辽宁省大连市第三十中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析

辽宁省大连市第三十中学2022-2023学年高三数学理联

考试卷含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.在MIC中，角4&C的对边分别为a".已知则。=()

A.3B.1"C.4D.应

参考答案：

A

2.已知集合A={x|y=ln(x-a)},B={-2,2,3},ADB=B,则实数a的取值范围是

()

A.(-2,+8)B.(3,+8)C.(-8,-2)D.(-8,3)

参考答案：

C

【考点】集合的包含关系判断及应用.

【分析】将ACB=B转化为ACB=B,判断出集合端点的大小，求出a的范围.

【解答】解：...ACBnB,

VA={x|y=ln(x-a)}=(a,+°°),B={-2,2,3},

Aa<-2,

故选C.

3.过抛物线V=2pxip>0)的焦点尸的直线交抛物线于46两点，点。是原点，如果

M=3,网>网，丽=与，那么M的值为

3

U)1W2

(C)3(D)6

参考答案：

A

考点：抛物线

"限x-亨)

由已知直线的斜率为上二■,则方程为联立方程得

,3p‘

~5/,X+~0°,即(2x-3p)(6x+p)=0

3p

因为网>M,所以3y，“k

p3n2

x>+——2P,3p——AF・Xj♦一——p—1

依题意2，所以2,则23,故选A

\+y-l>0

D：<2x-y-2<0

4.已知实数x,y满足平面区域|x-2y+2>0,则的最大值为()

A.\B.1C.2&D.8

参考答案：

D

【考点】简单线性规划.

【专题】不等式的解法及应用.

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可.

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；

设z=x，y2的，

则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，

由图象知，0A的距离最大，

，2x-y-2=0(x=2

由［x-2^2=0得|产2,

即A(2,2),

即z=x?+y2的最大值为Z=22+22=4+4=8,

【点评】本题主要考查线性规划以及点到直线的距离的应用，利用数形结合是解决本题的

关键.

5.运行如图所示的程序框图若输出的s的值为55则在O内应填入（）

B,i>9?ci>107D,«>117

参考答案：

c

【分析】

根据程序框图的循环条件，依次计算，即得解

【详解】初始：；

j?=0U=U=i<-l=2,不满足条件；$=1+2=3/=讣1=3,不满足条件；

$=3.3=«i=i+l=4,不满足条件；$=6.4=lQi=i+l=5,不满足条件；

$=10+5=15,i=i41=6,不满足条件；^=15^6=21,1=4+1=7,不满足条件；

$=21+6=空1=1+1=8,不满足条件；Jf=28+8=36,1=1+1=9不满足条件；

s=36+9=45/=i+l=10,不满足条件；5=45.10=骂1=讣1=11,满足输出条

件；

故选：C

【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算能力，属于中

档题.

6.方程廿=M/+c中的a也ce{-2,0,L23,且。也匕互不相同，在所有这些方程

所表示的曲线中，不同的抛物线共有()

A、28条B、32条C、36条D、48条

参考答案：

B

本题可用排除法，a，b,ce(-2,0,L2,3),5选3全排列为6(),这些方程所表示的曲

线要是抛物线，则awO且bwO,,要减去2无'=24,又占=-2或2时，方程出现重

复，重复次数为4,所以不同的抛物线共有60-24-4=32条.故选B.

7.按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63,则判断框中的整数M的值

参考答案:

5

71

8.要得到函数y二sin2x的图象，只要将函数y=sin(2x-4)的图象()

JT.

A.向左平移"T单位B.向右平移彳单位

兀71

C.向左平移8单位D.向右平移8单位

参考答案：

C

【考点】函数y二Asin(3x+6)的图象变换.

【分析】根据函数尸Asin(3x+?)的图象变换规律得出结论.

7T71

【解答】解：将函数产sin(2X-T)的图象向左平移右个单位，可得函数丫=$行[2

兀71

(x+8)-4]=sin2x的图象,

故选C.

