菱形的性质与判定（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.1菱形的性质与判定（知识讲解）

【学习目标】

1.理解菱形的概念.

2.掌握菱形的性质定理与判定定理.

【要点梳理】

要点一、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

特别说明：：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行

四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.

要点二、菱形的性质

1.菱形的四条边都相等；

2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.

特别说明：：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形

分成完全全等的两部分.

（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底X高；另

一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线

互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.

（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.

要点三、菱形的判定

菱形的判定方法有三种：

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.四条边相等的四边形是菱形.

特别说明：：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法

是在四边形的基础上加上四条边相等.

【典型例题】

类型一、利用菱形的性质求角

1.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,AH垂直BC,点E是AH上一点，延

长AH至点F,使FH=EH,

(1)求证：四边形EBFC是菱形；

(2)如果求证：AC.LCF.

【分析】

(1)根据题意可证得ABCE为等腰三角形，由AHLCB,则BH=HC,从而得出四边

形EBFC是菱形；

(2)由(1)得N2=N3,再根据NBAC=NECF,得N4=N3,由AHLCB,得

Z3+Z1+Z2=9O°,从而得出ACJ_CF.

证明：(1)VAB=AC,AH1CB,

；.BH=HC.

VFH=EH,

...四边形EBFC是平行四边形.

XVAH1CB,

.••四边形EBFC是菱形.

(2)证明：如图，

♦.•四边形EBFC是菱形.

.*.Z2=Z3=—ZECF.

2

VAB=AC,AH1CB,

Z4=—ZBAC.

2

NBAC=NECF,

N4=N3.

VAH±CB

二Z4+Zl+Z2=90°.

.♦.N3+Nl+N2=90°.

即：AC1CF.

【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌

握.

【变式1】如图,BD是菱形ABCD的对角线,NA=30。.

(1)请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;(不要求写作法，保留

作图痕迹）

（2）在⑴的条件下，连接BF,求NDBF的度数.

【分析】

（1）分别以A、B为圆心，大于LAB长度为半径画弧，交于线段AB两侧，连接两

2

个交点的直线即为所求；

（2）根据菱形的性质可以求出/ABD的度数，再根据FA=FB可得出/A=NFBA=30。,

再用/ABD—々BA，即可得出NDBF的度数.

解：（1）如图所示，直线EF即为所求；

（2）•.•四边形ABCD是菱形，

AZABD=ZDBC,DA〃CB,

.,•ZABC+ZA=180°.

VZA=30°,

.".ZABC=150°,

/.ZABD=ZDBC=75°

VEF垂直平分线段AB,

r.AF=FB.

NA=NFBA=30°.

.".ZDBF=ZABD-ZFBA=75o-30o=45°.

故答案为（1）见解析；（2）45。

【点拨】本题考查垂直平分线的尺规作图的方法，熟练掌握；以及菱形的性质，注意菱

形的对角线是平分一组对角的，这个性质比较容易遗忘，要熟练掌握，灵活利用.

【变式2】如图，△ABC中，ZACB=90°,£＞、E分别是BC、BA的中点，联结。E,

产在OE延长线上，且AF=AE,若四边形ACE尸是菱形，求N8的度数.

【分析】

先根据菱形的性质可得4尸=AC=CE，从而可得AC=CE=AE,再根据等边三角

形的判定与性质可得44C=60。，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得.

解：•••四边形AC所是菱形，

.•.AF=AC=CE,

-.■AF=AE<

AC=CE-AE-

.•.△ACE是等边三角形，

NBAC=60°，

又•.♦NACB=90°,

：.ZB=90°-ABAC=30°.

【点拨】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的

性质是解题关键.

