第2章电路的基本分析方法

第2章

直流电阻性电路的分析教学内容

电阻的串、并联,星形和三角形等效变换。两种实际电源模型的等效变换。

教学要求

1.理解深刻理解等效电路的概念。

2.掌握电阻的串、并联,星形和三角形等效变换方法及等效电阻的计算。

3.掌握实际电源模型的等效变换。教学重点和难点

重点：等效电阻的计算及电路的化简。

难点：电阻的星形网络和三角形网络的等效变换。2-1等效电路的概念定义：两个单口网络的端口电压、电流关系相同，则称其为等效单口网络或等效电路。

最简单的二端网络示例

关联方向NUIURIUS-+RSUI无源二端网络有源二端网络非关联方向NUI一、电阻的串联电路中若干个电阻依次联接，各电阻流过同一电流，这种联接形式称为电阻的串联。

设n个电阻串联UIReq+-UIR1R2Rn+-1.等效电阻2-1电阻的串联、并联和混联电路电阻串联时，每电阻上的电压2.分压作用说明:在串联电路中，当外加电压一定时，各电阻端电压的大小与它的电阻值成正比。电阻串联时，每个电阻的功率与电阻的关系为：同理推出:P1:P2

:…:

Pn=R1

:R2

:…:Rn电阻串联的应用很多，例如，为了扩大电压表的量程，就需要与电压表（或电流表）串联电阻；当负载的额定电压低于电源电压时，可以通过串联一个电阻来分压；为了调节电路中的电流，通常可在电路中串联一个变阻器。例2-1

如图所示，要将一个满刻度偏转电流Ig为50μA，电阻Rg为2kΩ的电流表，制成量程为50V/100V的直流电压表，应串联多大的附加电阻R1、R2？-+50V+100V-Ug+R1

R2Ig例2-1电路图

为了扩大量程，必须串上附加电阻来分压，可列出以下方程解得附加电阻R1=998kΩ，R2=106Ω=1000kΩ满刻度时，表头所承受电压为解:-+50V+100V-Ug+R1

R2Ig例2-1电路图二、电阻的并联电路中若干个电阻联接在两个公共点之间，每个电阻承受同一电压，这样的联接形式称为电阻的并联。设n个电阻并联UIReq+-IInI2R2IR1Rn+U－1.等效电阻IInI2R2IR1Rn+U－UIReq+-两个电阻并联时的等效：2.分流作用说明:两个电阻并联，电阻小分流大；电阻大分流小。电阻并联时，每个电阻的功率与电阻的关系为：同理推出:IR2I2R1I1两电阻并联：电阻并联时，各电阻上的功率与它的阻值的倒数成正比或与它的电导成正比。并联电路分流作用的应用之一是电流表扩展量程。例2-2电路如图，要将一个满刻度偏转电流Ig=50μA，内阻Rg为2kΩ的表头制成量程为50mA的直流电流表，并联分流电阻Rs应多大？依题意，已知Ig=50μA，Rg=2kΩ，由分流式得分流电阻Rs≈2.00ΩIRgIgRs

例2-2电路图解:三、电阻的混联

例2-3电路如图，计算ab两端的等效电阻Rab。ba6Ω7Ω9Ω3Ωba6Ω1Ω7Ω9Ω3Ωba4.5Ωba2Ω7Ω9Ω例2-3电路图解:得例2-4图示桥式电路，若已知I5=0，R1=1Ω，R2=2Ω，R3=2Ω，R4=4Ω，R5=5Ω。求ab两端的等效电阻Req。II5R5R4R3R2R1+U－abI+U－R4R3R2R1abI+U－R4R3R2R1ba例2-4电路图I5=0，R5支路开路I5=0，R5支路短路解:2-3电阻的Y与Δ联结及等效变换如例2-4中I5≠0时，对R5支路既不能开路也不能短路处理，此时电路无法用电阻串并联关系进行分析，则引出Y、Δ变换问题，例如:1231231231231.Y形联接：三个电阻一端连接为一点，另一端分别引出三个端头。2.△形联接：三个端钮,每两个端钮之间连接一个电阻。RcaRabRbcabci1ii23'''UabUbcUcacabaRbRcI1I3I2RUabUbcUca两电路的三个对应端a、b、c的电流Ia、Ib、Ic及三个对应端之间的电压Uab、Ubc、Uca应相等，则两电路（对外）等效。利用电路等效概念推出Y-△等效变换公式△→Y：分母为三个电阻的和，分子为三个待求电阻相邻两电阻之积。Y→△：分子为电阻两两相乘再相加，分母为待求电阻对面的电阻。Y→△△→Y特例对称三角形联结或星形联结：若

