线弹性断裂力学()

2.3应力强度因子断裂准那么引言：应力强度因子断裂准那么的提出过程经典能量平衡理论，提出了能量释放率这个重要概念，所建立的断裂准那么在概念上很清楚，形式上也很简单。但经典理论的结果不便于应用，因为能量释放率的计算比较复杂，而且外表自由能和外表能也不易测量。Griffith裂纹能量释放率为Griffith裂纹判据

2.3应力强度因子断裂准那么因此，近代线弹性断裂力学的研究都注重裂纹尖端应力场的分析，从应力场的特征寻找裂纹失稳扩展的条件，即应力强度因子断裂准那么(K准那么)；并研究了裂纹尖端塑性区的影响和修正，使脆性断裂准那么能用于实际工程材料。断裂发生条件：

根据能量释放观点，物体在发生断裂时，裂纹尖端要释放出多余的能量。这个能量必然与裂纹尖端附近区域的应力场有关，裂纹尖端应力场的能量强度足够大时，断裂即可发生，反之就不会发生。2.3.1裂纹体的三种断裂类型

裂纹体中的裂纹，由于外加作用力的不同，可以分为三种不同的类型，如下图，相应地称为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型断裂问题由于Ⅰ型裂纹是最常见和最危险的，容易引起超低应力脆断；近年来对I型裂纹的研究也最多，实际裂纹即使是复合型裂纹，也往往把它作为Ⅰ型裂纹来处理，这样更平安。2.3.2平面应力与平面应变

在分析裂纹尖端的应力场时，将遇到两种应力应变状态，即平面应力状态和平面应变状态

。

取一块中央带有穿透裂纹，受与裂纹垂直的均匀拉应力作用的平板(右图)来研究。2.3.2平面应力与平面应变

对于薄板，裂纹尖端材料将受到xOy平面的应力的作用，称这种状态为平面应力状态。此时但

平面应力状态是三向应变状态，裂纹尖端容易产生变形。

对于厚板，裂纹尖端材料的应变仅发生在xOy平面内，所以称这种状态为平面应变状态。这种状态，不仅有的作用，而且平面应变状态是三向应力状态，裂纹尖端不易产生变形。2.3.2平面应力与平面应变

对于实际构件来说，我们可以认为：如果构件的厚度很小就是平面应力状态；如果构件的厚度很大就是平面应变状态；如果构件的厚度中等，那么两个外外表属于平面应力状态，中间的大局部区域属于平面应变状态。

裂纹尖端附近的应力场

20世纪50年代，Irwin利用Westergaard研究裂纹问题所采用的线弹性力学方法，对裂纹尖端附近区域的应力状态进行了研究，得出了裂纹尖端附近各点(极坐标为)的应力分量，并引出了“应力强度因子〞的概念。

裂纹尖端附近的应力场

取单位厚度的无限大平板，中央有长为2a的穿透裂纹，承受与裂纹垂直的均匀拉伸应力，如下图。对于薄板，为平面应力状态三个应力分量为：对于厚板，为平面应变状态，还有

裂纹尖端附近的应力场

三个应力分量为：在应力场内的任意给定的点()，其应力分量的大小均为这个因子所决定。

当增大时，应力场内各点的应力均“放大”了；减少时，应力场内各点的应力就“缩小”了。

裂纹尖端附近的应力场

实质上是一个比例系数。当其较大时，应力场中各点的应力均较大，应力场的强度较强；反之，则应力场的强度较弱，即：

是决定裂纹尖端区域应力场强度的因子，称其为应力强度因子。(注脚Ⅰ表示：是Ⅰ型断裂问题的应力强度因子)用符号表示。在研究无限大平板中心穿透裂纹时，有

裂纹尖端附近的应力场

由上述可知，在裂纹尖端区域起主导作用的那一部分应力场，可以用参数来描述。

传统强度学只考虑外载荷对断裂的影响，而没有考虑构件存在初始裂纹这一重要因素；而应力强度因子这个参数，既包含外加的名义应力，又包含构件中已经存在的裂纹长度a，即既与远离裂纹平板承受的均匀拉应力成正比，又与裂纹的形式和尺寸有关。