9.已知集合尸.]14.5.6),0-{5.7),献UQ=()

A.{5}B.{3.4,5®C04.5.7}D,{14.5.6.71

参考答案：

D

*“46

10.若实数x,y满足L贝卡=2X.JF的最大值为（）

A.9B.8C.4D.3

参考答案：

A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.若向量2,5满足I"卜1,万［0,且4•L（4+E>,则、与否的夹角

为.

参考答案：

3n

~4

12.已知等差数列前n项和为耳.若，=2,£,=■，则■=_____,

参考答案：

4,110

设等差数列3J的公差为d,贝1」2勺+4=%+^，即</=%,%=2,d=2,%=4,

10x9

%=1助+^^=20+9。=110

,故答案为4,110.

J7«•E-y+—y=1（。>h>0）X-

13.设玛玛是椭圆a*b1的左、右焦点，户为直线2上一点,

△玛卢片是底角为30•的等腰三角形，则E的离心率为

参考答案：

3

J4之一==l(a>Qb>Q)八

14.已知抛物线X=4x与双曲线『b’有相同的焦点产，0是坐标原

点，点/、4是两曲线的交点，若◎♦函•万=0则双曲线的实轴长

为

参考答案:

2、伍-2

【知识点】双曲线的简单性质.H6

解析：•••抛物线，2=心a与双曲线—『r—y=l(a>Obb>Q)有相同的焦点，，二万点的

坐标为(1,0),二.3.3),/尸=0,二轴.设4点在第一象限，则4点坐

标为(1.2)设左焦点为则产1=2,由勾股定理得产1=2应，由双曲线的定义可

知24=河_/=%后_2

【思路点拨】求出抛物线的焦点(1,0),即有双曲线的两个焦点，运用向量的数量积的

定义可得d点坐标，再由双曲线的定义可得结论。

15.已知点P是双曲线»1

(。>0,6>0)的左焦点，点£'是该双曲线的右顶点,

过点歹且垂直于x轴的直线与双曲线交于B两点，若△48E是锐角三角形，则该双

曲线的离心率e的取值范围是.

参考答案：

(1.2)

略

16.若将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.如果每个信

封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有一

参考答案：

18

17.若函数/(x)=2'+3的图像与的图像关于直线y=x对称，则g(5)=4

参考答案:

1

因为函数/(")=2'+3的图像与8口》的图像关于直线了=%对称，所以由

/(x)=2r+3=5,即2*=2,所以x=l,所以g(5)=l。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知椭圆的中心在坐标原点。，焦点在X轴上，短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个

端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点〃与X轴不垂直的直线交椭圆于R0两点.

(1)求椭圆的方程；

(2)当直线/的斜率为1时，求皿？的面积；

(3)在线段上是否存在点"s”)，使得以此校为邻边的平行四边形是菱形？

若存在，求出用的取值范围；若不存在，请说明理由.

参考答案：

♦y=1f=-0<wi<—

(1)2(2)0mti3(3)存在2

试题分析：第一问应用题中所给的条件，设出相应的椭圆的方程，根据其短轴长，可以确

定占的值，根据焦点和短轴的端点为一个正方形的顶点，从而确定出b=c,进一步求得

a的值，从而确定出椭圆的方程，第二问根据直线的斜率和过右焦点，将直线的方程写出

来，与椭圆方程联立，应用点到直线的距离求得三角形的高，应用弦长公式求得三角形的

底，应用面积公式求得结果，第三问关于是否存在类问题，都是假设存在，根据菱形的条

件，从而求得结果，再转化为函数的值域问题求解，从而确定出府的取值范围.

