考点13 轴对称变换的性质（解析版）

轴对称变换在几何变换中的地位非常重要，较多的和全等三角形，相似三角形，勾股定理相结合.★★★○○○○轴对称的性质：①.成轴对称的两个图形全等，即对应角相等，对应边相等；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③对应点的连线互相平行或在同一条直线上；1.抓住对称轴，找准对应点，根据关于某条直线对称的两个图形全等，确定图形中的边，角的相等关系；2.理解基本图形中的重要关系：如图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，点D的对称点是D′，点C的对称点是C′，则有①ED＝ED′，CD＝C′D′；②∠C＝∠C′，∠D＝∠D′，∠DEF＝∠D′EF；③等腰△GEF中，GE＝GF.3.求角的度数的问题，一般利用轴对称的性质，结合平行线的性质，三角形的内角和定理，相似三角形等知识来求解；4.求线段的长度的问题，或构造直角三角形，利用勾股定理列方程，或借助全等三角形，或利用相似三角形求解.例1.如图，将△ABC沿DE，DF翻折，顶点B，C均落在点G处，且BD与CD重合于线段DG，若∠A＝36°，∠AEG＋∠AFG的度数为（ ）．A.100° B.102° C.108° D.117°【答案】C例2.如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开.再一次折叠纸片，使点A落在EF上，得到折痕BM，同时，得到线段BN，若，则BM的长为（ ）A. B.2 C.3 D.【答案】B例3.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠B＝60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则△CEF的面积_____．【答案】QUOTE732【精细解读】解：根据轴对称的性质可证△BCE≌△GCF，得到CE＝CF。由∠B＝60°，BC＝4可得到AB与CD之间的距离，过点E作EP⊥BC，在Rt△CEP中由勾股定理求得EC的长，即可得到△CEF的面积.如图，作CK⊥AB于K，过E点作EP⊥BC于P．∵∠B＝60°，∠EPB＝90°，∴∠BEP＝30°，∴BE＝2BP，设BP＝m，则BE＝2m，∴EP＝BE•sin60°＝2m×QUOTE32＝QUOTE3m，由折叠可知，AE＝CE，∵AB＝6，∴AE＝CE＝6﹣2m，∵BC＝4，∴PC＝4﹣m，在Rt△ECP中，由勾股定理得（4﹣m）2＋（QUOTE3﹣m）2＝（6﹣2m）2，解得m＝QUOTE54，∴EC＝6﹣2m＝6﹣2×QUOTE54＝，∴CF＝EC＝QUOTE72，∴S△CEF＝×QUOTE72×2QUOTE3＝QUOTE732，故答案为QUOTE732．学科@网1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②AG＋DF＝FG；③△DEF∽△ABG；④S△ABG＝S△FGH．其中正确的是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C在Rt△ABF中，AF＝＝8，∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2，设AG＝x，则GH＝x，GF＝8﹣x，HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4，在Rt△GFH中，∵GH2＋HF2＝GF2，∴x2＋42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴GF＝5，∴AG＋DF＝FG＝5，所以②正确；∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处∴∠BFE＝∠C＝90°，∴∠EFD＋∠AFB＝90°，而∠AFB＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠EFD，∴△ABF∽△DFE，∴，∴，而，∴，∴△DEF与△ABG不相似；所以③错误．∵S△ABG＝×6×3＝9，S△GHF＝×3×4＝6，∴S△ABG＝1.5S△FGH．所以④正确．故选C.学科@网2.如图，将矩形纸片的两个直角分别沿EF、DF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，点C恰好落在边B′F上．若AE＝3，BE＝5，则FC＝______．【答案】4.3.如图1，点D为△ABC边BC的延长线上一点．（1）若∠A∶∠ABC＝3∶4，∠ACD＝140°，求∠A的度数；（2）若∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P．求证：；（3）在（2）的条件下，将△MBC以直线BC为对称轴翻折得到△NBC，∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q（如图2），试探究∠BQC与∠A有怎样的数量关系，请写出你的猜想并证明．【答案】（1）60°；（2）证明见解析；（3）∠BQC＝90°＋∠A，理由见解析.（3）猜想∠BQC＝90°＋∠A．证明如下：∵BQ平分∠CBN，CQ平分∠BCN，∴，∴．由（2）知：，又由轴对称性质知：∠M＝∠N，∴．（每道试题10分，总计100分）1.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）A. B.3 C.2 D.2【答案】B2.如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为A.40° B.50° C.60° D.70°【答案】B【解析】连结OD，如图，∵扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，∴BC垂直平分OD，∴BD＝BO，∵OB＝OD，∴△OBD为等边三角形，∴∠DOB＝60°，∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝110°﹣60°＝50°，∴的度数为为50°，故选B．