类型二、利用菱形的性质求线段

©^2.如图，在四边形A3CO中，AB//DC，AB^AD＞对角线AC，BD交于点0,

AC平分/班。，过点C作CELA3交A3的延长线于点E，连接OE

(D求证：四边形ABCD是菱形

(2)若A8=g，BD=4,求OE的长

【分析】

(1)由平行线的性质和角平分线的性质证明同。=OC,结合已知条件先证明四边形

ABCO是平行四边形，从而可得结论；

(2)由勾股定理可求AO的长，由直角三角形的性质可得=1AC,即可得OE的

2

长.

证明:(1)-AB//DC，

AC平分NJMD,

西边形A8CD是平行四边形，

•••四边形A8CO是菱形.

(2)四边形A3CD是菱形.

:BD=4，

A8=至，

【点拨】本题主要考查了菱形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，直角三角形

的性质，证明CD=AB是解本题的关键.

【变式1】如图，在菱形A5C。中，AC=8,BD=6,求△ABC的周长.

【分析】

利用菱形的性质结合勾股定理得出AB的长，进而得出答案.

解：•.,在菱形A8CD中，AC=8,80=6,

：.AB^BC,ZAOB=90°,A0=4,80=3,

•••一=48=,32+42=5,

,AABC的周长=A3+BC+AC=5+5+8=18.

【点拨】本题主要考查菱形的性质，利用勾股定理，求出菱形的边长，是解题的关键.

【变式2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线

BD的垂线交BA的延长线于点E

(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；

(2)若AC=8,BD=6,求AADE的周长.

【答案】⑴证明见解析；(2)18.

解：(1)•••四边形ABCD是菱形，

.'.AB/7CD,AC1BD,

，AE〃CD,ZAOB=90°,

VDE1BD,即NEDB=90°,

.•.NA0B=NEDB,

，DE〃AC,

二四边形ACDE是平行四边形；

(2)解：；四边形ABCD是菱形，AC=8,BD=6,

,,.AO=4,DO=3,AD=CD=5,

四边形ACDE是平行四边形，

，AE=CD=5,DE=AC=8,

.,.△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=l8.

类型三、利用菱形的性质求面积

已知：如图，菱形48。中，过4。的中点E作AC的垂线EF,交A8于点

M,交CB的延长线于点厂.如果FB的长是&,N4EM=30。.求菱形ABCD的周长和面积.

【答案】8"4月.

【分析】

首先连接BD,易证得四边形EFBD为平行四边形，即可求得AD的长,继而求得菱形

ABCD的周长，求出对角线的长度，利用菱形的面积=对角线乘积的一半求出面积.

解：连接BD

•••在菱形ABC。中，

J.AD//BC,ACA.BD.

XVEF1AC,

：.BD//EF.

.,•四边形EFBD为平行四边形.

:.FB=ED=O.

'：ZAEM=30°

:.BD=2瓜,AC=2五,

是AO的中点.

：.AD=2ED=2y/2.

菱形ABCI）的周长为4x2及=8&,

菱形ABCD的面积为万x2«）x2=4A/3.

【点拨】本题主要平行四边形、菱形的性质及应用，熟练掌握性质是解题的关键.

【变式1】如图，在菱形ABCD中，NA与NB的度数比为1：2,周长是48cm.求:

（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积.

【分析】

（1）首先根据菱形的性质可得菱形的边长为48-4=12cm,然后再证明△ABC是等边三

角形，进而得到AC=AB=12cm,然后再根据勾股定理得出BO的长，进而可得BD的长即

可；

（2）根据菱形的面积公式=对角线之积的一半可得答案.

解：（1）；菱形ABCD的周长是48cm,

AB=BC=CD=DA=12cm,

又：NABC与/BAD的度数比为1：2,ZABC=60°,

.,.△ABC是正三角形，AC=AB=12cm,又/ABO=30。，

；.A0=6cm,BO=AB2-AO2=673cm>BD=12Qcm,

(2)S菱形ABCD=gACBD=72bcm2.

【变式2】如图，四边形ABC。是菱形，AC=8,BD=6,O”_LAB于点〃，求

的长度.

24

【答案】DH=三

【分析】根据菱形的性质与勾股定理求出AB,最后由菱形ABCO的面积

=ABDH=-ACBD进行求解.

