解析2021届江苏省南通学基地高三高考数学全真模拟试卷（八）

绝密★启用前

2021届江苏省南通学基地高三高考数学

全真模拟试题(A)

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2、请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1.已知集合4={4凶<2},5={目-3vxv1}9则AnB-C)

A.1x|—3<x<2jB.|x|—3<x<21C.|x|-2<x<1|D.|x|-2<x<l}

答案：C

先化简集合A，再由交集的概念，即可得出结果.

解：因为A=|x||x|2|={^|-2<x<2},B={x|-3<x<l},所以

Ac3={x|-2<xv1}.

故选：C.

2.若上丝为纯虚数，i为虚数单位，则实数。的值为()

3+4，

343

A.--B.-C--

434

答案：A

先对复数化简，然后令实部为零，虚部不为零，可求出实数。的值

1+ai_(l+af)(3-4z)_3+4a3a—4

解：因为i为纯虚数,

3+4厂(3+4i)(3-4z)-2525

3+4a

=0

25

所以《

3a—4

*0

25

所以。=一』.

4

故选：A

21

rv2

3.已知双曲线C：彳—£=l(a>0]>0)的右顶点到一条渐近线的距离为5。，则

双曲线C的离心率为（）

A.V2B.述C.73D.2

3

答案：B

利用点到直线的距离公式结合已知条件可得关于。、〃、c的齐次等式，求出，=28，

进而可求得该双曲线的离心率.

解：由题意知双曲线C的一条渐近线方程为法--=0,

所以右顶点到渐近线的距离为，即。=力，则”=,心一从=回，

rri>l-百、*c2b2>/3

所以，该双曲线的离心率e=—=-==---.

a6b3

故选：B.

点评：方法点睛：求双曲线离心率的方法：

（1）若可求得。、c,直接利用e=£求解；

a

I（b^

（2）若已知4、b,可直接利用e=1+-得解；

V\a）

（3）若得到的是关于。、，的齐次方程pc2+qac+r/=0（P、q、一为常数，且

P工0）,则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解.

4.已知随机变量4服从正态分布N（l,〃），若P伍三2）=a,尸（0<JWl）=l-3a,

则P传<（））=（）

1113

A.-B.-C.—D.一

4324

答案：A

由正态分布的对称性及在对称轴及一侧的概率为4的特点，算出a值而得解.

解：因为随机变量J服从正态分布N（l,b2）,由正态分布的对称性知，

P（0<^<l）=P（l<^<2）,又。片21）=（,P（^>1）=P（1<^<2）+P（^>2）,

所以a+l—3a=g,解得.=；,从而尸（J40）=22）=；.

故选：A

5.从4名男同学、5名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，

则不同的组队方案共有（）

A.140种B.100种C.80种D.70种

答案：D

根据条件分为2男1女，或2女1男，按组合公式求解.

解：可分两类，男同学2名、女同学1名或男同学1名、女同学2名，共有

C；C；+C；C：=70种不同的组队方案.

故选：D.

6.祖曜，又名祖瞄之，是我国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之的儿子.他在《级

术》中提出“幕势既同，则积不容异”的结论，其中“幕”是面积.“势”是高，意思

就是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任一平面所截，

如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等（如图①）.这一原

理主要应用于计算一些复杂几何体的体积，若某艺术品如图②所示，高为40cm,底面

为边长20cm的正三角形挖去以底边为直径的圆（如图③），则该艺术品的体积为（）

图①图②图③

A.10006-岑^|cm3B.—2,04卜nf

（2000^200013（100073100013

C.式cmD.----------------------兀cm

139J139J

答案：B

先求出阴影部分的面积,其面积为边长20cm的正三角形的面积减去两个边长为10cm的

正三角形的面积，再减去圆心角为一,半径为10cm的扇形面积，然后利用柱体的体积

3

公式求解即可

解：由图知阴影部分的面积为

—x20x20x^---xlOxlOx^-x^!-x-xIO2=f50V3-—|cm2,

22222313）

所以艺术品的体积为(20006一与叫万卜nr1

故选：B

7.已知菱形ABC。的边长为3,44Q=60。，AC与BD交于点0,E是线段。。的

中点，AE的延长线与C。交于点尸.则赤.丽=()

111111

A.—B.—C.—D.6

432

答案：C

将而、而用而，而表示，然后求向量的数量积即可•

解：在菱形ABC。中，AC与30交于点。，所以。为BD的中点.因为E是线段。。

的中点，所以3£=3OE，从而FC=2DF.

