华东师大版数学九年级下册期末模拟试题50题含答案

华东师大版数学九年级下册期末模拟试题50题含答案

（填空题+解答题）

一、填空题

1.一般抛物线y=以2+〃x+c（A#0）的顶点是最低（高）点，当苫=-二时，二

2a

次函数>=加+打+。有最小（大）值尸.

4ac-b2

【答案】

4a

【解析】略

2.如图，AB是半圆。的直径，点C,。在半圆。上.若NABC=50。，则NBQC的度

数为°，

【答案】140

【分析】先求出NA的度数，再利用圆内接四边形的性质求出N8OC的度数.

【详解】解：•二AB是半圆。的直径，

ZACB=90°,

'：乙48c=50。，

NA=40°,

•••四边形ABQC是圆内接四边形，

：.ZBDC+ZA=18Q°,

：.ZBDC=140°,

故答案为：140.

【点睛】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟记各定理及性质是解题的

关键.

3.如图，在平面直角坐标系中，点A（4,7）在抛物线y=1上，过点A作y轴的垂

线，交抛物线于另一点注点C、。在线段AB上，分别过点C、。作x轴的垂线交抛

物线于£、尸两点，当四边形C。尸E为正方形时，线段C。的长为.

y

【答案】-4+4石##46-4

【分析】通过待定系数法求出函数解析式，然后设点C横坐标为〃，，则CD=CE=2如

从而得出点E坐标为（〃?，7-2机），将点坐标代入解析式求解.

【详解】解：把4（4,7）代入y=ax2-1中得7=16。-1,

解得用;，

设点C横坐标为m,则CD=CE=2m,

二点尸坐标为(.m,7-2m),

1,

/.7-2tn--m~-1,

2

解得机=-2-2x/5(舍)或m--2+2石.

/.CD=2m--4+4y/5.

故答案为：-4+46.

【点睛】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是利用待定系数法求得函数解

析式.

4.已知圆锥的侧面展开的扇形面积是6兀，圆心角是60。，则这个圆锥的底面圆的半径

是一

【答案】1

【分析】设扇形的半径为广，圆锥的底面半径为凡利用扇形的面积公式求出厂，再根

据扇形的弧长=圆锥底面圆的周长，构建方程求出R即可.

【详解】解：设扇形的半径为广，圆锥的底面半径为R

由题意，驷i=6-

360

解得：r=6或-6（舍弃），

二•扇形的弧长=圆锥底面圆的周长，

180

：.R=],

故答案为：L

【点睛】本题考查圆锥的计算，弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌

握基本知识，属于中考常考题型.

5.如图，AB是。的直径，A3的长为8cm,点。在圆上，且ZADC=30。，则弦

AC的长为cm.

【答案】4

【分析】连接。C,根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，AO=C。可证

△AOC是等边三角形，得到AC=gA8,即可求出.

【详解】连接0C,如图

ZADC=30°,

・,.ZAOC=60°,

•••△AOC是等边三角形，

：.AC=AOf

〈AB是直径，且AB=8cm,

AC=-AB=-x8=4cm,

22

故答案为：4.

【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧（等弧）所对圆周角等于圆心角的一

半是解题关键.

6.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为刈=-1,x2=2,则二次

函数y=x2+mx+n中，当yVO时，x的取值范围是；

【答案】-l<x<2

【分析】根据方程的解确定抛物线与x轴的交点坐标，即可确定y<0时，x的取值范

围.

【详解】由题意得：二次函数y=x2+mx+n与x轴的交点坐标为(-1,0),(2,0),

Va=l>0,开口向上，

...y<0时，x的取值范围是-1<XV2.

【点睛】此题考查二次函数与一元二次方程的关系，函数图象与x轴的交点横坐标即

为一元二次方程的解，掌握两者的关系是解此题的关键.

7.二次函数y=af+bx的图象如图，若一元二次方程or?+/zr=机有实数根,则机的

最小值为________

【答案】-3

【分析】如图，画直线旷=2由图像可得：当直线丫=〃，与函数y=aY+bx的图像有

交点时，则方程依2+法=机有实数根，从而可得到答案.

【详解】解：如图，画直线》=也

当直线丫=也与函数丫=以2+汝的图像有交点时,

则方程OX。+6X=加有实数根,

由图像可得：当直线y=加过y=o?+"的顶点时，机有最小值，

此时：加=-3.

故答案为：-3.

【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，掌握利用图像法解一元二次

方程是解题的关键.

8.如图，已知点A(l,0)、B(7,0),OA、OB的半径分别为1和2,当。A与。B

相切时，应将。A沿x轴向右平移个单位.