2

解：•••四边形ABCD是菱形，AC=8.BD=6,

：.A0=-AC=4,BO=-BD=3,ZAQB=90°，

22

在汝A4QB中，山勾股定理得AB=5,

♦.,菱形ABCD的面积=ABDH=-ACBD,

2

:.5DH=-xSx6,

2

24

:.DH=——.

5

【点拨】本题考查菱形的性质，勾股定理，菱形的面积计算：①利用平行四边形的面积

公式；②菱形面积=,。人(。、〃是两条时角线的长度).

2

类型四、利用菱形的性质证明

©>4.如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE=DE,连接CE.

(1)求证：CE=DE.

(2)当BE=2,CE=1时，求菱形的边长.

【分析】

(1)证AABET^CBE(SAS),即可得出结论；

(2)连接AC交BD于H,先由菱形的性质可得AHLBD,BH=DH,AH=CH,求出

BH、EH的长，由勾股定理求出AH的长，再由勾股定理求出AB的长，即可得出结果.

解：(1)；四边形ABCD是菱形，

.•.ZABE=ZCBE,AB=CB,

在^ABECBE中，

'AB=CB

<ZABE=NCBE,

BE=BE

/.△ABE^ACBE,

，AE=CE,

VAE=DE,

.*.CE=DE；

(2)如图，连接AC交BD于H,

•••四边形ABCD是菱形，

AAHIBD,BH=DH,AH=CH,

VCE=DE=AE=I,

，BD=BE+DE=2+1=3,

.,.BH=—BD=-,EH=BE-BH=2--=—,

2222

在RtAAHE中,由勾股定理得：AH=JAE2_EH2=

在RSAHB中，由勾股定理得：AB=JB四+AH?

.•.菱形的边长为百.

【点拨】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌

握全等三角形的判定和勾股定理是解题的关键.

【变式1】已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接

AE,CF,求证：△ADE^ACDF.

解：试题分析：山菱形的性质得出AD=CD,由中点的定义证出DE=DF,山SAS证明

△ADE丝ZXCDF即可.

试题解析：；四边形ABCD是菱形，，AD=CD,..•点E、F分别为边CD、AD的中点，

；.AD=2DF,CD=2DE,；.DE=DF,在△ADE和△CDF中，VAD=CD,ZADE=ZCDF,

DE=DF,/.△ADE^ACDF(SAS).

考点：菱形的性质；全等三角形的判定.

【变式2】如图，在菱形ABCD中，过点D分别作DE_LAB于点E,作DF_LBC于点

F.求证：AE=CF.

【分析】

先由菱形的性质得到AD=CD,ZA=ZC,再由AAS证得AAPEMACDR,即可

得出结论.

证明：•••四边形ABCO是菱形，

:.AD^CD，ZA=NC,

'.'DE±AB>DF±BC,

：.AAED=ACFD^°,

在ZVLOE和△CDF中，

NAED=NCFD

<NA=NC,

AD=CD

AADE=^CDF(AAS),

：.AE=CF.

【点拨】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性

质和全等三角形的判定与性质是解题的关键.

类型五、添加一个条件证明四边形是菱形

C»5.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,8D相交于点。，点E,F在BD

上，且BE=DF.

(1)求证：AABE也CDF；

(2)不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECE是菱形；并给予证明.

【分析】

(1)由四边形ABCO是平行四边形，可得AB=CD,AB〃CD,再证明

ZABE=ZCDF,从而可得答案；

(2)补充的条件是：ACJ.3D.(答案不唯一)山四边形ABCD是平行四边形，可

得O4=0C,OB=OD,再证明OE=O尸，证明四边形AECF是平行四边形，从而可得

结论.

(1)证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，

AB=CD,AB//CD.

：.ZABE=ZCDF.

又：BE=DF，

：.^ABE^CDF(SAS\.