因为而=而+而=而+上而，BF=BC+CF=AD――AB,

33

-.(.1八「.?八|.|2J..?I.(2J]

所以尸+=--AB-AD--\AB\=—.

故选：C.

8.设为定义在R上的函数，对任意的实数x有/(x)/(x+l)=e(e为自然对

数的底数)，当04x<l时，/(x)=e\则方程〃x)=log2X的解有()

A.4个B.5个C.6个D.7个

答案：A

由等式关系先求得函数周期，接着求得当l〈x<2时，/(力的表达式，最后通过作图

判断交点个数即可.

解：因为,f(x)/(x+l)=e,所以〃x+l)/(x+2)=e,于是/(x+2)=/(x),

所以/(x)的最小正周期为2.

当lWx<2时，〃x)=W=e2r

因为曲线y=log,x在x=2处切线的斜率为」一，曲线y="-2在％=2处切线的斜

21n2

率为1,所以--—<1,而/⑵=/"=i=]og,2.

2In2

因为75>2"，所以7>2日>2'，故bg27>e.

因此，/(x)与y=log2》的图象如图所示，由图可知/(x)=log2X的解有4个.

故选：A

点评：函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令/■(x)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

⑵零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间［a,3上是连续不断的曲线，且

f(a)•f3<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多

少个零点.

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点

的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

二、多选题

9.当x〉0,y>0时，下列不等式中恒成立的有()

2孙11、411<2

A.—―<B.-+->-----C-+

x+yxyx+yxy，孙

,3、4尤2y2

D.x+y———

答案：ABD

利用基本不等式变形，判断ABC选项，选项D首先利用立方和公式化简，再利用基本不

等式判断.

2xy

解：对于A,x=y时取等号，正确.

x+y

对于B,I-+-|(x+y)=2+-^+->4,当且仅当x=y时取等号，正确.

y)Xy

对于C,，+_1=£上222叵=—=,当且仅当x=y时取等号，错误.

%y孙孙，孙

对于D,(x3+y3)(x+y)=(x+y)2(f+y2一孙)、4%2丁2,当且仅当x=y时取等

号，正确.

故选：ABD

点评：关键点点睛：本题考查利用基本不等式判断不等式，本题的关键选项是1),需利

用立方和公式，先化简再判断.

10.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.

在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货

船的吃水深度(船底到水面的距离)为4m.安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙(船

底到海底的距离)，下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.

时刻水深/m时刻水深/m时刻水深/m

0：005.09：002.518：005.0

3：007.512：005.021：002.5

6：005.015：007.524：005.0

若选用一个三角函数/(X)来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法

中正确的有()

A./(%)=2.5cos+5B.f(x)=2.5sin

C.该货船在2：00至4：00期间可以进港D.该货船在13：00至17：00期间可以

进港

答案：BCD

依据题中所给表格，写出/(x)的表达式而判断选项A,B；再根据船进港的条件列出不

等式，求解即可判断选项C,D.

解：依据表格中数据知，可设函数为/(x)=Asin<uc+左，

2万TC

由已知数据求得A=2.5,k=5,周期T=12,所以口=—=一，

T6

所以有/(x)=2.5sin(gx)+5,选项A错误；选项B正确；

由于船进港水深至少要6.25,所以2.5sin|—x|+56.25,得sin(^x2L

16)16J2

1T,、­.„TT.,7LTC5n13兀TC17兀

又04xW24n04—尤44%，则有一4—x«一•或----<—x<--------，

6666666

从而有lWx<5或13WxW17,选项C,D都正确.

故选：BCD

点评：解三角不等式sin（s+0）N加（[7川<1）关键在于：找准不等式中的函数值加所对

角；

长为一个周期的区间内相位5+。所在范围.