【答案】3或5或7或9.

【详解】试题分析：当外切且。B在。A的右侧时，。人向右平移3个单位；

当内切且圆心B在圆心A的右侧时，OA向右平移5个单位；

当内切且圆心B在圆心A的左侧时，OA向右平移7个单位；

当外切且。B在。A的左侧时，OA向右平移9个单位.

故答案是3或5或7或9.

考点：圆与圆的位置关系.

9.已知4(一2,%)、B(3,丫2)、C(5,为虚抛物线Y=F-4X+C上的三点，则弘，

%，%的大小关系是.

【答案】

【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=x2-4x+c=(x-2)2-4+c,开口向上，

对称轴为直线x=2,然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小.

【详解】解：：抛物线y=d—4x+c=(x—2)2-4+C,开口向上，对称轴为直线x=

2,

对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边)，随x的增大而增大，

二三个点离对称轴越近纵坐标越小，

由2-(-2)=4,3-2=1,5-2=3,

V4>3>1,

故答案为：>')>y3>y2.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其

解析式.也考查了二次函数的性质.

10.如图，的半径是5,A8是O的弦，C是AB上一点，AC=6,BC=2,点

P是。上一动点，连接OC,则OC=，点P与点C之间的最小距离是

【答案】V135-713##-713+5

【分析】过点。作OG_L他于点G,连接OP、OC、OB、PC,根据勾股定理得

OG2=OB2-BG2=OC2-CG2,求出。C,再利用三角形三边关系求出PC的取值范

围，即可得出答案.

【详解】解：如图，过点。作于点G,连接。尸、OC、OB、PC,

VAC=6,BC=2,

：.AB=AC+BC=6+2=8,

VOGLAB,。为圆心，AB是，O的弦，

BG=-AB=-x8=4,

22

：.GC=BG-BC=2,

由勾股定理得：OG2=OB2-BG2=OC2-CG2,

BP52-42=OC2-22,

解得OC=g,

又；OP+OC>PC>OP-OC,

：-5+y/[3>PC>5-y/\3,

.•.点P与点C之间的最小距离是5-加,

故答案为：713,5-713.

【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理以及三角形三边关系，解决问题的关键是遇弦

作弦心距构造直角三角形.

11.如图，在。0的内接四边形A8CZ）中，AB=AD,NC=120。，点E在弧A。

上.若AE恰好为。。的内接正十边形的一边，弧OE的度数为.

【答案】84。

【详解】连接30,0A,0E,OD,

•••四边形A8C。是圆的内接四边形，

二Zfi4T>+ZC=180°,

,/ZC=120°,

/.440=60。，

AB^AD,

△相£）是正三角形，

ZABD=60°,ZAOD=2ZABD=120°,

：AE恰好是。的内接正十边形的一边，

4OE=图=36。，

10

Z.ZDOE=120°-36°=84°,

二DE的度数为84°.

12.如图，已知扇形的圆心角为60。，半径为2,则图中弓形（阴影部分）的面积为

【答案】不-6

【分析】根据弓形的面积=扇形的面积-三角形的面积求解即可.

【详解】解：如图，ACLOB,

•••圆心角为60。,OA=OB,

是等边三角形，

OC=^OB=\,

：.AC=yJz2-I2=后,

SAOAB=；OBxAC=yx2x6=6，

♦•c^_60^X22_2

•3扇形UA4OB......-------，

36UJ

•二弓形（阴影部分）的面积=S扇影OA3-兀一,

故答案为：I兀-6.

【点睛】本题考查扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角

形的面积的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键.

13.如图，正方形A8C。的边长为2,分别以A3、BC为直径，在正方形内作半圆，

则图中阴影部分的面积为平方单位.

【答案】卜-？

【分析】先判断出两半圆交点为正方形的中心，连接OB,则可得出所产生的四个小弓

形的面积相等，继而根据阴影部分的面积=RSADC面积-2个小弓形的面积可得出答

案.

【详解】解：易知：两半圆的交点即为正方形的中心，设此点为0,连接AC,则AC

必过点0,连接0B,

则图中的四个小弓形的面积相等，

两个半圆的面积-为△ABC的面积=4个小弓形的面积，

TT

两个小弓形的面积为（彳-1）,

2

TTTT

图中阴影部分的面积=RIAADC面积-2个小弓形的面积=2-（£-1）=3-g.

22

TT

故答案是：（3-

【点睛】此题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是得出两半圆的交点是正方形

的中心，求出小弓形的面积，有一定难度，注意仔细观察图形.

14.如图，A8是；。的直径，BC是。的切线，8为切点.若AB=8,

3

tanZBAC=-,则3C的长为______.