(2)补充的条件是：ACrBD.(答案不唯一)

证明：•••四边形A3C。是平行四边形，

，Q4=0C，OB=OD.

BE=DF，

：.OE=OF.

/•四边形AECF是平行四边形.

又：ACLBD,

二四边形Afb是菱形.

【点拨】本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判

定，掌握以上知识是解题的关键.

【变式1】如图，△ABC中，。、E分别是边45、4c的中点，点厂是8c上一点，NB

=NDEF.

(1)求证：四边形8DEF是平行四边形；

(2)直接写出当AA5C满足什么条件时，四边形尸是菱形.

【分析】

(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OE〃BC,然后证

明根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；

(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形，得出推出A8=8C即可.

解：(1)：点。、E分别是边AB、AC的中点，

DE是△ABC的中位线.

DE//BC.

：.NB=NADE.

又NB=/DEF.

ZADE=NDEF.

BD//EF.

'：DE//BC,BD//EF,

/.四边形BDEF是平行四边形.

(2)答案不唯一，如AB=BC.

*/OE是△ABC的中位线

：.BD=—AB,BF=—BC

22

,:AB=BC

：.BD=BF

：.aBDEF是菱形

【点拨】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定以及菱形与

平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键.

【变式2】如图，在RtAABC中，ZB=90°,BC=5后，ZC=30°.点D从点C出发

沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以

每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止

运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF_LBC于点F,连接DE、EF.

(1)AC的长是,AB的长是.

(2)在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么

线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由.

(3)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.

【答案】(1)AB=5,AC=10；(2)EF与AD平行且相等；(3)当t=3时，四边形AEFD

3

为菱形

【分析】

(1)在RSABC中，NC=30。，贝l」AC=2AB,根据勾股定理得到AC和AB的值.

(2)先证四边形AEFD是平行四边形，从而证得AD〃EF,并且AD=EF,在运动过程中关

系不变.

(3)求得四边形AEFD为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出AE=AD时，求出

t的值，进而得出答案.

(1)解：二•在RSABC中，ZC=30°,

，AC=2AB,

根据勾股定理得：AC2-AB2=BC2,

A3AB2=75,

AAB=5,AC=10；

（2）EF与AD平行且相等.

证明：在ADFC中，ZDFC=90°,ZC=30°,DC=2t,

ADF=t.

又丁AE=t,

AAE=DF,

VABIBC,DF1BC,

・・・AE〃DF.

・・・四边形AEFD为平行四边形.

.・.EF与AD平行且相等.

（3）解：能；

理由如下：

VAB1BC,DF±BC,

・・・AE〃DF.

又・.・AE=DF,

・♦・四边形AEFD为平行四边形.

VAB=5,AC=10.

AAD=AC-DC=10-2t.

若使口AEFD为菱形，则需AE=AD,

即1=10-2l,解得：1=—.

3

即当时，四边形AEFD为菱形.

3

故答案为：（1〉AB=5,AC=10；（2）EF与AD平行且相等；（3）当t=W时，四边形

3

AEFD为菱形.

【点拨】本题考查平行四边形、菱形的判定与性质，以及30。角的宜角三角形的性质，

熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.

类型六、证明已知四边形是菱形

罂，6.如图，oABCD中，BC=2AB,AB1AC,分别在边BC、AO上的点E

与点尸关于AC对称，连接EF、AE.CF、DE.

(1)试判定四边形AECE的形状，并说明理由；

(2)求证：AE±DE

【答案】(1)四边形AEC产为菱形，理由详见解析；(2)详见解析

【分析】

(1)根据题意可证明△AQEgACOE,再由OE=OF,E尸_LAC可得到四边形

AECb是菱形；

(2)根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解.

解：解：(1)四边形AECR为菱形，理由如下

由口ABCD可得AD//BC,从而ZC4F=ZACE

设AC与Ef相交于点。

•••点E与点/关于AC对称

/.OE=OFS.EF±AC

在AAOb和ACQE中

:.AAOFACOE

...Q4=0C，又OE=OF,EFJ_AC

二四边形AECF为菱形，

(2)VABVAC>据(1)EF1AC

EF//AB

又,；OA=OC：.BE=CEAF=DF

■■AE1DE.

