高考数学总复习 第八章第8课时 抛物线课时闯关（含解析）

第八章第8课时抛物线课时闯关（含解析）一、选择题1．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－2 B．2C．－4 D．4解析：选D.由已知得椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦点为F(2,0)，∴eq\f(p,2)＝2，得p＝4.2．(2010·高考湖南卷)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4 B．6C．8 D．12解析：选B.y2＝8x的焦点是F(2,0)，准线x＝－2，如图所示，|PA|＝4，|AB|＝2，∴|PB|＝|PF|＝6.故选B.3．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A．y2＝±2eq\r(2)x B．y2＝±2xC．y2＝±4x D．y2＝±4eq\r(2)x解析：选D.因为双曲线的焦点为(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则eq\f(p,2)＝eq\r(2)，所以p＝2eq\r(2)，所以抛物线方程为y2＝±4eq\r(2)x.4．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线eq\f(x2,a)－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是()A.eq\f(1,25) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,3)解析：选B.根据抛物线定义可得，抛物线的准线方程为x＝－4，则抛物线方程为y2＝16x.把M(1，m)代入得m＝4，即M(1,4)．在双曲线eq\f(x2,a)－y2＝1中，A(－eq\r(a)，0)，则kAM＝eq\f(4,1＋\r(a))＝eq\f(1,\r(a)).解得a＝eq\f(1,9).5．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，过焦点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，若直线l的倾斜角为45°，则弦AB的中点坐标为()A．(1,0) B．(2,2)C．(3,2) D．(2,4)解析：选C.依题意得，抛物线C的方程是y2＝4x，直线l的方程是y＝x－1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,y＝x－1))消去y得(x－1)2＝4x，即x2－6x＋1＝0，因此线段AB的中点的横坐标是eq\f(6,2)＝3，纵坐标是y＝3－1＝2，所以线段AB的中点坐标是(3,2)，因此选C.二、填空题6．已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x＝________.解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3.答案：37．(2012·开封质检)已知抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点为F，准线l与对称轴交于R点，过已知抛物线上一点P(1,2)作PQ⊥l于Q，则(1)抛物线的焦点坐标是________；(2)梯形PQRF的面积是________．解析：代入(1,2)得a＝2，所以抛物线方程为x2＝eq\f(1,2)y，故焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8))).又Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,8)))，|FR|＝eq\f(1,4)，|PQ|＝2＋eq\f(1,8)＝eq\f(17,8)，所以梯形的面积为eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(17,8)))×1＝eq\f(19,16).答案：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))(2)eq\f(19,16)8．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面的宽度为8米，当水面上升eq\f(1,2)米后，水面的宽度是________米．解析：设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将(4，－2)代入方程得16＝－2p·(－2)，解得2p＝8，故方程为x2＝－8y，水面上升eq\f(1,2)米，则y＝－eq\f(3,2)，代入方程，得x2＝－8·(－eq\f(3,2))＝12，x＝±2eq\r(3).故水面宽4eq\答案：4eq\r(3)三、解答题9．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(eq\f(3,2)，eq\r(6))，求抛物线与双曲线的方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝2c设抛物线方程为y2＝4c·x∵抛物线过点(eq\f(3,2)，eq\r(6))，∴6＝4c·eq\f(3,2)，∴c＝1，故抛物线方程为y2＝4x.又双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1过点(eq\f(3,2)，eq\r(6))，∴eq\f(9,4a2)－eq\f(6,b2)＝1.又a2＋b2＝c2＝1，∴eq\f(9,4a2)－eq\f(6,1－a2)＝1.∴a2＝eq\f(1,4)或a2＝9(舍)．∴b2＝eq\f(3,4)，故双曲线方程为：4x2－eq\f(4y2,3)＝1.10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－eq\f(p,2)，于是4＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.(2)∵点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．又∵F(1,0)，∴kFA＝eq\f(4,3)，∵MN⊥FA，∴kMN＝－eq\f(3,4).又FA的方程为y＝eq\f(4,3)(x－1)，故MN的方程为y－2＝－eq\f(3,4)x，解方程组得x＝eq\f(8,5)，y＝eq\f(4,5)，∴N的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(4,5))).11．已知直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，OD⊥AB于点D，点D的坐标为(2,1)，求抛物线的方程．解：由题意得kOD＝eq\f(1,2)，∵AB⊥OD，∴kAB＝－2，又直线AB过点D(2,1)，∴直线AB的方程为y＝－2x＋5，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵以AB为直径的圆过点O，∴Oeq\o(A,\s\up6(→))·Oeq\o(B,\s\up6(→))＝0，即x1x2＋y1y2＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋5,y2＝2px))得4x2－(2p＋20)x