11.在数列｛4｝中，若%+%M=3",则称｛叫为“和等比数列”.设S“为数列｛%｝

的前”项和，且4=1,则下列对“和等比数列”的判断中正确的有（）

_32020-1_32021-1

A・^2020=B・〃2020=

320221

CS--DS-3叩

502021—g*°2021—g

答案：AC

由已知等式得出。“+2一。”，然后用累加法求得。2020，判断AB,由并面求和法

$2021=4+（%+%）+（。4+。5）-1--------（。2020+。2021）求得,^2021判断CD.

解:因为所以4+1+4+2=3"“，两式相减得见+2—4=2x3",所以

4020=（生020—生018）

32020_]

+（〃2018—〃2016）+,,•+（〃4_。2）+=2x（3?++•••+3刈8）+2=———,故A正

确，B错误.

§2021=4+（。2+4）+（。4+。5）+…+（“2020+“2021）=1++34+…+3"”°）=--—

O

，故C正确.D错误.

故选：AC.

点评：本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和.数列求和的常用方法：

设数列｛q｝是等差数列，仍“｝是等比数列，

（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；

（2）错位相减法：数列｛氏超｝的前〃项和应用错位相减法；

,1,

（3）裂项相消法；数歹N-----｝（左为常数，a“HO）的前〃项和用裂项相消法；

。,4+&

（4）分组（并项）求和法：数列｛〃4+4〃｝用分组求和法，如果数列中的项出现正负

相间等特征时可能用并项求和法，如果a“中带有（-1）"或者出现数列相邻项的和时，可

以进行并项求和；

（5）倒序相加法：满足=A（A为常数）的数列，需用倒序相加法求和.

12.集合"在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为|M|.若集合

A=｛（乐刈9<x2+y2<25^,B=｛（x,y）|y=x+m|,C=｛（x,y）|y=Ax+2.k｝则

下列说法中正确的有（）

A.若ACBH。，则实数的取值范围为加―5及

B.存在ZeR,使AcC/0

C.无论左取何值，都有AcC/0

D.anq的最大值为4君-4

答案：ACD

对于A,要使AcBw。，只要原点到直线的距离小于等于5即可，从而可求出m的

取值范围；对于B,C,由于直线丁=履+2-A:过定点（1,2）,而点（1,2）在圆/+y2=9

内，从而可得AcC/0；对于D,设原点到直线y=Ax+2-左的距离为d,则

n「。|=2（,25_屋一的一/）分母有理化后可求出其最大值，从而可判断D

m

解：对于A,因为Ac3w0,所以\\W5,解得-56WmW5丘,故A正确.

对于B和C,直线，=丘+2-左过定点（1,2）,因为F+22<9,故C正确，B错误.

对于D,设原点至U直线y^kx+2-k的距离为d,则

\AC\C\=2（也5—储-也—d]=2x也5.果一二所以MnC的最大值，

即△的最大值，于是IAPIC的最大值为4逐—4,故D正确.

故选：ACD

三、填空题

13.已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为尸，准线为/,P为抛物线C上一

点，PALI,A为垂足.如果AAFP是面积为上的正三角形，那么尸=.

答案：1

结合抛物线的知识以及三角形"P的面积，求得，.

解：因为是面积为6的正三角形，所以@xAp2=0,AP=2,

4

依题意可知AP〃龙轴，所以NAFO=NR4b=60。，

所以〃=gAE=；AP=l.

故答案为：1

14.将一枚质量均匀的硬币连续抛掷3次，则未出现连续2次正面向上的概率为

答案:（

先求得基本事件总数，再求出连续2次正面向上的次数，再运用对立事件的办法即可求

出概率.

解：将一枚质量均匀的硬币连续抛掷3次，基本事件总数为23=8,连续2次正面向上

为（正，正，正），（正，正，反）（反，正，正），故未出现连续2次正面向上的概率为

8-35

故答案为：一.

8

15.在（x+2『（x+1）’的展开式中，含一项的系数为.

答案：301

展开式中含丁项的有三种情况，分别为：（1）/和0；相乘；闻）4x和媪相乘；（2）

4和相乘.分别求出再相加即可.