4

【答案】6

【分析】先根据切线的性质得到NA8C=90。，然后利用正切的定义求出3C的长.

【详解】解：:BC是。。的切线，A3是。。的直径，

：.AB.LBCf

：.ZABC=90°f

*.*tanABAC=,AB=S,

AB4

:・BC=6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查了切线的性质及解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半

径是解决问题的关键.先根据切线的性质得到NABC=90。，然后利用正切的定义求出

BC的长.

15.如图，。。是AABC的外接圆，NBOC=98。，则NA的度数是.

【分析】根据圆周角定理，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可直接

得出结果.

【详解】；BC=BC，

：.ZA=^ZBOC,

"：NBOC=98。，

NA=49°,

故答案为49。.

【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理.

16.如图，△A3。内接于0,A。为直径，CD为;。的切线，连接BC,若

CD=AD,AB=2,8c=2疝，则89=.

【答案】6

【分析】过点B作BELCD于点E,则ZBED=ZBEC=90°,根据切线的性质可得

AD1CD,ZABD^9O°,进而得到A。〃=ZAB£>=90。，可得到

丫22x

一EBA_BDA,设8£>=x(x>0),CD=AD^a(a>0),可得BE=—,DE=—,

aa

2x

从而得到CE=CD-DE=a--,在Rl.498和RtABEC中，根据勾股定理可得关于

a

x,a的方程组，即可求解.

【详解】解：如图，过点B作于点£则NB£D=NBEC=90。,

••.A。为直径，CD为。的切线，，

.・・AD1CD,ZABD=9O°,

♦：BEtCD,

：.AD//BE,/BED=ZABD=90°,

:・/EBD=/BDA,

:..EB4.BDA,

.BEBDDE

•・访一而一罚’

设3£>=x(x>0),CD=AD=>0),

■:AB=2,

.BE_xDE

•,T=«=V,

：.BE=—,DE=—,

aa

2x

：.CE=CD-DE=a——，

a

在RtAD8中，AD2=BD2+AB2>

a2=f+2?①，

在RtABEC中，BE2+CE-=BC2,

/.4X2

即—r+a'-4XH——=52②，

a~a

①代入②整理得：x4-2x3-20x2-8x-96=0,

BP(X-6)(X+4)(X2+4)=0,

解得：%=6,々=-4(舍去)，

即8。=6,

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，根据题

意得到是解题的关键.

17.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在第一象限，顶点C在第二

象限，顶点3在抛物线)=a2(4>0)的图像上.若正方形04BC的边长为亚，0C与

y轴的正半轴的夹角为15。，则a的值为一.

V

【答案】上

【分析】连接08,过点8作BELy轴于点E,则由勾股定理求出。8的长，再得到

NEO2=30。，得到8E=g03=gx2=l,由勾股定理求出0E,的到点8的坐标，

把点B的坐标代入y=即可求解；

【详解】连接08,过点8作BELy轴于点E,则

OB=^OA2+AB2=J(&)+诋2=74=2

,//C0B=15°,ZCOB=-ZCOA=-x90°=45°

22

'Z£OB=45o-15°=30°

BE=-OB=-x2=\

22

•*-OE=yJOB2-BE2=V22-l2=6

・,•点8的坐标为(1,G)把点8的坐标代入y=o?

得：>/3=axl2

:.a=yfi

故答案为：\[3.

【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数几何综合，也考查了正方形的性质，

勾股定理解三角形.添加合适的辅助线是解题的关键.

18.直线产x+b与抛物线>=交于A,B两点，0为坐标原点，若。4,03,则匕

的值是.

【答案】2

【分析】联立直线和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系求

出两个交点的横纵坐标的积，由相似三角形的判定和性质转化为线段的关系，代入坐

标的乘积后求解匕的值.

【详解】解：设A(xi,y/)B6,y2)

联立方程可得

y=x+b

'_12，

y~2

即f-2x-26=0有两个不同于原点的解，

XI+X2=2,xiX2--2b,△=4+83>0,

2

如图：作AC_Lx轴，轴，则ZACO=N8ZX>=90。，

・・・ZAO8=90。,

:.ZAOC+N8O0=90。，

•:/BOD+Z.OBD=90°,

:.ZAOC=ZOBDf

：.△AOCSAOB。，

•..-A-C=-O-C-,

ODBD

VAC=y1,OD=x2,OC=|x)|,BD=y2,

.•----,

%必

y,y2=-玉々>

.".xiX2+yiy2=0,

.'.X1X2+（.Xl+b）（X2+S）=0,

整理可得2X/X2+6（X/+X2）+〃=0,

.\b2-2h=0,

:“b=0（舍）或6=2；

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查了直线方程与抛物线的位置关系的应用，处理直线与曲线的相

交问题一般是联立方程，通过方程的解的情况来讨论直线与曲线的位置情况.