【点拨】此题主要考查菱形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、

菱形的判定定理及直角三角形的性质.

【变式1】如图，在中，对角线AC与BD相交于点。，点E,尸分别在BO

和的延长线上，且DE=BF,连接AE,CF.

(1)求证：&ADE冬YCBF；

(2)连接A/，CE,当3。平分NA8C时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请

说明理由.

【分析】

(1)利用SAS证明AADERCBF即可求解；

(2)先证明四边形AFCE是平行四边形，再证明对角线互相垂直即可得到为菱形.

解:(1)•••四边形ABCD是平行四边形,

，AD=BC,NADB=/CBD,

又；NADB+NADE=180。，ZCBF+ZCBD=18O0,

,ZADE=ZCBF

在AADEfUACBF中

/.△ADE^ACBF；

(2)四边形AFCE是菱形

理由如下：

如图，连接AP，CE,

由(1)得^ADE^ACBF

.•.CF=AE,ZE=ZF

；.AE〃CF

AAEPCF

...四边形AFCE是平行四边形

当BD平分/ABC时，ZABD=ZCBD

又：AD〃CB,

二ZADB=ZDBC

.•.NABD=NABD

/.AD=AB=BC

...△ABC为等腰三角形

由等腰三角形性质三线合一可得AC1EF

...平行四边形AFCE是菱形

【点拨】此题主要考查特殊平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟知菱形的判定定

理.

【变式2】如图，将AABC沿着AC边翻折，得到AADC,且AB//C0.

(1)判断四边形ABCQ的形状，并说明理由；(2)若AC=16,BC=10,求四边

形ABC。的面积.

【分析】

(1)由折叠的性质得出AB=AD，BC=CD,ABAC=ADAC，ZBCA=ZDCA,

由平行线的性质得出NBC4=N£)G4,得出NBAC=ZQ4c=N3C4=Nr>C4,证出

AD/IBC,AB=AD=BC=CD,即可得出结论；

(2)连接BD交ACT。，由菱形的性质得出AC_LBO,OA=OB=-AC=S,

2

OB=OD,由勾股定理求出QB=J3C2_OC2=6,得出6。=2。6=12,由菱形面积

公式即可得出答案.

解：解：(1)四边形ABCO是菱形；理由如下：

,/AABC沿着AC边翻折，得到AADC,

•••AB=AD，BC=CD，ABAC=ADAC,ZBCA^ZDCA,

'：AB//CD，

•••ZBCA=ZDCA,

：.ABAC=ADAC=NBCA=ZDCA.

AAD/IBC,AB=AD=BC=CD，

，四边形ABC。是菱形；

(2)连接BO交AC于。，如图所示：

•.•四边形ABCQ是菱形，

/.AC1BD,OA=OB=：C=8,OB=OD,

2

OB=y]BC2-OC2=V102-82=6-

，BD=2OB=12,

：.四边形ABC。的面积=-ACxBD=lxl6xl2=96.

22

【点拨】本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等

知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明四边形ABC。是菱形是解题的关键.

类型七、用菱形的性质与判定求角度

©^7.如图1,在菱形A5CD中，AC=2,BZ>=26，AC,3。相交于点O.

(1)求边AB的长；

(2)求N5AC的度数；

(3)如图2,将一个足够大的直角三角板60。角的顶点放在菱形ABC。的顶点A处，绕

点A左右旋转，其中三角板60。角的两边分别与边8C,CO相交于点E,F,连接ER判

断AAEf是哪一种特殊三角形，并说明理由.

【分析】

(1)由菱形的性质得出OA=1,OB=^，根据勾股定理可得出答案；

(2)得出△ABC是等边三角形即可；

(3)由4ABC^AACD是等边三角形，利用ASA可证得△ABEgZ\ACF；可得AE=AF,

根据有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形推出即可.