解：（X+2『（1+X）7=X2（1+X）7+4X（1+X）7+4（1+X）7,

所以含/项的系数为C；+4穹+4^=301.

故答案为：301.

点评：方法点睛：二项式系数问题，有些三项展开式可以变形为二项式问题加以解决，

也可以通过组合解决，要注意分类清楚.

16.在四棱锥S-AB8中，四边形A3CO是边长为2的正方形，△&⑦是正三角形,

且侧面丛0,底面.若点S,A,B,C,。都在同一个球面上，则该球的表

面积为.

先将该四棱锥补形为正三棱柱9-尸爪丁根据正棱柱的特征，结合球的性质，以及题

中数据，求出该正三棱柱的外接球半径，进而可求出外接球的表面积.

解：由题意，可将该四棱锥补形为正三棱柱SW-P8C,则该四棱锥的外接球即为正三

棱柱SAD-P8C的外接球，记球心为O,

分别取6C、AO的中点为E、F；分别记ASAO与APBC的外接圆圆心为“、G,

连接SF,PE，HG,

因为ASAD与APBC都是正三角形，

所以S"=2sv=2j22-F=26,HGIIAB良HG=AB=2,

333

根据球的性质，以及正棱柱的结构特征可得，球心。必在"G上，且。为"G的中点,

连接OS,

则外接球的半径为OS=NOH〜SH

因此，外接球的表面积为4万x

点评：思路点睛：

求解几何体外接球的相关问题时，一般需要先根据几何体的结构特征确定球心位置，再

结合题中所给数据求出外接球的半径，进而即可得解(有时所给几何体比较特殊，可根

据补形的方法进行求解).

四、解答题

17.在①〃4田=2Sa+〃，②是公差为1的等差数列，③S：=$2•$8,这三个条

件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.

问题：在公差不为0的等差数列｛4｝中，s“为数列｛4｝的前A项和，已知4=1,

.n,、6

设2=丁丁，7.为数列｛〃｝的前n项和，求使7；〉右成立的最小正整数”的值•

4,%

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

答案：答案见解析

选择条件①：利用公式a“=S"-S“T可化简得阳田—(〃+1)q=1,从而得

3•+」-=%+，，从而求得｛4｝通项；选择条件②：先求得S“=〃2,再结合公

〃+1〃+1nn

式q=S,,-S,I求得｛%｝通项；选择条件③：由5：=S2-$8转化为基本量计算即可得

｛%｝通项；由｛4｝通项求得2，最后利用裂项相消法求和即可得结果.

解：选择条件①：因为2s“+〃=〃。,用，

所以2s+〃一1=(八一1)%(〃，2),

上面两式相减得也“+|-(〃+l)aa=1,

所以—+―'―=幺+!(/?>2).

〃+1几+1nn

在2s“+〃=〃a“+]中，令〃=1,得4=3,所以;"+2=4+1,

从而外+工=2,所以q=2〃-1.

nn

选择条件②：因为是公差为1的等差数列，2=工+（〃一1）x1=〃，

[nJ〃1'，

于是S,=〃2.

当“22时，an=S„-S“_|=2n-1.

当7=1时,%=S1=1,所以=2〃-1.

选择条件③:因为S：=S25,

所以（4+=（2+4）（8+28d）,整理得d2-2d=（）..

因为"工0,所以4=2,

从而数列｛为｝的通项公式为«„=2n-].

出I_几_n_111

因"二而"炉⑵+尸[^7V

cir,iiiiiiiT,ii6

所以s"寸一三+?-"•,•+百正一还斤『旷丽目>利

解得〃>3,

所以使S,,>—成立的最小正整数n的值为4.

点评：本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪

些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实

质上造成正负相消是此法的根源与目的.

18.在平面四边形ABCO中，NA8£>=NBCO=90°，NZM3=45°.

D

（l）若AB=2,ZDBC=30°»求AC的长；

（2）若tan/84c=2,求tanNO6c的值.