Ra=Rb=Rc=RY，则有若R12=R23=R31=RΔ，则有R12=R23=R31=RΔ=3RY注：电阻星形联结有时又称为T形电阻，电阻三角形联结也称为Π形电路。例2-6图示电路，已知Us=100V，R1=100Ω，R2=20Ω，R3=80Ω，R4=R5=40Ω，求电流I。

IR5R4R3R2R1dacb+Us－Rc+Us－dacbR3R5IRbRaΔ

→Y解:练习：若将Y→△（如下图），情况如何。aR5R4R3R2R1dcbadReqRbdRadRabR2R5abdReqadReqab

说明:使用△-Y

等效变换公式前，应先标出3个端子标号，再套用公式计算,切记在△-Y变换时标出的3个端子不要变没了。2-4电源的联结及两种实际电源模型的等效变换

一、电源的联结n个电压源串联：n个电流源并联：IsnbaIs2Is1bIsaab+Us1-+Us2-+Usn-

+Us

-ababI＋Us－R＋Us－abI＋Us－abIIsR－Us

＋Isab＋U

－＋U

－Isbaa＋U

－－Us

＋Isb例2-7求图(a)所示电路的最简等效电路。据电源等效概念，化简得到最简电路。＋10V－5Ωab1A2A(a)＋10V－5Ωab2A(b)2Aab(c)解:等效电路如图(c)所示。二、两种实际电源模型的等效变换＋Us－IRs1＋U－外电路I′Rs2Is外电路＋U′－①②实际电流源模型实际电压源模型Rs1=Rs2=Rs

或1.推证若两个电路相互等效，即U=U

、I=I

则有1.当实际电压源等效变换为实际电流源时2.当实际电流源等效变换为实际电压源时4.利用电源等效变换可以简化电路。结论：另外，两种电源模型等效变换时，还应注意：2.理想电压源（Rs=0）与理想电流源（Rs=∞）之间不能等效变换。3.等效变换时应注意电压源的Us和电流源的Is参考方向相反。Rs2=Rs1Rs1=Rs21.电源等效变换是对外电路而言，电路内部并不等效。例2-9将图(a)所示电路化简为一个实际电流源模型。ab1Ω＋2V－2Ω＋10V－1A(a)1Ω＋2V－ab2Ω5A1A(b)1Ω＋2V－＋8V－2Ωab(d)ab1Ω＋2V－2Ω4A(c)＋6V－3Ωab(e)ab2A3Ω(f)解:小结2.串联电路的等效电阻等于各电阻之和；并联电路的等效电导等于各电导之和；混联电路的等效电阻可由电阻串并联计算得出。1.等效网络的概念：一个N端网络的端口电压电流关系与另一个N端口网络的端口电压电流关系相同，这两个网络对外部而言称为等效网络。3.串联电阻具有分压作用，电阻越大，分压越高；并联电阻具有分流作用，电阻越小，分流越大。5.实际电压源和实际电流源可以相互等效变换,其等效变换关系式为4.电阻Y联接和△联接可以等效变换，对称情况下等效变换条件：R△=3RY教学内容

支路电流法、网孔电流法和结点电位法。教学要求

1.加深基尔霍夫定律的理解。

2.熟练掌握支路电流法的应用。

3.初步掌握网孔电流法。

4.熟练掌握结点电位法的应用。教学重点和难点重点：支路电流法、结点电位法。难点：理想电压源的电流和理想电流源的电压的求解。2-5支路电流法

方法：以支路电流为未知量，直接应用KCL和KVL分别对结点和回路列出所需要的结点电流方程及回路电压方程，然后联立求解，得出各支路的电流值。

电路分析I2R2baI1I3＋Us1－＋Us3－R1R3IⅢⅡ

结点数

n=2支路数b=3结点a：结点b：回路I：回路Ⅱ：回路Ⅲ：网孔是最容易选择的独立回路。▪n个结点有(n-1)个独立的KCL方程。可以证明：▪独立的回路m=b-（n-1）。解方程组就可以求得I1、I2和I3。（n-1）独立结点。支路电流法的一般步骤如下：（1）选定支路电流的参考方向，标明在电路图上，b条支路共有b个未知变量。（2）根据KCL列出结点方程，n个结点可列(n-1)个独立方程。（3）选定网孔绕行方向，标明在电路图上，根据KVL列出网孔方程，网孔数就等于独立回路数，可列m个独立电压方程。（4）联立求解上述b个独立方程，求得各支路电流。例2-10用支路电流法求图示电路各支路电流。

选定并标出支路电流I1、I2、I3。由结点a按KCL，有选定网孔绕行方向，由网孔Ⅰ按KVL，有由网孔Ⅱ，按KVL，有I1=3A，I2=-2A，I3=1A联立以上三个式子，求解得_9V+II1aI33Ω3Ω6Ω+12V-bⅡI2例2-10电路图解:例2-11用支路电流法求图示电路各支路电流。