19.如图，矩形ABCO中，AB=4,AD=6,E为射线8c上一动点（不与C重合），

△COE的外接圆交AE于P,若CP=CD,则AP的值为.

【答案】y

【分析】连接PD,如图，利用圆周角定理证明/EPD=90。，ZCDP=ZCED,再证

明NAEB=NCED,则可判断△ABE丝Z\DCE,所以BE=CE=gBC=3,再利用勾股

定理计算出AE,然后证明RtAADP^RtAEAB,从而利用相似比可计算出AP的长.

【详解】连接PD,如图，

VZECD=90°,

ADE为直径

・・・NEPD=90。,

VCP=CD,

/.ZCDP=ZCED,

ZAEB=ZCDP,

AZAEB=ZCED,

VAB=CD,NB=NECD,

AAABE^ADCE,

.*.BE=CE=yBC=3,

在RSABE中，AE=正+42=5,

VAD^BC,

AZBEA=ZDAE,

ARtAADPsRsEAB,

.APADnnAP_6

BEAE35

；.AP咚

1Q

故答案为1.

B

【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心、矩形的性质、圆周角定理和相似三角形的

判定与性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

20.已知二次函数y=(x-2)2-3,当XV2E1寸，y随x的增大而(填“增大''或

“减小”).

【答案】减小

【分析】根据题目的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当x<2时，y随x的增

大如何变化，本题得以解决.

【详解】•.•二次函数y=(x-2)2-3,

二抛物线开口向上，对称轴为：x=2,

.♦.当x>2时，y随x的增大而增大，x<2时，y随x的增大而减小，

故答案为：减小.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性

质解答.

21.如图，在RSABC中，NC=90。，BC=3,AC=4,D、E分别是AC、8c上的一点，

且QE=3,若以。E为直径的圆与斜边AB相交于"、N,则MN的最大值为

12

【答案】y

【详解】过0作OG垂于G,连接0C,

3

VOC=-,只有C、0、G三点在一条直线上0E最小,

连接0M,

.♦.OM=2,

2

只有0G最小，GM才能最大，从而MN有最大值，

作CF_LAB于F,

；.G和F重合时，MN有最大值，

VZC=90°,BC=3,AC=4,

.\AB=VAC2+fiC2=5.

,.,^-ACBC=yAB-CF,

••CF-5,

・“1239

..0G=-=—,

5210

6

二MG=4OM2-OG2=y>

AMN=2MG=y,

12

故答案为

点睛：本题考查了直线与圆的位置关系，涉及到的知识点有垂线段最短、垂径定理、

勾股定理，过O作OG垂于G,得出C、O、G三点在一条直线上OE最小是解题的关

键.

22.如图，。。是AABC的外接圆，已知4。平分NBAC交。。于点交8C于点

E,若BD=6,AE=5,AB=7,贝ljAC=.

、45

【答案】y

【分析】根据AD平分NBAC,可得NBAD=NDAC,再利用同弧所对的圆周角相

等，求证△ABDs^BED、△ACE^AADB,利用其对应边成比例可得，然后将已知

数值代入即可求出AC的长.

【详解】〈AD平分NBAC,

/.ZEAC=ZBAD,

•:AB=AB，

ZC=ZD,

・・・△ACE^AADB,

.ACAE口口AC5

.・——=——，即：——=-,

ADABAD7

AD平分NBAC,

:.DB=CD，

・•・ZBAD=ZEBD,

YZBDA=ZBDE,

AAABD^ABED,

.ADBD5+DE6

・・——=——,nn即：---=——

BDDE6DE

解得：DE=4或一9（舍去）,

，AD=AE+DE=5+4=9,

【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质和圆周角定理等知识点的理解和掌

握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握.

23.如图，己知RSABC的斜边AB=8,AC=4.以点C为圆心作圆，当。C与边AB

只有一个交点时，则。C的半径的取值范围是.

【答案】r=26或4<区4百.

【分析】作于。，如图，利用勾股定理计算出BC=475,再利用面积法计算

出CO=26,讨论：当。C与AB相切时得到,=26；当直线AB与。C相交，且边

A8与。。只有一个交点时，CAVECB.

【详解】作CDLAB于。，如图，在RtAABC中，8。=席二币=4"

-CD>AB=-AC'BC,二0=4x46=25当。C与AB相切时，F26；

228

当直线AB与。C相交，且边AB与。。只有一个交点时，4VW4G.