4

答案：（1）AC=g+25（2）立二•

6

（1）由已知得。B=2,BC=C，由余弦定理得AC?=7+2百，可得答案；

（2）设NDBC=a,由tanABAC=,结合2ZBAC+sin2ABAC=1，

cosZBACcos

得到sinNBAC、cosABAC,再由正弦定理得4cos2a-3sinacosa=3，利用

4cos2a-3sinacosa_.依安

---------------z-----------------------------用倚合茶

cosa+sina

解：（1）在RtZVIBO中，因为NOA5=45°，所以。3=2,

在Rt^BCZ）中，8C=2cos30=6，

在△A6C中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=4+3-2x2x73cosl200=7+273,

所以AC=&+2丘

（2）设ZDBC=a,在RtziBC。中，BC=BDcosa=2cosa,

因为tanABAC==?,所以NBAC=-sinABAC,

cosZBAC43

25

于是cos?ZBAC+sin2ZBAC=—sin2ZBAC=l,

9

因为0"<NB4C<90°，

34

所以sinN3AC=—，cosZBAC=-

55

在△ABC中，由正弦定理得———=———

sinZACBsinABAC

22cosa

所以sin(90-a—NC48)3

5

3

于是85。85（仪+/。18）二不

即4cos2a-3sinacosa=3，

ug、14cos2a-3sinacosa4-3tan«

所以-------；------------=-----；—=3o，

cos。+sinal+tan~a

因为0°<a<90,所以tanNDBC=tana=万一^

6

点评：本题考查了解三角形的问题，解题的关键点是熟练掌握正弦定理、余弦定理及三

角函数的性质，考查了学生分析问题、解决问题的能力.

19.如图，在直四棱柱ABC。—44GA中，四边形A8C0是菱形，ZBAD=60°,

DD]=AB,E,F分别为棱AB,4G的中点，点M在CD上，S.DM=3MC.

（1）求证：MF〃平面DQE；

（2）求二面角尸-。或一。的余弦值.

答案：（1）证明见解析；（2）叵.

10

（1）通过构造平面〃平面来证得Mb〃平面AOE.

（2）建立空间直角坐标系，利用平面。EC和平面。后尸的法向量，计算出二面角

尸—RE—C的余弦值.

解：(1)证明：分别取CO，8c的中点G,H，连接3G,MH，FH.

在直四棱柱ABCO—AgCR中，四边形OCG3为平行四边形，所以CC〃A。.

因为尸，〃分别为瓦G，8C的中点，所以HF//C。,从而HF//RD.

因为加仁平面2OE,2。匚平面2。七，所以〃平面。OE.

因为四边形AB8是菱形，所以AB〃C£)且AB=C£).

因为E，G分别为AB，8的中点，所以BE〃GDB.BE=GD,

于是四边形是平行四边形，所以DE//GB.

因为0M=3MC,G为CD的中点，所以M为CG的中点.

因为“为CB的中点，所以HM//GB,从而HM//DE.

因为HM(Z平面。DE,EDu平面ADE,HM〃平面RDE.

因为HW，HFu平面MHF，MHCHF=H,所以平面。QE〃平面

因为叱u平面Affib,所以MF7/平面

(2)以。为坐标原点，DE，DC,所在直线分别为％轴、＞轴、z轴，建立空

间直角坐标系.设A6=2，则。0=2,

所以七(6,0,0),C(0,2,0),R(0,0,2),F孝，:2

从而反=卜6,2,0),£^=(-73,0,2).

设平面QEC的一个法向量为4=(x”y,zj,平面&EF的一个法向量为

〃2=(12，%，22〉

____，•

-+2x—0

因为n.±E__C__所以〈

%±ED1—\/3X|+2Z]=0

令％=2,则乂=百，4=有，所以)=(2,百,6).

--••i

n,-n_，30

所以cos<nn>=2

同理可得〃2=2,—--,>/3,v2丽F’

由图可知，二面角尸—。E—C为锐角,

故二面角F-D.E-C的余弦值为叵.

10

点评：利用法向量计算二面角时，要注意根据图象判断二面角是锐角还是钝角.

20.某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，因为两个活动在同一

时间段进行，所以每个职工只能参加其中的一个活动.在参加活动的职工中，男士90

名，女士110名.