解：(1):四边形ABCD是菱形，

AACIBD,

...△AOB为直角三角形，且OA=，AC=1,OB=-BD=y[?>.

22

•#-AB=ylo^+OB2=J/+(G)2=2；

(2)•.•四边形ABCD是菱形，

，AB=BC,

由⑴得：AB=AC=BC=2,

/.△ABC为等边三角形，

ZBAC=60°；

(3)△AEF是等边三角形，

•由(1)知，菱形ABCD的边长是2,AC=2,

.,.△ABC和4ACD是等边三角形，

NBAC=NBAE+NCAE=60。，

ZEAF=ZCAF+ZCAE=60°,

ZBAE=ZCAF,

在4ABE和4ACF中，

.♦.△ABET/XACF(ASA),

，AE=AF,

■:NEAF=60°,

.••△AEF是等边三角形.

【点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质以及图

形的旋转.解题的关键是熟练掌握菱形的性质.

【变式1】如图所示，点A是线段8。上一点，AABD和AACE都是等边三角形.

(1)连结BE,CD,求证：BE=CD；

(2)如图所示，将AABD绕点A顺时针旋转得到AAB7)'.

①当旋转角为_____度时，边A。'落在AE上；

②在①的条件下，延长交CE于点P,连结即'，C。'.当线段AB、AC满足什

么数量关系时，与ACPD全等？并给予证明.

【分析】

(1)根据等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC,NBAD=NCAE=60,，然

后求出=再利用“边角边''证明ABAE和AmC全等，根据全等三角形对

应边相等即可得证；

(2)①求出//ME，即可得到旋转角度数；

②当AC=2AB时，&BDD与ACPD'全等•根据旋转的性质可得AB=BD=DD>=AD，

然后得到四边形A8D。'是菱形，根据菱形的对角线平分一组时角可得

ZABD'=NDBD=30"，菱形的对边平行可得DP//BC，根据等边三角形的性质求出

AC=AE，/ACE=60。，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出

ZPCD'=ZACD=3Q\从而得到

ZABD=NDBD'=NBD'D=ZACD=ZPDC=30，然后利用“角边角”证明^BDD

与△CP。'全等.

解：(1)证明：•.•△45。和A4CE都是等边三角形.

..AB=AD，AE^AC,/BAD=/CAE=60，

ZBAD+ZDAE=ZCAE+ZDAE，

即，84£=/ZMC,

在和AD4c中，

AB=AD

<NBAE=ZDAC,

AE=AC

.-.△BAE^AZMC(SAS),

BE=CD:

(2)①当旋转角为60。时，边A。'落在AEk.

理由如下：；NBAD=NCAE=60S

/.NDAE=180°-60x2=60°，

•••边47落在AE上，

•••旋转角=//ME=6(T.

故答案为60.

②当AC=2AB时，ABDD与KPD'全等.

理由如下：由旋转可知，A8与AD重合，

：.AB=BD=DD=AD，

四边形AB。。是菱形，

ZABD'=/DBD'=-/ABD='x60。=30。，DP//BC，

22

•.•△ACE是等边三角形，

AC^AE,/ACE=60，

•.•AC=248,

:.AE^2AD,

ZPCD'=ZACD'=-=-x605=30,

22

又-：DP//BC，

ZABD=NDBD=NBD'D=NA3=NPCD=NPDC=30°，

在AB。。'与△CP。'中，

NDBD'=ZPCD'

<BD'=CD',

ZBD'D=NPD'C

..△BDD丝^CPD(ASA).

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及旋转的性质,

综合性较强，但难度不大，熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定时提到过.

【变式2】如图，AE/7BF,AC平分NBAE,且交BF于点C,BD平分NABF,且交

AE于点D,AC与BD相交于点O,连接CD

(1)求NAOD的度数；

(2)求证：四边形ABCD是菱形.