综上所述：当片2石或4<m46，0c与边AB只有一个公共点.

故答案为片26或4<;<473.

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设。。的半径为「，圆心。到直线/的距离

为“：直线/和。。相交Q4<r；直线/和。。相切od=r；直线/和。。相离=4>八

24.二次函数y=*_2ax+c（a>0）的图象过A（—3/）、3（—1,%）、C（2,y3）,

。（4,为）四个点，①若乂%>°，则一定有为”>°;②若弘”>0,则可能为%>0;

③若先”<0,则一定有X%<°；④若%为<0,则可能X必以上说法中正确有

__________.（填序号）

【答案】②③④

【分析】根据二次函数的增减性和对称性可得乂>M>%>%，根据）1%>0可得X，%

有可能同号，也有可能异号，由此即可判断①；根据MN>0可得丫2，丫3有可能同号，

也有可能异号，由此即可判断②；根据力以<0可得M>0，％<0,从而可得

>■,>0,<0,由此即可判断③；根据为以<。可得以>0,%<0，从而可得X>0，y2

有可能大于0,也有可能小于0,由此即可判断④.

【详解】解：二次函数旷=加一2融+4。>0）的对称轴为直线x=l,

则当x>i时，y随x的增大而增大，

由函数图象的对称性可知，X=5和x=-3的函数值相等，即为％；x=3和x=-l的函

数值相等，即为》2，

・点（5，匕）、（3,%）、C（2,%）、。（4,乂）均在这个抛物线上，且5>4>3>2>1,

若乂%>0,则%，为有可能同号，也有可能异号，所以>3%>0或）”4<。，说法①错

误；

若必然>0,则必，力有可能同号，也有可能异号，所以%%>0或%为<0,说法②正

确；

若必以<。，则）’4>°，为<。，所以其>。，为<0，则,后<0，说法③正确；

若为以<0,则以>0，%<0,所以y>0，乃有可能大于0,也有可能小于0,所以

乂必<0或芦%>°，说法④正确；

综上，说法正确的有②③④，

故答案为：②③④.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性和对称性是解题关

键.

25.如图，△ABC的内切圆。。与BC,CA,AB分别相切于点。，E,F.且AB=8,

AC=15,8c=17,则。。的半径是.

【答案】3

【分析】由题意根据勾股定理的逆定理可得三角形A8C为直角三角形，再根据切线长

定理即可求解.

【详解】解：如图，连接。£＞、OE、OF,

•••△ABC的内切圆。。与8C,CA,AB分别相切于点。，E.F,

：.OE±AC,OF±AB,AE=AF,

VAB=8,AC=15,BC=\1,

即82+152=172,

.♦.△ABC为直角三角形，

NA=90°,

四边形AEOF是正方形，

：.OE=OF=AE=AF,

设。。的半径是r,

则AF=AE=r,BF=BD=8-r,EC=DC=\5-r,

'：BD+DC=BC=11,

；.8-r+15-r=17,

解得r=3.

所以。。的半径是3.

故答案为3.

【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是利用切线长定理和勾股

定理的逆定理.

26.国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成，现在在某体育馆前的

草坪上要修剪出此图案.已知，每个圆环的内、外半径分别为4米和5米，图中重叠

部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，若修剪每平方米的人工费用为10元,

则修剪此图案所花费的人工费为元（乃取3）.

【答案】1270

【分析】根据环形的面积公式结合题意列出算式即可求解.

【详解】解：修剪草坪的面积为：（％x5?-万x4?）x5—1x8=45）-8x127（平方米）,

因此所用的人工费为10x127=1270（元），

故答案为：1270.

【点睛】本题主要考查环形的面积，掌握大圆面积-小圆面积=环形面积是关键.

27.在平面直角坐标系中，函数y,y2=ax+b,y3=ax+c,其中a,

b,c为常数，且a<0,函数弘的图象经过点A（1,0）,B（4，0）,且满足

-4<%<-3,函数y2的图象经过点（X2,0）；函数y3的图象经过点（x3,0）,若

m<x2<m+\,n<x3<n+\,且m,n是整数，则m=；n=

【答案】-33

【分析】根据二次函数对称轴的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可;

hc

【详解】解:由题意得，a+b+c=0,&=-£

aa

3b1+xcbe

——<-----=------L<-1,-3<x,=——<-2,

22a2-a

._a+b[b.

・♦3V玉=---=14—v4,

m=—3,凡=3；

故答案是：-3,3；

【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，准确计算是解题的关键.

28.爆炸区50机内是危险区，一人在离爆炸中心。点30〃?的A处（如图），这人沿射线

的方向离开最快，离开加无危险.