标出支路电流I1、I2、I3和电流源端电压U0，并选定网孔绕向。列KCL和KVL方程得

补充一个辅助方程

联立方程组得

2A+U0－I2II1I32Ω2Ω+2V-+2V-Ⅱ例2-11电路图支路中含有恒流源的情况支路电流未知数少一个是否能少列一个方程?结果：2个未知电流+1个电压未知=3个未知数，由3个方程求解。不能解:2-6网孔电流法

方法：以假想的网孔电流为未知量，应用KVL列出网孔方程，联立方程求得各网孔电流，再根据网孔电流与支路电流的关系式，求得各支路电流。

I2R2baI1I3＋Us1－＋Us3－R1R3Il1Il2电路分析网孔电流Il1、Il2是假想的，网孔电流与支路电流的关系▪选取网孔绕行方向与网孔电流参考方向一致，根据KVL可列网孔方程：▪整理得：▪可以概括为如下形式规律：（1）R11、R12分别称为网孔1、2的自电阻之和，其值等于各网孔中所有支路的电阻之和，它们总取正值，R11=R1+R2，R22=R2+R3。（2）R12、R21

称为网孔1、2之间的互电阻，R12=-R2，R21=-R2，可以看出，R12=R21，其绝对值等于这两个网孔的公共支路的电阻。当两个网孔电流流过公共支路的参考方向相同时，互电阻取正号，否则取负号。（3）Us11、Us22分别称为网孔1、2中所有电压源的代数和，Us11=Us1、Us22=-Us3。当电压源电压的参考方向与网孔电流方向一致时取负号，否则取正号。

一般形式：网孔电流法的一般步骤如下：（1）选定网孔电流的参考方向，标明在电路图上，并以此方向作为网孔的绕行方向。m个网孔就有m个网孔电流。（2）按上述规则列出网孔电流方程。（3）联立并求解方程组，求得网孔电流。（4）根据网孔电流与支路电流的关系式，求得各支路电流或其他需求的电量。例2-13

用网孔电流法求图示电路电流I。电路中含有电流源，选取网取电流Il1、Il2如图示。Il1唯一流过含电流源的网孔电流，且参考方向与电流源电流方向相反，所以Il2=－1A。列左边网孔方程为将Il2代入，并整理得1A+10V－4ΩIl2IIl16Ω4Ω例2-13电路图解:2-7结点电位法

以结点电位为未知量，将各支路电流用结点电位表示，应用KCL列出独立结点的电流方程，联立方程求得各结点电位，再根据结点电位与各支路电流关系式，求得各支路电流。方法：OI1Is1bI4R4R5+Us5－I5I2+Us2

－

R2I3R3R1a电路分析设独立结点的电位为Va、Vb。图示各支路电流与结点电位存在以下关系式：▪将前页☆式代入上式子得

OI1Is1bI4R4R5+Us5－I5I2+Us2

－

R2I3R3R1a▪对结点a、b分别列写KCL方程▪整理得▪可以概括为如下形式规律：（1）Gaa、Gbb分别称为结点a、b的自导，Gaa=G1+G2+G3，Gbb=G2+G3+G4+G5，其数值等于各独立结点所连接的各支路的电导之和，它们总取正值。（2）Gab、Gba称为结点a、b的互导，Gab=Gba=－(G2+G3)，其数值等于两点间的各支路电导之和，它们总取负值。（3）Isaa、Isbb分别称为流入结点a、b的等效电流源的代数和，若是电压源与电阻串联的支路，则看成是已变换了的电流源与电导相并联的支路。当电流源的电流方向指向相应结点时取正号，反之，则取负号。一般形式：结点电位法的一般步骤如下：（1）选定参考结点O，用“⊥”符号表示，并以独立结点的结点电位作为电路变量。（2）按上述规则列出结点电位方程。（3）联立并求解方程组，求得出各结点电位。（4）根据结点电位与支路电流的关系式，求得各支路电流或其他需求的电量。例2-14用结点电位法求图示电路中各支路电流。ObaI4-4V+I14ΩI32Ω5A4ΩI2＋12V－2Ω例2-14电路图设结点电位为Va、Vb，列方程为解方程组得Va=4VVb=-4V化简得解:根据图中标出的各支路电流的参考方向，可计算得ObaI4-4V+I14ΩI32Ω5A4ΩI2＋12V－2Ω例2-15用结点电位法求图示电路电流I1、I2、I3。电位选择如图，设结点电位Va、Vb、Vc。因为结点c与参考结点o连接有理想电压源，有Vc=1V。－2V+Obac1Ω1Ω2ΩI3-1V++10V－2ΩI1

0.5ΩI22A例2-15电路图结点a：▪列结点电位方程：结点b：Vc=1V结点