试题分析：(1)首先根据角平分线的性质得到NDAC=NBAC,ZABD=ZDBC,然后

根据平行线的性质得到NDAB+NCBA=180。，从而得到NBAC+/ABD=L

2

(ZDAB+ZABC)=—xl80°-90°,得到答案/AOD=90°；

2

⑵根据平行线的性质得出NADB=NDBC,NDAC=/BCA,根据角平分线定义得出

NDAC=/BAC,ZABD=ZDBC,求出NBAC=NACB,ZABD=ZADB,根据等腰三角形

的判定得出AB=BC=AD,根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得

出答案.

试题解析：(1)VAC,BD分别是NBAD、NABC的平分线，NDAC=NBAC,

ZABD=ZDBC,：AE〃BF,/.ZDAB+ZCBA=180°,AZBAC+ZABD=—

2

(ZDAB+ZABC)=—xl80°=90°,AZAOD=90°；

2

⑵证明：；AE〃BF,；./ADB=/DBC,/DAC=/BCA,：AC、BD分别是/BAD、

ZABC的平分线，，NDAC=/BAC,ZABD=ZDBC,/.ZBAC=ZACB,ZABD=ZADB,

，AB=BC,AB=AD

，AD=BC,：AD〃BC,...四边形ABCD是平行四边形，：AD=AB,.•.四边形ABCD

是菱形.

考点：菱形的判定.

类型八用菱形的性质与判定求线段

C»8.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O,AB=5,AO=4,求BD

的长.

【分析】根据菱形的性质得出ACJ_BD,DO=BO,然后根据RQAOB的勾股定理求

出B0的长度，然后根据BD=2BO求出答案.

解：•••四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于。，/.AC1BD,DO=BO,

VAB=5,A0=4,；.B0=,52—42=3,，BD=2BO=2x3=6

考点：菱形的性质

【变式I】如图，在AABC和ADCB中，AB=DC,AC=DB,AC与DB交于点M.

(1)求证：△ABC^ADCB

(2)过点C作CN〃BD,过点B作BN〃AC,CN与BN交于点N,试判断线段BN

与CN的数量关系，并证明你的结论.

解：(1)如图，在AABC和ADCB中，

VAB=DC,AC=DB,BC=CB,

.".△ABC^ADCB.4分

(2)据已知有BN=CN.证明如下：

•；CN〃BD,BN//AC,

四边形BMCN是平行四边形.…•…6分

由(1)知，ZMBC=ZMCB,；.BM=CM,

二四边形BMCN是菱形.；.BN=CN.(8分)

(1)由SSS可证△ABC^ADCB；

(2)BN=CN,可先证明四边形BMCN是平行四边形，由(1)知，ZMBC=ZMCB,

可得BM=CM,于是就有四边形BMCN是菱形，则BN=CN

【变式2】如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD/7BC,AD=2BC,ZABD

=90°,E为AD的中点，连接BE.

(1)求证：四边形BCDE为菱形；

(2)连接AC,若AC平分/BAD,AB=2,求菱形BCDE的面积.

【分析】(1)根据菱形的判定证明即可；(2)根据等边三角形的性质菱形的性质和三

角函数解答即可.

(1)证明：；E为4。的中点，

.\AD=2DE=2AE,

"：AD=2BC,

：.DE=BC,

又

.••四边形BCDE为平行四边形，

VZABD=90°,E为AO中点，

.,.在RSABO中，AD=2BE,

：.BE=DE,

，四边形BCDE为菱形；

（2）解：过点于点凡如图所示：

丁AC平分NBA。，

：.ZBAC=ZDAC,

又♦.♦4£）〃8C,

.".ZBCA^ZDAC,

：.ZBCA=ZBAC,

：.AB=BC,

：.AB=BC=BE=DE=AE=2,

...△ABE为等边三角形，

：.ZBAE=60°,NBDA=30。

二在RtAABO中，BD=>/3AB=2y/3

...在中，BF=BD=73