裂纹尖端附近的应力场

令，即可得裂纹延长线上的各应力分量

对于平面应力状态，；对于平面应变状态，则有

裂纹尖端附近的应力场

当给定值时，我们可作出随的变化曲线，如图所示。

由图我们可以进一步看出以下几点：(l)当很大时，应力趋于零，然而实际应该为。所以很明显，应力的求解式仅在裂纹尖端周围一个有限的区域内有效，是裂纹尖端附近应力场的近似表达式，愈接近裂纹尖端，精确度愈高，即仅在时才适用。所以应力强度因子。又可以用极限形式来描述，即

裂纹尖端附近的应力场

应力强度因子就是用来描述这种奇异性的力学参量。(2)当时，应力无限增大，

的点，应力是奇点(所谓奇点就是此点的数值趋近于无穷大)。也就是说，裂纹尖端应力场具有奇异性。

裂纹尖端附近的应力场

(3)应力无限增大，这反映了完全不进入塑性状态的“理想脆性”材料的特征。因此，用来表达裂纹尖端的应力场，严格来说，只对“理想脆性”材料才合适，实际工程材料要应用应力强度因子概念，则必须进行修正。

裂纹尖端附近的应力场

研究无限大平板中心穿透裂纹时，得到其他裂纹体的应力强度因子式中Y是和裂纹形状、加载方式及构件几何形状等有关的系数。对无限大平板中心穿透裂纹

裂纹尖端附近的应力场

对一般平板来概括，那么应力强度因子表达式可写成应力强度因子的量纲为式中——构件几何形状修正系数。

裂纹尖端附近的应力场

对于Ⅱ型裂纹(如图(a))，有对于平面应力状态，；对于平面应变状态，实验结果说明，II型裂纹的扩展途径并非沿原来的裂纹线，而是沿着与原裂纹线成一定倾角的方向扩展，如图(b)所示。

裂纹尖端附近的应力场

对于Ⅲ型裂纹(如图)，有在平面应力和平面应变条件下，上式应力分量的表达式相同。实验结果说明，Ⅲ型裂纹的扩展方向和I型裂纹的扩展方向一致，都是沿着原裂纹线扩展的。K断裂准那么

由于应力强度因子是反映裂纹尖端应力场强弱程度的参数，而裂纹是否发生失稳扩展总是和裂纹尖端应力场的强弱程度有关的。用应力强度因子来建立裂纹发生扩展的判据。对于Ⅰ型裂纹，当(平面应变)

(平面应力)裂纹处于失稳扩展的临界状态。这就是K断裂准则。

时，而分别称为平面应力状态和平面应变状态的临界应力强度因子1.K准那么表达式K断裂准那么K准那么究竟能否成立？不仅在于理论上的推导符合逻辑，关键在于它能否通过试验直接或间接地测定出来，并且说明它确实是与裂纹的扩展有关。裂纹试样的拉断试验表明：一定材料在低应力脆断情况下，和是确实存在的。

平面应变平面应力在裂纹尺寸一定时，它们的值越大，扩展临界应力就越大相反外加应力一定时，它们的值愈大，扩展的临界尺寸就愈大

1.K准那么表达式K断裂准那么K准那么究竟能否成立？

显然，和表征了材料抵抗裂纹失稳扩展的能力，是材料抗脆性破坏能力的一个韧性指标，是一个崭新的物理量，分别称为平面应力断裂韧性和平面应变断裂韧性。因而，K准那么是确实成立的。1.K准那么表达式K断裂准那么

材料的断裂韧性值与裂纹处的应力状态有关，不同的应力状态对应的断裂韧性值不一样。由于构件的厚度确定了构件中的应力状态，所以构件厚度直接影响材料的断裂韧性。当厚度较小时，趋于平面应力状态，断裂韧性值较高，称为平面应力断裂韧性。不同的厚度所对应的值不相同，有一个最正确厚度，其所对应的值最高。厚度增加时，值减小。

当厚度增加到某一个数值时，裂纹尖端趋于平面应变状态，此时的断裂韧性值是一个较低的常值，这就是平面应变断裂韧性。不随厚度变化。K断裂准那么2.K准那么与G准那么的关系K准那么与G准那么作为断裂判据，有何关系？比较一下I型裂纹的应力强度因子与能量释放率：对于平面应力状态能量释放率理想脆性材料在线弹性条件下有

G准那么的裂纹临界扩展条件说明K准那么与G准那么实际上是等同的。在线弹性条件下，和只取决于材料表面能和弹性系数E(后者还与泊松比有关)，所以是材料的性能指标。K断裂准那么2.K准那么与G准那么的关系平面应变状态平面应力状态

