正号；当eq\f(α,2)在第四象