【答案】OA20

【分析】由于爆炸区50m内是危险区，那么当此人与爆炸中心O点的距离大于或等于

50m时无危险，即此时人不在。。内.

【详解】•••爆炸区50m内是危险区，一人在离爆炸中心。点30m的A处，

这人沿射线OA的方向离开最快，离开50-30=20m无危险.

故答案为OA,20.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系在实际生活中的运用.设。。的半径为r,点P

到圆心的距离OP=d,则有：①点P在圆外od>i■©点P在圆上od=r®点P在圆内0d

<r.分析出此人不在。。内是解题的关键.

29.若二次函数y=f+3x+c的图象经过点A(0,c),过点A作x轴的平行线，与抛物

线交于点B,则线段AB的长为—.

【答案】3

【分析】运用配方法求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的对称性得出点B的坐标，

由此即可求出AB的长.

3Q

【详解】解：9：y=x2+3x+c=(x+-)2+c--

24

3

...抛物线的对称轴是直线X=-]

过点A作X轴的平行线，与抛物线交于点B,

3

...点A,B关于直线对称，且4(0,c)

c)

AB=0-(-3)=3

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正确求出抛物线对称轴方程是解答

本题的关键.

30.如图，在扇形OAB中，ZAOB=J50,OA=2娓，点、M为0B上一前,连接AM,

将4M沿4W折叠得到△N4M,点O落在点N处.当AN与AB所在的圆相切

时，图中阴影部分的面积为.

【答案】5兀-6-24

【分析】连接ON交AM于C点，根据AN与A8所在的圆相切得NOW=90°，根据

△OAM沿AM折叠得到△MUf得NQ4〃=NMVW=45。，ONYAM,OA=NA,

ZMOA=ZMNA=75°,根据Z4O8=75。得NOAM=N/VM4=60。，在RtZiOCA中，

NOAN=90。，NO4M=45。，则ZAOC=45。，即可得OC=AC,在RtZkOCA中，设

OC=AC=x,根据勾股定理得，x2+x2=(2#)2进行计算即可得oc=Ac=2e，根

据NAO3=75。，ZAOC=45°WZC(9M=30°,在RtZiOMC中，NCOM=30°,则

0C=20M,在RtZkOMC中，设MC=x,则QM=2x,根据勾股定理得，

/+(2石)2=(2x)2,计算即可得MC=2,即4M=4C+CM=2G+2,即可得阴影部

分的面积：SmB-S^AOM,进行计算即可得.

-AN与AB所在的圆相切，

：.ANLOA,

二NQ4N=90°,

：AOAM沿AM折叠得到/XNAM,

ZOAM=ZNAM=45°,ONLAM,OA=NA,^MOA=ZMNA=15°,

'：ZAOB=75°,

NOMA=NNMA=|x(360°-"AN-ZMOA-ZMNA)=1x(360°-90°-75°-75°)=60°

在RtAOCA中，NOW=90。，NOAM=45。，贝ljZAC>C=45。，

OC=AC,

在RtZkOCA中，设OC=AC=x,根据勾股定理得，

x2+x2=(2A/6)2

2d=24

x2=12

x=2+,x=—2-75（舍），

即0C=AC=26,

"：ZAOB=75°,ZAOC=45°,

/.NCOM=ZAOB-ZAOC=75。-45°=30°

在RtaOMC中，ZCOM=30°,

则0C=20M,

在Rt/iOMC中，设〃C=x,则0M=2x,根据勾股定理得，

/+（2石尸=（2x）2,

X2+12=4X2

3/=12

x2=4

x=2,x——2（舍），

即MC=2,

AM=AC+CM=2y/3+2,

,阴影部分的面积：

S扇形AOB-SAAO”

=75xn（2向［J石+2）x2&

3602

=空-6-26

360

=5兀-6-26

即图中阴影部分的面积为5%-6-26，

故答案为：5万-6-26.

【点睛】本题考查了不规则图形的面积，切线的性质，折叠的性质，勾股定理，直角

三角形的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点.

二、解答题

31.己知二次函数的顶点坐标为（2,3）,且过点（1,0）,求此二次函数的解析式.

【答案】y=-3(x-2)2+3

【分析】把二次函数解析式设为顶点式，再把点(1,0)代入求解即可.

【详解】解：•••二次函数的顶点坐标为(2,3),

...可设二次函数解析式为y=”(x—2)?+3,

•.•二次函数经过过点(1,0),

.,.«(1-2)2+3-0,

/.a=-3,

.♦•二次函数解析式为y=-3(x-2)2+3.

【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，熟知待定系数法求二次函数解析式是解

题的关键.