代替E

根据弹性力学分析K断裂准那么2.K准那么与G准那么的关系综上所述，裂纹发生临界扩展的条件。当裂纹体的能量释放率到达临界能量释放率；当裂纹尖端区域的应力强度因子到达其临界值。(或)(或)脆性断裂准那么平面应变断裂韧性平面应力断裂韧性。

通常把K准那么作为断裂准那么的常用形式，为什么？应用K准那么，应力强度因子的数值一般由计算得出，断裂韧性的数值由试验测定。K断裂准那么2.K准那么与G准那么的关系对于Ⅱ型裂纹，按照与Ⅰ型裂纹问题同样的思路，有对于Ⅲ型裂纹，有

裂纹尖端塑性区

前面所有的讨论，都是以理想脆性材料为研究对象的，没有考虑材料塑性的影响。实际的工程材料，一般都具有一定的塑性，而不是理想脆性材料。脆性断裂准那么的塑性修正？1.塑性区对断裂韧性的影响2.塑性区对应力强度因子的影响(或)(或)脆性断裂准那么

裂纹尖端塑性区

1.塑性区对断裂韧性的影响由于材料具有塑性，以及裂纹尖端应力集中的影响，当裂纹扩展时，即使是较小的工作应力，也会在裂纹尖端产生塑性变形，而形成一个微小的塑性区，如下图。随着裂纹的不断扩展，塑性区也必然向前扩展。在塑性区的形成和扩展过程中，必然要吸收和消耗能量，这些能量也是靠外力做功提供的。塑性区的变形能量产生弹性变形的弹性应变能，存储在塑性区内产生塑性变形的塑性应变能，转化为热能而消耗

裂纹尖端塑性区

1.塑性区对断裂韧性的影响实验说明，塑性变形虽然只发生在一个很小的区域内，但其塑性变形能的数值却相当大，远远超过了材料的外表能。例如：中低强度钢的塑性应变能要比外表能大4-6个数量级，高强度钢的塑性应变能要比外表能大3个数量级。因此，对于实际工程材料来说，影响断裂的主要因素是塑性应变能而不是外表能。

裂纹尖端塑性区

1.塑性区对断裂韧性的影响

这种影响表现在材料抵抗裂纹扩展的能力上，即影响材料的断裂韧性。如前所述，裂纹在扩展过程中，要消耗大量的塑性变形能，在扩展同样的裂纹长度时，需要外力做更多的功，即扩展同样的裂纹长度，需要对裂纹体施加较大的外载荷。所以，裂纹尖端塑性区的形成和扩展，提高了材料的断裂韧性，这就是塑性材料有较好的抵抗裂纹扩展能力的原因。

裂纹尖端塑性区

2.塑性区对应力强度因子的影响塑性区还要影响裂纹尖端应力场分布，因而要影响应力强度因子。严格来说，用应力强度因子来表达裂纹尖端的应力状态，只对理想脆性材料才适宜。因为在塑性区域内，由于塑性变形而不断把机械能转化成热能，根本无法用应力强度因子的概念来反映其内部变形规律。

考虑了塑性区的影响，对K作适当修正之后，我们仍然可以应用线弹性理论所得的结果。

裂纹尖端塑性区

2.塑性区对应力强度因子的影响考虑塑性区影响的等效裂纹尺寸法。〔最简便而实用的方法〕如果我们把塑性区近似地看成圆形，塑性半径为R/2，如下图。那么等效裂纹尺寸法认为：考虑塑性后，裂纹长度为a时的弹塑性应力场〔如图中的曲线DEH〕与裂纹长度为〔a+ry〕时的弹性应力场〔如图中的曲线GEF〕是等效的。

的假定可以在理论上得出证明。

裂纹尖端塑性区

2.塑性区对应力强度因子的影响考虑塑性区影响的等效裂纹尺寸法。〔最简便而实用的方法〕也就是说，如果将实际的裂纹长度a以虚设的等效裂纹长度〔a+ry〕代替，那么弹性材料的应力分布就可以用一种理想脆性材料的应力分布来处理了，只要将x轴上的坐标平移的ry的距离即可。