3.在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，把△ABE沿直线AE折叠，B点落在点B′处，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′＝AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠CB′D＝135°；④BB′＝BC；⑤.其中正确的个数为（）.A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D4.已知点P（3，﹣1），那么点P关于x轴对称的点P′的坐标是（）A.（﹣3，1）B.（3，1）C.（﹣1，3）D.（﹣3，﹣1）【答案】B【解析】试题分析：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．解：∵点P关于x轴对称为点P′∴P′的坐标是（3，1）．故选B．学科@网5.将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开．如果∠1＝56°，那么∠2＝______．【答案】68°【解析】根据轴对称的性质和两直线平行，内错角相等，得∠1＝∠3，∠1＝∠4，所以∠1＝∠3＝∠4，所以∠2＝180°－2∠1＝180°－112°＝68°.6.如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于E、F，若∠EPF＝α，则∠AOB＝_____．【答案】90°－α7.如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上运动，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若∠B′ED＝90°，则BD的长是________．【答案】58.将三角形纸片ABC，按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF＝_______．【答案】或2【解析】根据△B′FC与△ABC相似时的对应关系，有两种情况：①△B′FC∽△ABC时，，又∵AB＝AC＝3，BC＝4，B′F＝BF，∴，解得BF＝；②△B′CF∽△BCA时，，AB＝AC＝3，BC＝4，B′F＝CF，BF＝B′F，而BF＋FC＝4，即2BF＝4，解得BF＝2．故BF的长度是或2．学科@网9.问题：在平面直角坐标系xOy中，一张矩形纸片OBCD按图所示放置．已知OB＝10，BC＝6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB（含端点）或其延长线交于点F．问题探究：（1）如图1，若点E的坐标为(0，4)，直接写出点A的坐标________；（2）将矩形沿直线折叠，求点A的坐标；问题解决：（3）将矩形沿直线折叠，点F在边OB上（含端点），求k的取值范围．【答案】（1）；（2）（3，6）；（3）【解析】解：（1）∵点E的坐标为（0，4），∴OE＝AE＝4，∵四边形OBCD是矩形，∴OD＝BC＝6，∴DE＝2，∴，∴点A的坐标为；（2）如图2，过点F作FG⊥DC于G，（3）如图3，．∵矩形沿直线折叠，点F在边OB上，①当E点和D点重合时，k的值为－1，②当F点和B点重合时，k的值为；∴．10.如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F.（1）如图1，当点P在边BC上时：①若∠BAP＝30°，求∠AFD的度数；②若点P是BC边上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；（2）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论；（3）是否存在这样的情况，点E为线段DF的中点，如果存在，求BP的值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）①∠AFD的度数为45°；②∠AFD的度数不会发生变化，证明见解析；（2）画出图形见解析，∠AFE的大小不会改变，理由见解析；（3）BP的值为1.【解析】（1）①∵∠EAP＝∠BAP＝30°，∴∠DAE＝90°－30°×2＝30°．∵在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣30°）÷2＝75°．∵在△AFD中，∠FAD＝30°﹢30°＝60°，∠ADF＝75°，∴∠F＝180°﹣60°﹣75°＝45°．（2）方法一：作图如图2所示，∠AFE的大小不会改变．作AG⊥DE于G，得∠DAG＝∠EAG.设∠DAG＝∠EAG＝α．∴∠BAE＝90°＋2α．∴∠FAE＝∠BAE＝45°＋α，∴∠FAG＝∠FAE－∠EAG＝45°．方法二：(2)∠AFD的大小不会改变．设∠BAP＝∠EAP＝α，则∠EAD＝2α－90°，∵在△ADE中，AD＝AE，∠EAD＝2α－90°，∴∠AED＝(180°－∠EAD)＝(180°－2α＋90°)＝135°－α．∴在△AEF中，∠AFD＝180°－∠FAE－∠AED＝180°－α－(135°－α)＝45°．（3）存在点E为DF的中点．连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC．∵EG∥AD，DE＝EF，∴EG＝AD＝1．∵AB＝AE，∴点A在线段BE的垂直平分线上．同理得：点P在线段BE的垂直平分线上．∴AF垂直平分线段BE，∴OB＝OE．∵GE∥BP，∴∠OBP＝∠OEG，∠OPB＝∠OGE．∴BP＝EG＝1．学科@网_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________