W=](a>b>0)

试题解析：(1)设椭圆方程为a'b1,

根据题意得b=c=l,所以a'=b'+c'=2,

二+，=]

所以椭圆方程为2-；

(2)根据题意得直线方程为

忏“14

解方程组（，=*T得尸•。坐标为也一。q

计E竽,、历

点O到直线尸2的距离为"T,

«_2

所以,

（3）假设在线段。尸上存在点"（f^XOvmvD,使得以MP.ZQ为邻边的平行四边形是

菱形.因为直线与“轴不垂直，所以设直线，的方程为y=MK-lx*/Q）

E。坐标为&RGj。，

1・2/=2

由［/=*（*—D得（］.2*2）/4Jt2K.2必2=0,

4A7址一

计算得：凝？=（耳-叫％）.绚=（巧一八），其中巧一巧，0,

由于以此此为邻边的平行四边形是菱形，所以阿=1硬I,

计算尸中

E—巧+巧一.

即4—1皿，（*，8,

C1

0<m<一

所以2

考点：椭圆的方程，直线与椭圆相交问题，是否存在类问题.

fr^3cKa

19.在平面直角坐标系g中，曲线。的参数方程为1/・加=（。为参数），在以原点

0.仿-5）=戊

为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线，的极坐标方程为I4）.

（1）求0的普通方程和/的倾斜角；

（2）设点R&2）J和。交于4万两点，求阳♦阀

参考答案：

Jx-3aisa消去参数a,得%八।

(1)由17・加.

即c的普通.方程为》八’

山彳卜戊，得。1-夕1=2①

卜.pcasJ

将代入①得y“+2

所以直线，的斜率角为彳.

（2）由（1）知，点网”2）在直线,上，可设直线1的参数方程为p=彳Q为参数）

x.争

小乳为参数）,

即

代入丁T并化.简得式+1艮后+27・。

A="®-4x5x27=Id>0

设43两点对应的参数分别为，.q.

则"■当<”为1所以5<。

所以附+隅嗝|+圄=竽

20.在4ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为AABC的面积，满足S=

盘

4（<?+/—<?）

(1)求角C的大小;

(II)求sinA+sinB的最大值.

参考答案：

M：(I)由余弦定理。'-c'=2abcosC,由S='absinC.

2

则由S=乎(，)得;MsinC=当,ZabcosC,

所以tanC=J5,因为0<C<»,所以C=g.

Uh<Il)由已知$山/+$加6=$1|1彳.疝1(率-4)

=sin4-«--cosA+-sin4=-sin>4*—co$^=Gsin//.N).

2222I6)

当且仅当/*2=2.即/uE.亦即A/SC为正三角形时，sin/-sin8的量大值为6.

623

略

21.(本小题满分10分)如图，已知PA与圆。相切于点A,直径BCL0P,连结AB交P0于

点D.

(1)求证：PA=PD；

(2)求证；AC•AP=AD«0C

参考答案：

・・*..一■.▼.

!£叫<1处偏O<.

•：OA=CB.：./OAB・必

V/MMMlOfBWFA.4.MIOAP^

：./PAD^W一/3£

,:。B_OP、工，BDO二B-ZO&4.

V：^BDO~/PDA."R4D=/PDA・

・・・/M=aD.(S分)

(2)内(I)怔.4MD・ZM。，

乂

，△/WX

:•与二综..\P.4^C^Al>(X\(\Q5>)

22.如图，在四棱锥中P-ABCD,底面ABCD为边长郑的正方形，PA1BD.

(1)求证：PB=PD；

(2)若E,F分别为PC,AB的中点，EFL平面PCD,求直线PB与平面PCD所成角的大

小.

参考答案：

【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算.

【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角.

【分析】(1)连接AC,BD交于点0,连结P0,则ACLBD,结合PALBD得出BD,平面

PAC,故而BDLP0,又0为BD的中点，得出0P为BD的中垂线，得出结论；

(2)设PD的中点为Q,连接AQ,EQ,证明四边形AQEF是平行四边形，于是AQ,平面

PCD,通过证明CDJ_平面PAD得出CD_LPA,结合PA1.BD得出PAJ_平面ABCD,以A为原点

建立空间直角坐标系，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值等于|cos