裂纹尖端塑性区

2.塑性区对应力强度因子的影响这样，就可以借用理想脆性材料应力强度因子的计算公式。

〔1〕对于无限大平板中央穿透裂纹情况式中，塑性半径的数值可由下式确定(平面应力状态)(平面应变状态)有何关系？原因？

裂纹尖端塑性区

2.塑性区对应力强度因子的影响〔2〕对于平面应力状态

裂纹尖端塑性区

2.塑性区对应力强度因子的影响〔3〕对于平面应变状态

裂纹尖端塑性区

2.塑性区对应力强度因子的影响可见，考虑塑性影响后，值均有增大。

平面应力平面应变和称为考虑塑性区影响后的应力强度因子的增大系数。平面应力与平面应变情况相比较，平面应变时应力强度因子的增大系数比平均应力时要小些。

裂纹尖端塑性区

2.塑性区对应力强度因子的影响

应当指出，确定塑性半径的上述公式和利用值概念于实际工程材料，需具备两个条件：一是不能适用于塑性区域内部；二是塑性区域不能过大(即小范围屈服)。为了有个数量级概念，以无限平板裂纹尖端为例来说明，它的近似解为它的精确解(塑性分析)为

裂纹尖端塑性区

0.20.8713%0.10.937%2.塑性区对应力强度因子的影响其比值为：误差所以，只有在r相对于a值是一个小值时，上述近似应用才成立。

裂纹尖端塑性区

2.塑性区对应力强度因子的影响既然要求，那么更要求所以必须是小范围屈服。有的资料也规定，其限制条件为

式中，表示净截面上的应力〔即断裂截面上的平均应力〕。因为当时，塑性半径已可与a相比较，这时塑性区已扩大到很大范围，塑性半径的计算式和应力强度因子的修正式就不再适用了。

裂纹尖端塑性区

3.影响断裂韧性的因素断裂韧性标志着构件抵抗断裂的能力。影响断裂韧性的因素：材料的外表能弹性模量泊松比塑性应变能其中最主要的影响因素是塑性应变能。影响塑性应变能的因素主要有两个方面：二是构件(例如平板)的厚度B。

一是材料的屈服极限

裂纹尖端塑性区

3.影响断裂韧性的因素1)材料屈服极限对断裂韧性的影响主要表现在以下三个方面：(1)材料的越低，裂纹尖端越容易进入屈服状态而产生塑性变形，因而塑性应变能将较大，使构件具有较高的断裂韧性；反之，那么断裂韧性较低(如图)。所以，LY12铝合金虽然静强度较低，却较LC4铝合金或30CrMnSi2A钢材的抗断裂性能为优。

裂纹尖端塑性区

3.影响断裂韧性的因素1)材料屈服极限对断裂韧性的影响主要表现在以下三个方面：(2)温度降低时，材料的提高，因此低温下材料呈现脆性状态，抗断裂性能降低，易发生断裂；反之，温度提高时，抗断裂性能提高(如图)。但过高的温度则会使断裂韧性降低以至丧失。

裂纹尖端塑性区

3.影响断裂韧性的因素1)材料屈服极限对断裂韧性的影响主要表现在以下三个方面：(3)加载速率对断裂韧性也有明显影响，如图所示。通常是加载速率提高，使材料的增大，因而材料变脆，抗断裂性能降低。但继续提高加载速率，材料不能及时响应，断裂韧性反而提高了。为了考虑这种影响，引入动态断裂韧性，它是与加载速率有关的材料断裂韧性，在研究加载速率很高的动载作用下的构件断裂问题时，才要用到动态断裂韧性。

裂纹尖端塑性区

3.影响断裂韧性的因素2)构件厚度对断裂韧性的影响构件的厚度不同时，在构件中将产生不同的应力状态和变形，直接影响构件的断裂韧性。如下图，构件较薄时处于平面应力状态。断裂韧性值较高。构件较厚时，平面应变状态断裂韧性值较低。

裂纹尖端塑性区

3.影响断裂韧性的因素2)构件厚度对断裂韧性的影响所以，断裂韧性是随构件的厚度B而变化的，如下图。理论分析指出，可以用下式作为厚度界限的定性判别标准，即当时，认为构件处于平面应变状态。

2.4

LEFM在结构静强度分析方面的应用

2.4.1线弹性断裂力学的适用范围在传统的材料强度学和断裂力学中，材料或构件的断裂准那么是完全不同的。传统的材料强度学认为，材料一般分为脆性和塑性两大类，两种材料的断裂在一般受拉情况下是截然不同的。脆性材料总是脆性断裂，塑性材料总是塑性断裂，断裂准那么为：(对塑性材料)(对脆性材料)这里没有考虑材料或构件中的缺陷对其强度的影响。2.4