（1）根据统计数据，请在下面表格的空白处填写正确数字，并说明能否在犯错概率不

超过0.05的前提下认为是否参加登山组活动与性别有关.

女士男士合计

登山组人数40

游泳组人数70

合计

附.〃(必-尻丫

其中〃=a+b+c+d.

(«+/?)(c+J)(a+c)(/?+c/)

k2.7063.8415.0246.6357.897

P(/叫0.1000.0500.0250.0100.005

（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该单位参加活动的职工中，每次随机

抽取1名职工，抽取3次，记被抽取的3名职工中参加登山组活动的人数为4.若每次

抽取的结果是相互独立的，求J的分布列、数学期望后传）和方差。（片）.

答案：（1）表格见解析，能；（2）分布列见解析，石偌）=0.9,。伶）=0.63.

（1）根据题意得出列联表，再由公式计算得Z2,可得结论;

（2）根据题意得8,由此可求得期望和方差.

解：（1）根据题意得

女士男士合计

登山组人数402060

游泳组人数7070140

合计11090200

所幽也匕也叽仞4>3.841，

110x90x60x140

于是能在犯错概率不超过0.05的前提下认为是否参加登山组活动与性别有关.

(2)根据题意得4~8

、30

、（3(3

所以尸（4=0）=《Ax[l-历|=0.343;

X

/<10

2

IX1|=0.441；

P偌=2)=C；x[l三\1

XI=0.189：

70

o

P（-3）=C；xh—《IX(3

=0.027,

于是J的分布列如下:

0123

P0.3430.4410.1890.027

故E(g)=3x03=0.9,Z)(^)=3x0.3x(l-0.3)=0.63.

点评：方法点睛：求随机变量的分布列的步骤：（1）理解随机变量才的意义，写出X可

能取得全部值：（2）求彳取每个值的概率；（3）写出才的分布列；（4）根据分布列的性质

对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分

布，正态分布.

21.已知函数=lnx+L+a.

（1）函数/（X）的图象能否与X轴相切？若能与X轴相切，求实数。的值；否则请说

明理由;

/、z、113

（2）若函数/（X）恰好有两个零点X］、%2（0<%!<^2）,求证：+—.

答案：（1）能，«=-!；（2）证明见解析.

（1）假设函数/（X）的图象能与X轴相切，设切点横坐标为%,根据题意可得

/八，求出。的值，即可得出结论;

/（尤o）=°

(\

3强-1

（2）分析得出所证不等式等价于皿上,令"三>1,构造函数

出+1

〃（/）=ln—笠，«>1）,利用导数分析函数〃⑺在（1,+8）上的单调性，证明

〃（。>〃（1）=0,即可说明所证不等式成立.

解：（1）假设函数/（x）的图象能与x轴相切，设切点横坐标为%,则%>0,

/，(%o)=----^=0

飞

xo=1

由题意可得</(七)=ln/d---F“=0,解得<

玉)a=-l

%>0

.11111II-X

(2)证明：由题意得In%]+—F6?=Inx2H---Fa,贝ijlnx?-心玉=------=------

%项x2x1x2

九2一%

X.X=---

所以2皿强.

王

1132羽+%〉3（々一与）

要证5丁+—>W，只需证％+2%，只需证In强,

王

因为0<%<%2，所以二1>1,从而In上>0.

x\x\

3——1

只需证In玉〉史二^,只需证M%

X[2々+毛%,2々+]

王

设，='>1,即证Inf~—.

芭2t+l

设h(t)-Inz-^^——(r>1),则

''2f+l''

〃(f)3q=4/-5,1=(4一)(丁)〉0,

v7t(2r+l)'r(f+2)/«+2y

,、，、八113

所以函数〃(/)在(1,+00)上增函数，从而/z(r)>/i(l)=0,所以不一+一〉,.

^X-y大]乙

点评：方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法：证明不等式/(x)>g(x)(或〃x)<g(x))转化为证明

/(X)-g(x)>0(或F(x)-g(x)<。)，进而构造辅助函数〃(x)=.f(x)—g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造

辅助函数.

V-2V2