32.已知，如图：A8是。。的直径，AB=AC,BC交。。于。，OE_LAC于点E,求

证：OE是。。的切线.

【答案】见解析

【分析】连接O。，根据等腰三角形的性质证得NC=NA8C,NODB=/ABC,进而

得到即可判定OD〃AC,由平行线的性质结合题意可得由切

线的判定定理可得DE为。。的切线.

【详解】证明：连接on,

'：AB=AC,

：.ZC^ZABC,

又：OD=OB

.'.ZODB=ZABC,

：.40DB=4C,

：.OD//AC,

'：DE±AC,

：.DE±OD,

为。。的切线.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定.连接常用

的辅助线是解题关键.

33.如图，正六边形ABCDEF内接于。O,若。。的内接正三角形ACE的面积为48

6，试求正六边形的周长.

【答案】正六边形的周长为48.

【详解】【分析】连接0A,作OHLAC于点H,则NOAH=30。.连接0A,作

OH_LAC于点H,则NOAH=30。.由△ACE的面积是△OAH面积的6倍，即6x；x

^x/3RxyR=48V3,解得R，可求出周长.

【详解】解：如图，连接0A,作OHLAC于点H,则NOAH=30。.

在RSOAH中，设OA=R,MOH=1R,AH=画_丽

而△ACE的面积是△OAH面积的6倍，即6xgxgGRxgR=48由，解得R=8,

即正六边形的边长为8,所以正六边形的周长为48.

【点睛】本题考核知识点：正多边形和圆.解题关键点：结合勾股定理求出边长.

34.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=/-2x-3交X轴于A,8两点(点

A在点8的左侧)，将该抛物线位于x轴上方曲线记作M,将该抛线位于x轴下方部分

沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N,曲线N交V轴于点C,连接AC,BC.

备用图

(1)求曲线N所在抛物线相应的函数表达式：

⑵求一外接圆的半径；

(3)点尸为曲线N上的一动点，点。为x轴上的一个动点8,C,P,。为顶点的四边

形是平行四边形，求点。的坐标.

【答案】⑴y=-f+2x+3

⑵石

⑶2(5,0)或(1,。)

【分析】(1)由已知抛物线求出顶点坐标，再得到抛物线N的顶点坐标，即可得到表

达式；

(2)分别求出点A,8的坐标，得到线段AB的垂直平分线为直线x=l,再求出点C

的坐标，得到线段的垂直平分线为直线)'=x,联立［'求出aASC外接圆的

圆心坐标为(1,1),利用勾股定理即可求出外接圆的半径；

(3)由已知得，8。为平行四边形的一边，且3Q〃CP,BQ=CP,由(2)知

C(0,3),过点C作直线/〃x轴，交曲线N于点P,求出点尸的坐标，得到CP=2,即

可求出点Q的坐标.

【详解】⑴解：•••尸--您-3=(*-1)2-4,

•••抛物线y=f-2x-3的顶点坐标为(LT),开口向上，

曲线N所在抛物线的顶点坐标为(1,4),开口向下，

♦.•翻折后形状不变，

二。不变，

二抛物线N所在抛物线的表达式为y=-(x-1)z+4,

即y=-f+2x+3；

(2)令"-—2彳-3中y=(),f#x2-2x-3=0,

(x-3)(x+l)=0,

解得%=3,9=T,

:.A(TO),8(3,0),

...线段AB的垂直平分线为直线x=l,

Vy=-x2+2x+3,当x=0时，y=3,

C(0,3),

:.OB=OC,ZBOC=90°,

线段BC的垂直平分线为直线y=x,

联立得["=；，

[x=l[y=1

；•外接圆的圆心坐标为(1,1),

MC外接圆的半径为

(3)由已知得，8。为平行四边形的一边，且3Q〃CP,BQ=CP,由(2)知

C(0,3),过点C作直线/〃x轴，交曲线N于点尸，

由—x"+2x+3=3,-1<x<3,

解得不=2,电=。（舍去），

:・CP=2,

VBQ//CP,BQ=CP,5(3,0),

2(5,0)或(1,0).

【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质，三角形外接圆的圆心坐标，勾股定理，

解一元二次方程，正确理解二次函数的图像和性质是解题的关键.

35.已知。O的半径为13cm,弦AB〃CD,AB=24cm,CD=10cm,则AB、CD之间的距

离为多少？

【答案】7cm或17cm.

【分析】根据题意，分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和

CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可.

【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1

*/AB=24cm,CD=10cm,

AE=12cm,CF=5cm,

VOA=OC=13cm,

EO=5cm,OF=12cm,

EF=12-5=7cm；

②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2,

VAB=24cm,CD=10cm,

AE=12cm,CF=5cm,

V0A=0C=13cm,

.'.E0=5cm,0F=12cm,

.,.EF=OF+OE=17cm.