LEFM在结构静强度分析方面的应用

2.4.1线弹性断裂力学的适用范围断裂力学的根本出发点，是成认材料或构件中不可防止地存在裂纹、夹杂等各种缺陷这样一个事实，在线弹性理论分析的根底上，引入了应力强度因子和断裂韧性两个概念，不管是什么材料，只要当它的应力强度因子到达了临界值，就会发生断裂。因此断裂准那么为(或))

2.4

LEFM在结构静强度分析方面的应用

2.4.1线弹性断裂力学的适用范围但需要说明的是，并非任何应力和裂纹大小情况下的断裂，都能按照断裂力学的断裂准那么进行分析。这可以从图中看出)

2.4

LEFM在结构静强度分析方面的应用

2.4.2应用举例

由于线弹性断裂力学的K准那么，把材料的抗断裂性能和构件内的裂纹尺寸以及实际的断裂应力定量地联系起来了，因而，根据K准那么，线弹性断裂力学在结构静强度分析方面可有以下三方面的应用：

第一，若已知(通过无损探伤)构件内裂纹的大小和位置，就可根据(或)来估算构件的断裂应力，它就是破损构件的实际承载能力或剩余强度。2.4

LEFM在结构静强度分析方面的应用

2.4.2应用举例

第二，若已知构件的工作应力，就可根据(或)来确定构件的临界裂纹长度，如探伤出来的裂纹，则构件是安全的，否则不安全。由此可建立相应的检查标准。第三，若已知构件裂纹尺寸的大小和工作应力，就可算出裂纹尖端应力强度因子，据以判断构件是否安全。若

(或)，则构件就是安全的，否则就有脆断的危险。现在举例说明以上三方面的应用。2.4

LEFM在结构静强度分析方面的应用

2.4.2应用举例

例1某飞机机翼大梁下缘条凸缘的承载情况如下图，经长期工作后，孔边出现lmm深的穿透裂纹，材料为30CrMnSiNi2A特种钢，问该构件的承载能力还有多少？

：确定剩余强度2.4

LEFM在结构静强度分析方面的应用

2.4.2应用举例

解：孔边穿透裂纹当，由资料查得故应按平面应变来计算，即当时，有由于大梁材料为高强度材料，略去塑性区不计，那么上式中的a即为可测见的裂纹(a＝lmm)，得由判断其状态〔平面应变/应力〕确定剩余强度2.4

LEFM在结构静强度分析方面的应用

2.4.2应用举例

解：与传统静强度观点作比较，可将这时的承载能力换算成过载。假设按静强度计算时平安系数取为f＝1.5，那么该构件的许用应力为由于该构件所在的飞机是按照过载为设计的，那么现在飞机剩余承载能力为确定剩余强度2.4

LEFM在结构静强度分析方面的应用

2.4.2应用举例

例2如果例1中的构件所发生的是孔边角裂纹，其尺寸如下图，问剩余强度又为多少？解：孔边角裂纹的应力强度因子的表达式为确定剩余强度2.4

LEFM在结构静强度分析方面的应用

2.4.2应用举例

例2如果例1中的构件所发生的是孔边角裂纹，其尺寸如下图，问剩余强度又为多少？解：当时，有

即过载到达4.07时，大梁就可能断裂。确定剩余强度2.4

LEFM在结构静强度分析方面的应用

2.4.2应用举例

例3有一厚B=5mm、长L＝200mm和宽W=50mm的机用板条，由40SiMiNIVNb钢制成，材料受单向均匀拉伸应力作用，在单侧有穿透裂纹，如下图。假设该板的设计应力为屈服极限的2/3，那么当裂纹失稳扩展时，裂纹的临界长度？确定临界裂纹长度2.4

LEFM在结构静强度分析方面的应用

2.4.2应用举例

解：根据题中给出的板的尺寸，可暂按半无限大平板、单侧穿透裂纹受单向均匀拉伸的情况处理。这样，应力强度因子表达式为根据所以，应按平面应变状态计算。有确定临界裂纹长度2.4

LEFM在结构静强度分析方面的应用

2.4.2应用举例

解：又因为所以因为故按半无限大平面板具有单侧穿透裂纹计算是合理的。

确定临界裂纹长度2.4

LEFM在结构静强度分析方面的应用

2.4.2