AB与CD之间的距离为：7cm或17cm.

【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用定理是

解题的关键，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用.

36.如图，在，ABC中，AB=AC,点。是边BC的中点，过点。作小工钻于点

E,A8的外接圆与边AB交于点A,F.

（1）作出“A8的外接圆，补全图形；

（2）证明£）E是，。的切线；

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3

【分析】（1）先判断出AO1BC,进而得出AC是.A8的外接圆。的直径，即可得

出结论；

（2）连接。。，判断出OD=OC,进而判断出N8C=NABC,即可判断出

NODC+ZBED=90°,进而得出NODE=90。，即可得出结论；

APa

（3）连接CV,判断出ZA"?=90。，进而得出六:〜设AF=3x,则AC=5x,再

判断出BF=23E,再用AB=AC建立方程求解，即可得出结论.

【详解】（1）解：AB=AC,点。是边8C的中点，

ADLBC,

:.ZADC=90°,

」.AC是,ACD的外接圆。的直径，

,AC的中点即为...ACD的外接圆的圆心，

补全图形如图1所示：

(2)证明：如图2,连接0。,

由(1)知，AD1BC,

/.ZAZ>C=90°,

点。是AC的中点，

是RJADC的斜边的中线，

OD=OC,

:.ZACB=NODC,

.AB=AC,

?.ZACB=ZABC,

:.NODC=ZABC,

：DEX-AB,

:.ZBED=90°,

ZABC+ZBDE=90°f

.•.NODC+NBDE=90。,

/ODE=180°-(ZBDE+NODC)=90°,

:.OD±DEf

OD是。的半径,

二.DE是。的切线;

(3)解：如图3,连接CF,

AC为O的直径,

.-.ZAFC=90°,

A17

在Rt^AFC中，cosZ«AC=—,

AC

cosZ.BAC-1,

•■_3

,•=一，

AC5

・•・设Ab=3x,则AC=5x,

'.DE±ABf

:.ZAED=900=ZAFCf

:.DE//CF,

点。是5c的中点，

.・•点E是所的中点,

..BF=2BE,

BE=1,

;.BF=2,

AB=BF+AF=2+3x,

AB=AC,

/.2+3x=5x,

/.x=l,

.'.AF=3x=3,

即：线段AF的长度为3.

【点睛】此题主要考查了等腰三角形的三线合一的性质，圆的性质，锐角三角函数，

切线的判定，平行线分线段成比例，正确作出辅助线是解本题的关键.

37.问题：我们知道，过任意的一个三角形的三个顶点能作一个圆，这个圆叫做三角

形的外接圆.

那么任意的一个四边形有外接圆吗？

探索：如图给出了一些四边形，填写出你认为有外接圆的图形序号

AD

BC

图①平行四边形图②矩形图③菱形

发现：相对的内角之和满足什么关系时，四边形一定有外接圆，写出你的发现:

说理：如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之和有上面的关系吗？请结合图

图④

【答案】探索：②；发现：相对的内角之和等于180。时，四边形一定有外接圆；说

理：没有上面的关系，理由见解析

【分析】探索：根据圆上任意一点到圆心的距离相等结合平行四边形的性质、矩形的

性质和菱形的性质即可得出结论；

发现：根据矩形的对角性质结合圆的内接四边形的性质即可得出结论；

说理：根据图④分类讨论，然后根据圆的内接四边形的性质和三角形外角的性质即可

得出结论.

【详解】解：探索：由平面内不存在一点到一般平行四边形的四个顶点距离相等，可

得平行四边形没有外接圆；

由矩形的性质可知：矩形两条对角线的交点到矩形四个顶点的距离相等，可得矩形有

外接圆；

由平面内不存在一点到菱形的四个顶点距离相等，可得菱形没有外接圆；

故答案为：②；

发现：相对的内角之和等于180。时，四边形一定有外接圆

故答案为：相对的内角之和等于180。时，四边形一定有外接圆；

说理：没有上面的关系，理由如下

如图4左，连接BE

,/四边形ABED是圆0的内接四边形

.,./A+/E=180°

根据三角形外角的性质可得NBCD>NE

ZA+ZBCD>ZA+ZE=180°；

如图4右，连接DE

,/四边形ABED是圆O的内接四边形

.*.ZA+ZBED=180°

根据三角形外角的性质可得NBED>NBCD

.,.ZA+ZBCD<ZA+ZBED=180°；

综上：ZA+ZBCD#180°